0. Szeregi o wyrazach dowolnych
1. Zbadać zbieżność szeregów oraz określić rodzaj zbieżności:
2 n 1 n 1 1
1.1 1 n 1.2 1 n 1.3 1 n 1tg
3n 2 2 n 1
n
n 1 n 1 n 1
1 n 1 n n
ln n
1.4 1 n 1.5 1.6
n
n
n 1 n n 2 n2 3 n 1
n 1
1 n 1 2 1 n
1.7 1.8 1 n
n ln n n
n 2 n 1
2. Zbadać zbieżność szeregów:
n
ncos
sin n sin n sin na
3
2.1 2.2 2.3 2.4 , a
n ln ln n
n2
n 1 n 1 n 2
n2 1
n 1
a
n
3. Pokazać, że jeżeli szereg a2 jest zbieżny, to jest bezwzględnie
n
n
n 1 n 1
zbieżny.
1. Ciągi i szeregi funkcyjne
1. Niech f będzie ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na zbiorze D.
n
f
Pokazać, że jest zbieżny jednostajnie w zbiorze E D do funkcji f
n
lim sup f x f x 0
n
wtedy i tylko wtedy, gdy .
n x E
f
2. Zbadać jednostajną zbieżność ciągu funkcyjnego na podanych zbiorach:
n
n sin x
2.1 f x , A 0,1 , B 1,
n
1 nx
narctg x
2.2 f x , A 0,1 , B 1,
n
1 nx
x
2.3 f x sin ,
n
A 1,1 , B
n
x
2.4 f x narctg , A 0,1 , B 1,
n
n
2.5 f x arctg nx 2n , A 0,
n
1
nx
2.6 f x , A 0,1 , B 1,20
n
1 n x
nx
f x ,
2.7 A 0,1 , B 3,10
n
1 n2 x2
n 1
2.8 f x xn x , A 0,1
n
1 x2 1
2.9 A
f x sin ,
n
x 1 n
x n
2.10 f x ln 1 sin , A 0,1 , B 1,
n
x2 n
3. Dla jakich x dany szereg jest zbieżny (punktowo):
2
xn xn x
xn
lnn x sin
3.1 3.2 3.3
n 1 n2 3.4 1 xn 3.5 2n
n 1 n 1 n 1 n 1
sin nx x 1 n n x n
3.6 3.7 xn tg 3.8 3.9
n3 2n x n p nn x
n 1 n 1 n 1 n 1
4. Określić rodzaj zbieżności szeregów:
xn xn 1
4.1 1 x xn w 0,1 4.2 w 1,1
n n 1
n 0 n 1
5. Wykazać jednostajną zbieżność szeregów w podanym zbiorze:
arctg nx 1 n x
5.1 , 5.2 , x 2 5.3 ,
n2 x 2n 1 n4 x2
n 1 n 1 n 1
sin nx x2
2 x
,
5.4 5.5 ln 1 , x 2 5.6 arctg , x 0
3
n 1 n ln2 n x2 n3
n4 x4 n 2 n 1
6. Sprawdzić, czy funkcja f x f x jest określona i ciągła w A , jeżeli:
n
n 1
cos nx
x
f x , A
6.1 f x , A 0, 6.2
n
n
n 1 x 1 n x 1
10n
x
nx
ln n
f x , A
6.3 6.4
f x , A 0,1
n
n
1 n5 x2 n
2