Wykład VIII: Ciągi i szeregi
Definicja ciÄ…gu liczbowego
Granica ciÄ…gu liczbowego
Szeregi liczbowe
Kryteria zbieżności szeregów
Przykłady
1
CiÄ…gi liczbowe
Jeżeli każdej liczbie naturalnej n przyporządkujemy jedną
liczbę rzeczywistą an, to określimy nieskończony ciąg
liczbowy. Ciąg nieskończony zapisujemy w postaci:
a1, a2,L, an,K lub {an}
n"N
Liczby a1,a2,& nazywamy wyrazami ciÄ…gu, symbol an
nazywamy wyrazem ogólnym tego ciągu.
CiÄ…g {an} posiada granicÄ™ g, tzn. lim an=g, gdy n",
jeżeli dla każdej liczby dodatniej µ istnieje taka liczba
naturalna n0 dla której zachodzi:
" an - g < µ
n>n0
2
Ciąg {an} może posiadać granicę nieskończoną, tzn.
lim an=", gdy dla każdej liczby M>0 istnieje taka liczba
naturalna n0 dla której zachodzi:
" an > M
n>n0
Ciąg {an} posiada granicę minus nieskończoną, tzn.
lim an=-", gdy dla każdej liczby M>0 istnieje taka liczba
naturalna n0 dla której zachodzi:
" an < - M
n>n0
Uwaga:
Nie każdy ciąg posiada granicę. Ciąg nieskończony, który
posiada granicę skończoną nazywamy ciągiem zbieżnym.
Wszystkie inne ciągi nazywamy ciągami rozbieżnymi, w
szczególności ciągi, których granica wynosi + " lub - ".
3
Przykład 1. Wyznaczyć pierwsze wyrazy ciągu
2n2 - 3n + 5
an =
3n2 - 2n + 8
oraz obliczyć jego granicę.
RozwiÄ…zanie:
2 - 3 + 5 4
a1 = = E" 0,444
3 - 2 + 8 9
Dzielimy licznik i mianownik
2Å" 4 - 3Å" 2 + 5 7
a2 = = = 0,438
przez n do najwyższej potęgi
3Å" 4 - 2Å"2 + 8 16
występującej w mianowniku
2Å"9 - 3Å"3 + 5 14
a3 = = E" 0,483
3Å"9 - 2Å"3 + 8 29
2n2 3n 5 3 5
- + 2 - +
n2 n2 n2 n n2 2
lim an = lim = lim =
n" n" n"
2 8
3n2 2n 8 3
3 - +
- +
n n2
n2 n2 n2
4
Przykład 2. Wyznaczyć pierwsze wyrazy ciągu
an = 4n2 + 5n - 2n
W celu pozbycia siÄ™
pierwiastka
oraz obliczyć jego granicę.
mnożymy przez
specjalnÄ… jedynkÄ™
a1 = 4 + 5 - 2 = 1
RozwiÄ…zanie:
a2 = 16 +10 - 4 E" 5,099 - 4 = 1,099
a3 = 36 +15 - 6 E" 7,141- 6 =1,141
ëÅ‚ öÅ‚
4n2 + 5n - 2n 4n2 + 5n + 2n
÷Å‚
lim an = lim( 4n2 + 5n - 2n)= limìÅ‚ Å"
n" n" n"ìÅ‚ ÷Å‚
1
4n2 + 5n + 2n
íÅ‚ Å‚Å‚
5n
4n2 + 5n - 4n2 5 5
n
= lim = lim = = = 1,25
n" n"
2 + 2 4
4n2 + 5n + 2n 4n2 5n 2n
+ +
n2 n2 n
5
Własności ciągów liczbowych
Nieskończony ciąg liczbowy {an}n"N jest ciągiem rosnącym
jeżeli spełnia on warunek:
" an+1 - an > 0
n"N
Nieskończony ciąg liczbowy {an}n"N jest ciągiem
malejącym jeżeli spełnia on warunek:
" an+1 - an < 0
n"N
Nieskończony ciąg liczbowy {an}n"N nazywamy ciągiem
geometrycznym jeżeli wyrazy tego ciągu spełniają
warunek:
an+1
" = q (q = const)
n"N
an
gdzie q nazywamy ilorazem ciÄ…gu geometrycznego.
6
Nieskończony ciąg liczbowy {an} nazywamy ciągiem
arytmetycznym jeżeli wyrazy tego ciągu spełniają warunek:
" an+1 - an = r (r = const)
n"N
gdzie r nazywamy różnicą w ciągu arytmetycznym.
Liczba Eulera
Liczba Eulera e jest granicą ciągu nieskończonego
n
1
ëÅ‚1+ öÅ‚
an =
ìÅ‚ ÷Å‚
n
íÅ‚ Å‚Å‚
n
1
öÅ‚
e = lim an = limëÅ‚1+ E" 2,71828...
ìÅ‚ ÷Å‚
n" n"
n
íÅ‚ Å‚Å‚
7
Szeregi liczbowe
Szeregiem liczbowym nieskończonym nazywamy sumę
"
nieskończoną wyrazów ciągu liczbowego {an}, tzn.
"a ,
n
n=1
Sumy S1 = a1,
S2 = a1 + a2,
S3 = a1 + a2 + a3,
& & & & & & & & &
n
Sn = a1 +L+ an =
"a
n
i=1
& & & & & & & & &
nazywamy sumami czÄ…stkowymi szeregu.
Szereg liczbowy jest zbieżny jeśli istnieje
n "
skończona granica
S = lim Sn = lim
"a = "a
n n
n" n"
n=1 n=1
8
Kryteria zbieżności szeregów liczbowych
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu liczbowego
"
lim
"a , jest zbieżność wyrazu an do zera, tzn. " an = 0.
n
n
n=1
Warunek ten nie jest jednak wystarczajÄ…cy!
Poznamy najczęściej stosowane kryteria zbieżności
szeregów liczbowych.
Kryterium d Alemberta
"
A1. Szereg liczbowy o wyrazach dodatnich,
"a ,
n
n=1
an+1
lim
tzn. an>0 dla każdego n, jest zbieżny jeśli " an <1.
n
"
"a ,
n
A2. Szereg liczbowy o wyrazach dodatnich,
n=1
an+1
lim >1.
n
tzn. an>0 dla każdego n, jest rozbieżny jeśli "
an
9
Kryterium Cauchy ego
"
C1. Szereg liczbowy o wyrazach dodatnich,
"a ,
n
n=1
lim
tzn. an>0 dla każdego n, jest zbieżny jeśli " n an <1.
n
"
C2. Szereg liczbowy o wyrazach dodatnich,
"a ,
n
n=1
lim
tzn. an>0 dla każdego n, jest rozbieżny jeśli " n an >1.
n
an+1
Uwaga: Jeśli wówczas kryterium d Alemberta
lim =1
n"
an
nie daje odpowiedzi czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.
n
lim an =1,
Jeśli wówczas kryterium Cauchy ego nie daje
n"
odpowiedzi czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny.
10
Kryterium porównawcze
"
"
"b
n
Dla dwóch szeregów i , którego wyrazy
"a
n
n=1
n=1
spełniają warunek 0"
"
P1. jeśli szereg jest zbieżny to szereg jest
"a
n
"b
n
n=1
n=1
także zbieżny.
"
"
P2. jeśli szereg jest rozbieżny to szereg
"b
n
"a
n
n=1
n=1
jest także rozbieżny.
11
Ważne szeregi
"
n-1
1. Szereg potęgowy:
"aq = a + aq + aq2 + aqn-1 +L
n=1
Szereg potęgowy jest zbieżny, gdy |q|<1, wówczas
"
n-1
S =
"aq = a
1- q
n=1
"
2. Szereg harmoniczny:
1 1 1 1
=1+ + +L+ +L
"
n 2 3 n
n=1
jest rozbieżny do +".
"
1
3. Szereg harmoniczny rzędu ą (ą>0):
Ä…
Ä…
Ä…
"
nÄ…
n=1
- jest zbieżny dla ą>1
- jest rozbieżny dla ąd"1.
12
Szeregi o wyrazach dowolnych
Szereg liczbowy o wyrazach naprzemian dodatnich
i ujemnych nazywamy szeregiem przemiennym.
"
n+1
Szereg taki możemy zapisać w postaci:
"(-1) an, gdzie
n=1
an są nieujemne dla każdego n.
Kryterium Leibniza
"
n+1
"(-1) an,
Jeśli w szeregu liczbowym przemiennym
n=1
wyrazy an od pewnego miejsca k tworzÄ… ciÄ…g malejÄ…cy, tzn.
ake"ak+1e"& e"ane"& oraz an0, wówczas szereg przemienny
jest zbieżny.
"
1 1 1
n+1 n+1
=1- + +L+ (-1) +L
Szereg anharmoniczny:
"(-1) 1
n 2 3 n
n=1
jest zbieżny (wynika to z kryterium Leibniza).
13
Kryterium bezwzględnej zbieżności
"
"a
n
Szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie jeśli szereg
"
n=1
an
"
jest zbieżny. Szereg jest zbieżny jeśli jest zbieżny
n=1
bezwzględnie.
" "
2n
n
Przykład 3. Zbadać zbieżność szeregów: i
" "(-1) 2n
n! nn
n=1 n=1
"
2n
Ad) "
Wykorzystamy kryterium d Alemberta
n!
n=1
2n Å" 2
2n Ò! an+1 = 2n+1
=
an =
(n +1)! n!(n +1)
n!
an+1 2n Å" 2 n!
lim = lim = 0 <1 Szereg zbieżny!
n"
an n" n!(n +1)Å" 2n
14
"
n
Ad)
"(-1) 2n
nn
n=1
Zbadamy bezwzględną zbieżność szeregu,
wykorzystujÄ…c kryterium Cauchy ego:
2n
an =
nn
2n 2
n n
lim an = lim = lim = 0 < 1
n" n"
nn n" n
Szereg jest zbieżny!
15
Zadania do rozwiÄ…zania:
1. Wyznaczyć pierwsze wyrazy ciągów i obliczyć granice:
2n - 3
2n2 + 4n + 3
n2 - n + 3 n3 + 2n - 5
an =
bn =
cn = dn =
6n + 2
5n2 - 2n
2n3 + 5n 2n2 + 5n - 7
2. Zbadać zbieżność szeregów:
"
"
2n n!3n
"
n10
" "
"10
(2n +1) n!
n
4n(n +1)!
n=1
n=1
n=1
n n "
"
"
(n +1)2n
"
"53
ìÅ‚ ÷Å‚
n
"ëÅ‚ 2n + 3 öÅ‚
n2
n 3n+1
5n + 4 n=1
íÅ‚ Å‚Å‚ n=1
n=1
16