Szumilas Mariusz dr A. Kolarz
14.12.2013 r. sobota 1515
Ćwiczenie nr 1: Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego grawitacyjnego
i sprawdzanie twierdzenia Steinera.
1. Cel ćwiczenia: stwierdzenie, że okres małych drgań fizycznego wahadła grawitacyjnego zależy od momentu
bezwładności ciała. Doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera. Wyznaczenie momentu bezwładności
ciała względem osi środkowej.
2. Opis teoretyczny.
Środek masy ciała - jest punktem, w którym skupiona jest cała masa. Punkt w przestrzeni, wokół którego
dane ciało będzie się obracać, jeżeli będzie zawieszony w przestrzeni bez innych ciał ograniczających jego
ruch. Położenie przestrzenne środka masy ciała określamy posługując się wektorem wodzącym r masy
elementarnej dm. W odpowiednim układzie odniesienia mamy
5Ø_Ü5ØQÜ5ØZÜ 5Ø]Ü5Ø_Ü5ØQÜ5ØIÜ
+" +"
5Ø_Ü5ØPÜ = = (1)
5ØZÜ 5ØZÜ
gdzie  r a" (x , y , z ) wektor położenia środka masy ciała.
c c c c
Á - gÄ™stość (masa wÅ‚aÅ›ciwa).
Zgodnie z definicjÄ…
"5ØZÜ 5ØQÜ5ØZÜ
5Ø]Ü = lim = (2)
"5ØIÜ 5ØQÜ5ØIÜ
"5ØIÜ0
gdzie: dm - masa elementarna, dV - odpowiednia elementarna objętość w małym otoczeniu punktu P ciała. Dla
ciaÅ‚ jednorodnych Vmconst/==Á w caÅ‚ej objÄ™toÅ›ci ciaÅ‚a.
Ruch drgający jest to każdy ruch lub zmiana stanu, które charakteryzuje się powtarzalnością w czasie
wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan.
Ruchem okresowym nazywamy każdy ruch powtarzający się w określonych odstępach czasu.
Drgania harmoniczne sÄ… najprostszym rodzajem ruchu okresowego.
Przykładem drgań harmonicznych może być wahanie wahadła fizycznego.
Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna wykonująca pod działaniem siły ciężkości wahania wokół poziomej
osi obrotu nieprzechodzącej przez środek masy bryły.
Okres drgań wahadła dla małych drgań
I
T =ð 2pð , (3)
mgd
·ð d - odlegÅ‚ość od punktu zawieszenia do Å›rodka ciężkoÅ›ci,
·ð g - przyspieszenie ziemskie,
·ð I - moment bezwÅ‚adnoÅ›ci ciaÅ‚a wzglÄ™dem osi obrotu,
·ð m - masa ciaÅ‚a.
·ð
Twierdzenie Steinera  różnica momentów bezwładności ciała względem dwu równoległych osi, z których
jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d między
osiami
I - I = md2 (4)
0
Wzór na moment bezwładności wyznaczamy w wzoru na okres drgań,
5ØGÜ25ØZÜ5ØTÜ5ØQÜ
5Ø<Ü = (5)
45Øß2
Z twierdzenia Steinera wynika, że dla dwóch różnych odległości d i d od osi przechodzącej przez środek
1 2
2
masy ciaÅ‚a mamy: I2 -ð I1 =ð m(d2 -ð d1 ) a podstawiajÄ…c wzór na I otrzymujemy:
2
2 2
T2 gd2 -ð 4pð2d2 =ð T12gd1 -ð 4pð2d1 =ð const =ð C. (6)
2
Powyższa zależność oraz wynikająca z niej stała wartość C posłuży mi, jako dowód twierdzenia Steinera.
Korzystając z tej stałej możemy w łatwy sposób obliczyć moment bezwładności ciała względem osi
przechodzącej przez środek masy:
m
I0 =ð C. (7)
4pð2
2.1. Wyniki pomiarów pierścienia
m = 175,4 Ä…0,1 g = 0,1754 kg
"m = 0,0001 kg
Tabela 1. Wyniki pomiarów średnicy pierścienia.
Pomiar 2D [mm] 2d [mm]
1 138,4 130,7
2 140,8 131,4
3 138,46 130,04
4 140,7 128,7
5 138,46 130,4
6 141,24 131,4
7 138,54 129,5
8 141,28 129
Średnia wartość 139,735 ą"D 130,1425 ą"d
2d  średnica wewnętrzna; 2D  średnica zewnętrzna
2d=130,14 mm=0,13014 m; "d=0,02 mm = 0,00002 m
d=65,07 mm = 0,06507 m; 2D=139,74 mm = 0,13974 m
"D=0,02 mm = 0,00002 m; D=69,87 mm = 0,06987 m
Tabela 2. Wyniki pomiarów wahnięć pierścienia
Pomiar 100 T [s] T [s]
1 75,0000 0,7500
2 72,9900 0,7299
3 72,4600 0,7246
4 73,3200 0,7332
średnia 73,4425 ą"T 0,734425 ą"T/100
2.2. Wyniki pomiarów tarczy
m = 975,4 Ä…0,1 g = 0,9754 kg
"m = 0,0001 kg
2.2.1. Pomiary dla otworu nr 1:
2d = 150,1 Ä…0,02 mm
d = 75,05 Ä…0,02 mm = 0,07505 m
"d = 0,00002 m
Tabela 3. Wyniki pomiarów dla otworu nr 1
Pomiar 30 T [s] T [s]
1 20,6000 0,6867
2 20,7800 0,6927
3 20,6200 0,6873
4 19,8900 0,6630
5 20,6800 0,6893
6 20,7300 0,6910
Åšrednio 20,55 Ä…"T 0,685 Ä…"T/30
2.2.2. Pomiary dla otworu nr 3:
2d = 50,04 Ä…0,02 mm
d = 25,02 Ä…0,02 mm = 0,02502 m
"d = 0,00002 m
Tabela 4. Wyniki pomiarów dla otworu nr 3
Pomiar 30 T [s] T [s]
1 23,4300 0,7810
2 23,4600 0,7820
3 22,6200 0,7540
4 23,3800 0,7793
5 23,2400 0,7747
6 23,3200 0,7773
Åšrednio 23,24 Ä…"T 0,7747 Ä…"T/30
2.2.3. Pomiary dla otworu nr 4:
2d = 90,04 Ä…0,02 mm
d = 45,02 Ä…0,02 mm = 0,04502 m
"d = 0,00002 m
Tabela 5. Wyniki pomiarów dla otworu nr 4
Pomiar 30 T [s] T [s]
1 20,5800 0,6860
2 20,5100 0,6837
3 20,4200 0,6807
4 20,6100 0,6870
Åšrednio 20,53 Ä…"T/30 0,6843 Ä…"T/30
2.2.4. Pomiary dla otworu nr 5:
2d = 127,70 Ä…0,02 mm
d = 63,85 Ä…0,02 mm = 0,06385 m
"d = 0,00002 m
Tabela nr 6. Wyniki pomiarów dla otworu nr 5
Pomiar 30 T [s] T [s]
1 20,3300 0,6777
2 20,3300 0,6777
3 20,3300 0,6777
4 20,2800 0,6760
5 20,2800 0,6760
6 20,3200 0,6773
Åšrednio 20,31 Ä…"T 0,6770 Ä…"T/30
3. Przebieg pomiarów.
Pomiary polegały na zmierzeniu 30 (dla pierścienia wykonano omyłkowo pomiary dla 100) wahnięć
pierścienia i tarczy. Pomiary dla tarczy wykonano na czterech różnych otworach.
4. Opracowanie wyników.
4.1 Obliczenia dla pierścienia
Moment bezwładności pierścienia obliczamy ze wzoru (5):
5ØGÜ25ØZÜ5ØTÜ5ØQÜ 0,73402 " 0,1754 " 9,8115 " 0,06507
5Ø<Ü = = 5ØeÜ = = 0,001528 5ØXÜ5ØTÜ " 5ØZÜ2
45Øß2 4 " 3,14152
Moment bezwładności względem środka masy (z twierdzenia Steinera) obliczamy z wzoru (4):
I0 =ð I -ð md2
I0 =ð 0,001528 -ð 0,1754 ×ð 0,065042 =ð 0,00079kg ×ð m2
Błąd bezwzględny:
"5Ø<Ü0 = "5Ø<Ü + 25ØQÜ5ØZÜ"5ØQÜ + 5ØQÜ2"5ØZÜ
"5Ø<Ü0 = 0,0032 + 2 " 0,06407 " 0,1754 " 0,00002 + 0,064072"0,0001=0,032 kg"5ØZÜ2
Moment bezwładności pierścienia względem środka masy z wzory tablicowego:
1
2
I0 =ð m r2 +ð R ,
2
gdzie  r  promień wewnętrzny
R  promień zewnętrzny
m  masa pierścienia
1
I0 =ð 0,1754[ð0,065072 +ð 0,06987 2]ð=ð 0,0008kg ×ð m2
2
1 1
DðI0 =ð [ð(ðr2 +ð R2)ðDðm +ð 2rmDðr +ð 2RmDðR]ð=ð [(0.065072 +ð 0.069872)0.0001+ð 2 ×ð 0.06507 ×ð 0.1754 ×ð 0.00002
2 2
+ð 2 ×ð 0.06987 ×ð 0.1754 ×ð 0.00002 =ð 0,00000093kg ×ð m2
1
2 2
DðI =ð (ð2TmgdDðT +ðT gdDðm +ðT mgDðd)ð
2
4×ðpð
1
"5Ø<Ü = (
2 " 0,7344 " 0,1754 " 9,8115 " 0,06507 " 0,0078 + 0,73442 " 9,8115 " 0,06507 " 0,0001
4 " 3,14152
)
+ 0,73442 " 0,1754 " 9,8115 " 0,00002 = 0,000033 5ØXÜ5ØTÜ " 5ØZÜ2
Tabela 6. Porównanie wyników obliczeń dla pierścienia
Metoda I [kg"m2] "I [kg"m2] µ [%]
0 0
Twierdzenie Steinera 0,00079 0,000033 4,2
Wzór tablicowy 0,0008 0,00000093 0,2
4.2 Obliczenia dla tarczy
4.2.1 Otwór nr 1
Moment bezwładności obliczamy ze wzoru (5):
5ØGÜ25ØZÜ5ØTÜ5ØQÜ 0,6852 " 0,9754 " 9,8115 " 0,07505
5Ø<Ü = = 5ØeÜ = = 0,008537 5ØXÜ5ØTÜ " 5ØZÜ2
45Øß2 4 " 3,14152
Stała C z wzoru (6):
2
C1 =ð T gd -ð 4Pð2d2 =ð 0.6852 ×ð9.8115×ð0.07505 -ð 4×ð3.14152 ×ð0.075052 =ð 0.1232[ðm2]ð
2 2
DðC =ð 2Tgd DðT +ð (T g -ð 8dpð ) Dðd =ð 2 ×ð 0,685×ð9,8115×ð 0,07505×ð 0,0073
+ð (0,068502 ×ð9,8115 -ð 8×ð 0,0685×ð3,14152) ×ð 0,00002 =ð 0,00726m2
Momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (7):
0,9754
I0 =ð ×ð 0,1232 =ð 0,00304kg ×ð m2
4 ×ð3,14152
4.2.2 Otwór nr 3
Moment bezwładności obliczamy ze wzoru (5):
5ØGÜ25ØZÜ5ØTÜ5ØQÜ 0,77472 " 0,9754 " 9,8115 " 0,02502
5Ø<Ü = = 5ØeÜ = = 0,003640 5ØXÜ5ØTÜ " 5ØZÜ2
45Øß2 4 " 3,14152
Stała C z wzoru (6):
2
C3 =ð T gd -ð 4Pð2d2 =ð 0.77472 ×ð9.8115×ð0.02502 -ð 4×ð3.14152 ×ð0.025022 =ð 0.1226[ðm2]ð
2 2
DðC =ð 2Tgd DðT +ð (T g -ð 8dpð ) Dðd =ð 2 ×ð 0,7747 ×ð9,8115×ð 0,02502 ×ð 0,0069
+ð (0,077472 ×ð9,8115 -ð 8×ð 0,02502 ×ð3,14152) ×ð 0,00002 =ð 0,00259m2
Momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (7):
0,9754
I0 =ð ×ð 0,1226 =ð 0,00303kg ×ð m2
4 ×ð3,14152
4.2.3 Otwór nr 4
Moment bezwładności obliczamy ze wzoru (5):
5ØGÜ25ØZÜ5ØTÜ5ØQÜ 0,68432 " 0,9754 " 9,8115 " 0,04502
5Ø<Ü = = = 0,00511 5ØXÜ5ØTÜ " 5ØZÜ2
45Øß2 4 " 3,14152
Stała C z wzoru (6):
2
C4 =ð T gd -ð 4Pð2d2 =ð 0.68432 ×ð9.8115×ð0.04502 -ð 4×ð3.14152 ×ð0.045022 =ð 0.1268[ðm2]ð
2 2
DðC =ð 2Tgd DðT +ð (T g -ð 8dpð ) Dðd =ð 2 ×ð 0,6843×ð9,8115×ð 0,04502 ×ð 0,0022
+ð (0,068432 ×ð9,8115 -ð 8×ð 0,04502 ×ð3,14152) ×ð 0,00002 =ð 0,00126m2
Momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (7):
0,9754
I0 =ð ×ð 0,1268 =ð 0,00313kg ×ð m2
4 ×ð3,14152
4.2.4 Otwór nr 5
Moment bezwładności obliczamy ze wzoru (5):
5ØGÜ25ØZÜ5ØTÜ5ØQÜ 0,6772 " 0,9754 " 9,8115 " 0,06385
5Ø<Ü = = 5ØeÜ = = 0,007095 5ØXÜ5ØTÜ " 5ØZÜ2
45Øß2 4 " 3,14152
Stała C z wzoru (6):
2
C5 =ð T gd -ð 4Pð2d2 =ð 0.6772 ×ð9.8115×ð0.06385 -ð 4×ð3.14152 ×ð0.063852 =ð 0.1262[ðm2]ð
2 2
DðC =ð 2Tgd DðT +ð (T g -ð8dpð ) Dðd =ð 2×ð0,677×ð9,8115×ð0,06385×ð0
+ð (0,06772 ×ð9,8115 -ð8×ð0,06385×ð3,14152)×ð0,00001 =ð 0,00005m2
5ØÿÞ5Ø6Ü5ØFÜ 0,00726 + 0,00259 + 0,00126 + 0,00005
100% = 100% = 0,0895%
5Ø6Ü5ØFÜ 0,1247
Momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (7):
0,9754
I0 =ð ×ð 0,1262 =ð 0,00312kg ×ð m2
4 ×ð3,14152
Średnia wartość stałej C :
S
5Ø6Ü1+5Ø6Ü3+5Ø6Ü4+5Ø6Ü5 0,1232+0,1226+0,1268+0,1262
5Ø6Ü5ØFÜ = = = 0,1247 5ØZÜ2 Ä… "5Ø6Ü5ØFÜ
4 4
Tabela 7. Zestawienie wyników pomiarów dla tarczy.
Nr otworu d [mm] I [kg"m2] C [m2] "C [m2] I
0
1 75,05 0,008537 0,1232 0,0072 0,00304
3 25,02 0,003640 0,1226 0,0069 0,00303
4 45,02 0,00511 0,1268 0,00126 0,00313
5 63,85 0,007095 0,1262 0,00005 0,00312
5. Wnioski
Czynnikiem mającym największy wpływ na dokładność pomiarów było ludzkie oko i związany z
tym dość trudny do wychwycenia moment maksymalnego wychylenia badanego przedmiotu. Jednak
analizując tabele nr 7 można zauważyć jak wraz z kolejnymi pomiarami znacząco zmniejszał się błąd
pomiaru ("C). Co wykazało, jaki wpływ ma  doświadczenie w dokonywaniu ww. pomiarów. Innym
dość istotnym czynnikiem mogącym mieć znaczący wpływ na wyniki pomiarów były poślizgi tarczy i
pierścienia, które należało wyeliminować poprzez małe wychylenie badanych przedmiotów. Inne
czynniki takie jak dokładność suwmiarki czy wagi nie były już tak istotne jak ww. Rozbieżności przy
pomiarze średnic pierścienia wykazały iż jego kształt znacząco odbiegał od okręgu. Pokazuje to tabela
nr 1 , gdzie błąd pomiaru wynosił odpowiednio 1,27 i 0,83 [mm] przy dokładności suwmiarki 0,02 mm.
Jednak porównanie wyników w tabeli nr 7 pokazuje, że nie miało to istotnego znaczenia na końcowy
wynik. Tabela ta także potwierdza teorię Steinera i dokładność wykonanych pomiarów, moment
bezwładności został obliczony w wzoru tablicowego i twierdzenia Steinera.
Kolejnym potwierdzenie teorii Steinera, jest stała C która została obliczona dla różnych okresów i różnych
odległości od osi przechodzącej przez środek masy ciała. Jest ona stała w granicach błędu i jej średnia wartość
wynosi 0,1247 [m2].
Inną zależnością, którą można zauważyć (tabela 7) jest wpływ odległości od środka masy na moment
bezwładności. Wraz ze wzrostem odległości (d) proporcjonalnie rośnie moment co wynika z wzoru (5).