Def. Ciąg funkcyjny:
Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej
określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. f (x) natomiast cały
n
ciąg będziemy oznaczać {f (x) } który po napisaniu daje: (f (x) i f (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny
n 1 2
{f (x)}jest określony w A, to dla każdego x "A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego,
n 0
otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {f (x )}, który jest zbieżny lub rozbieżny.
n 0
Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:
Ciąg funkcyjny {f (x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy lim f (x)-f(x)
n n" n
e
lub f (x) f(x) �! ��>0 � V � ćłf (x)- f(x)ćł<� oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego
n n " x"ę s n>s. n
zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: �f (x) A�!f(x) �! ��>0 V� � ćłf (x)- f(x)ćł<�
n x"A n
Dla zb. zwykłej liczba � ma istnieć dla każdego �>0 i x"A
Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A
Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła
[f (x) A�! f(x)] �! [f (x) e f(x)]
n n
Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą
Warunek Cauche go:
Na to aby ciąg f (x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby ��>0 V że �
n r n>r
zachodzi [f (x) - f (x)]<�
n r
-Szereg geometryczny:
Saqn-1 lub Saqk
1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0
2. Jeżeli a`"0 to szer. geom.
-dla ćłqćł<1 szer. geom. zb. i S=a/1-q
-dla ćłqćłe"1 szer. geom. rozb.
-Szereg Dirchleta: S1/na , a"R, dla ą>1 sz zbieżny; dla a d"1 sz rozbieżny.
-Szereg naprzemienny: Szereg Ł(-1)n+1a , gdzie a >0 dla n=1,2,3,& nazywamy szer
n n
naprzemiennym.
Def. Zbieżność szeregu liczbowego:
Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy
właściwej lim S =S ; S- suma szeregu.
n
" "
= �! '"an = bn
Def. Równość szeregów:
"an "bn
n
n=1 n=1
Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.
" "
k = ); k "R
Def. Iloczyn przez liczbę:
"an "(kan
n=1 n=1
Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu Ła pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy
k
"
= +an+2 +...
an+
szereg:
"ak 1
k =n+
1
który nazywamy n  resztą szeregu Ła .
k
Tw. Jeżeli szeregi Ła ; Łb są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio: S i S to Ł(a + b ) i
n n 1 2 n n
Ł(ka ) wynoszą odpowiednio S +S i kS .
n 1 2 1
Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu:
Jeżeli szereg Ła jest zbieżny, to lim a =0
n n
Dowód:
a =S ; lim a = lim (S ) = lim S - lim S = S-S=0
n n-S
n-1 n n-S
n-1 n n-1
Tw. Zbieżność szeregu: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest
ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.
Dowód:
S =a + a + a +& + a � a e"0, ciąg S jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z
n 1 2 3 n n n
założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny �! S -jest zbieżny.
n
Kryterium porównawcze:
Jeżeli wyrazy szeregów Ł a i Ł b są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n , że n>
n n 0
n i spełniona jest nierówność a d" b , to:
0 n n
- ze zbieżności szer b wynika zbieżność szeregu a
n n
- z rozbieżności szeregu a wynika rozb szeregu b
n n
Dowód:
S =Ł a - chcemy pokazać, że jest zbieżny.
n n
S = S +Ła d" S +Łb d" S + B;
n n0 k n0 k n0
k= n +1 ciąg sum częściowych S =S + B jest ograniczony stąd wynika zbieżność Łb z
0 n n0 k\n
założenia zbieżny i równy B.
Kryterium d Alamberta:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim a /a , to szereg Ła o wyrazach dodatnich
n+1 n n
jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium Cauchyego:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim n"a , to szereg o wyrazach nieujemnych jest
n
zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium całkowe:
Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla xe" n "N wówczas war
0
"
koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n +" f(x)dx
0
Kryterium Leibniza:
Jeżeli ciąg {a } jest nierosnący oraz lim a =0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.
n n
[Ciąg nierosnący �a d"a ]
n+1 n
Kryterium Weierstrassa:
� i �
Jeżeli Ła liczb. jest zbież i jeżeli spełniona jest nierówność �łf (x)�łd"a to Ł funkcyjny jest
n n n
x"A ne"n0
zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. Ła nazywamy majorantą Ł funkcyjnego.
n
Dowód:
Ła jako zbieżny musi spełniać warunek:
n
�0 Ą � ak + ak +1+K�+an < �
� > k n>k
f (x) + f (x)+K�+fn (x) d" f (x) + fk +1(x) +K�+ fn (x)
k k +1 k
d" ak + ak+1+K�+an < � �!
fk (x) + fk +1(x) +K�+ fn (x) < �
- war. konieczny i dostateczny zb Ł funkcyjnego.
Def: Bezwzględna zbieżność szeregu:
Ła nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny Ł złożony z bezwzględnych wartości.
n
Jeżeli Ła jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. (Ła )=Ł (a ). Jeżeli Ł jest zbieżny to
n n n
nazywamy go warunkowo zbieżnym.
Def. Iloczyn Caychy ego szeregów:
Szereg Ła , gdzie a = Ł a b ; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy ego szeregów Ła i Łb
n n k n-k+1 n n
tzn:
(Ła ) (Łb ) = Ła
n n n
(Ła ) (Łb ) = Ła a =Ła b -
n n n k k n k
Twierdzenie: Jeżeli szeregi Ła i Łb są zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny,
n n
to ich iloczyn jest zbieżny.
Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:
Jeżeli Łf (x) o wyrazach ciągłych w przedziale jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to
n
b b
+"[Łf (x)]dx=Ł +"f (x)dx.
0 n 0 n
Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:
Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne f (x) w przedziale , Ł funkcyjny Łf (x)
n n
jest zbieżny w przedziale a ponadto sz.Łf (x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale to:
n
'
"
"
�ł
'",b = " fn'( x)
( )łł
x" a
n=1
�łn"1fn x śł
�ł = �ł
Def. Promień szeregu potęgowego:
http://notatek.pl/ciagi-i-szeregi-macierze-rachunek-
Promieniem R zbieżności Ł potęgowego Ła xn nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych
n
wartości x dla Ł ten jest Ł zbieżnym.
Tw. Promień szeregu potęgowego:
operatorow-liczby-zespolone?notatka
Jeżeli istnieje granica:
an+1
lim = , an `" 0 dla n = 1,2,...
n"
an
lub lim an = 
n"
to promień zbieżności szeregu Ła xn wynosi:
n
R = 0 gdy  = + "
ńł
�ł
1
�ł
R = dla 0 <  < + "
�ł

�ł
R = + " dla  = 0
�ł
ół
Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału Ł pot. Ł a xn tzn. x"(-R,R) to całka:
n
x
" "
n n
t dt =
przy czym promień zbieżności tego szeregu jest taki jak szeregu
"an "na+1 xn+1
+"
n=0 n=0
0
wyjściowego.
Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:
x x x
" " "
"
n+1
tndt = an ndt = an t =
"an " "n1 an xn+1
n+1
+" +"t "
n=0 +1
0
n=0 n=0 n=1
0 0
Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:
" "
d
xn = nxn-1
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb. Ł pot. Ł a xn to pochodna:
n "an "an -
dx
n=0 n=1
promień zb. tego Ł jest taki sam jak szeregu wyjściowego.
Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu Ł funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować
wyraz po wyrazie:
"
d �ł �ł d
�ł xn �ł = (a0 +a1x +a2x2 +...) =
"an
dx dx
�łn=0 łł
"
a1 +2a2 x +3a3x2 +... = nxn-1
"an
n=1
Szereg Taylora:
Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu x wszystkie pochodne, tzn. jest
0
klasy C". Funkcję taką dla każdego x"Q-{x } i każdego n"N możemy rozwinąć w Ł Taylora:
0
k n
n-1
f ( x0)( x - x0) + f (c)
k n
f (x) = ( x - x0)
"
k! n!
k =0