CI
GI
Przykłady
CiÄ…g Fibonacci'ego
Granica ciÄ…gu
L = lim{n"} an wtw gdy dla każdego µ istnieje N takie że dla n e" N
%an-L% d" µ
UWAGA
Jeśli
oraz
to
Twierdzenie
Jeśli dla n e" N
oraz
to
UWAGA
Jeśli
to
Ciąg rosnący; ciąg malejący; ciąg ograniczony od dołu; ciąg ograniczony od góry; ciąg ograniczony
Twierdzenie
Każdy ciąg monotoniczny, ograniczony jest zbieżny.
Szeregi
MajÄ…c ciÄ…g
możemy utworzyć ciąg sum częściowych
CiÄ…g
nazywamy szeregiem, oznaczenie
Ten nowy ciąg może mieć lub nie mieć granicy. Jeśli ma to jego granicę
nazywamy sumÄ… tego szeregu.
I wtedy mówimy, że szereg jest zbieżny. Przeciwnym przypadku szereg
jest rozbieżny.
CiÄ…g geometryczny
Warunki dostateczne i wystarczajÄ…ce
Twierdzenie
Jeśli szereg
jest zbieżny to
Dowód.
Niech
Wtedy
Ponieważ szereg jest zbieżny to
Także
Zatem
Przykład
Szereg harmoniczny
jest rozbieżny.
Podobnie
i ogólnie
Własności
Przykłady
1. Dywan Sierpińskiego
Suma pól usuniętych kwadratów równa się 1.
2. Jaka jest suma pól usuniętych kół?
TESTY ZBIEŻNOŚCI
Zatem suma tego szeregu jest mniejsza niż
Wiemy, że całka
jest rozbieżna, tak więc suma szeregu jest nieskończona.
Kryterium całkowe zbieżności szeregów
Niech f będzie funkcją ciągłą, dodatnią, malejącą na odcinku [0,") i
niech an = f(n). Wtedy szereg
zbieżny wtw gdy całka niewłaściwa
jest zbieżna.
Przykład
Zbadaj zbieżność szeregu
Funkcja
na odcinku [0,") jest ciągła, dodatnia i malejąca.
Co więcej
Zatem szereg jest rozbieżny
.
Przykład
Dla jakich wartości p szereg
jest zbieżny?
a) p < 0.
Zatem szereg rozbieżny.
b) p =0.
Zatem szereg rozbieżny.
c) p > 0. Oczywiście funkcja
jest ciągła, dodatnia i malejąca na odcinku [0,") .
Wiemy, że całka
jest zbieżna dla p > 1 i rozbieżna dla p d" 1. Skąd
szereg jest zbieżny dla p > 1 i rozbieżny dla p d" 1.
Kryterium porównawcze
Przykład
Czy szereg
jest zbieżny.
Wiemy, że
i że szereg o wyrazach
jest zbieżny. Zatem nasz pierwszy szereg jest zbieżny.
Test porównawczy
Niech
i
będą dwoma szeregami o wyrazach dodatnich.
Jeśli szereg
jest zbieżny i
dla prawie wszystkich n, to także szereg
jest zbieżny.
Jeśli szereg
jest rozbieżny i
dla prawie wszystkich n, to także szereg
jest rozbieżny.
Przykład
Czy szereg
jest zbieżny?
Mamy następujące oszacowanie
Szereg
jest zbieżny, zatem i nasz szereg jest zbieżny.
Przykład
Czy szereg
jest zbieżny?
Mamy oszacowanie
Zatem szereg jest rozbieżny.
Kryterium porównawcze graniczne
Niech
i
będą dwoma szeregami o wyrazach dodatnich. Jeśli
i c jest liczbą rzeczywistą to albo oba szeregi są zbieżne albo oba
szeregi są rozbieżne.
Przykład
Czy szereg
jest zbieżny?
Stosujemy powyższe kryterium do
Wtedy
Zatem szereg jest zbieżny.
SZACOWANIE SUMY SZEREGU
Jeśli wyrazy szeregu są dane przez funkcję f malejącą i dodatnią to
oraz
i
Zatem
ZADANIE
A) Przybliż sumę szeregu
przy pomocy pierwszych 10 wyrazów i oszacuj błąd tego przybliżenia.
Zatem błąd tego przybliżenia jest mniejszy niż 0,005.
b) Ile wyrazów musielibyśmy wziąć pod uwagę by błąd przybliżenia był
mniejszy niż 0,0005?
Wiemy, że
i chcemy by
SkÄ…d
czyli
OGÓLNIE MAMY ZWI
ZEK
SZEREGI NAPRZEMIENNE
Przykłady
Ogólnie szereg naprzemienny ma wyrazy postaci
lub
gdzie wyrazy bn sÄ… dodatnie.
KRYTERIUM ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW NAPRZENNYCH
Jeśli szereg naprzemienny
spełnia warunki
to jest on zbieżny.
Bez dowodu
PRZYKA
ADY
1. Naprzemienny szereg harmoniczny jest zbieżny.
Bo
2. Szereg poniższy jest naprzemienny
ale nie jest zbieżny. Warunek b) nie jest spełniony
i co więcej granica
nie istnieje.
Szacowanie sumy szeregu naprzemiennego
Niech
będzie sumą szeregu naprzemiennego spełniającego warunki (a) i (b).
Wtedy
BEZWGL
DNA ZBIEŻNOŚĆ
Mówimy, że szereg
jest bezwzględnie zbieżny gdy szereg wartości bezwzględnych jest
zbieżny, tj. szereg
jest zbieżny.
Przykłady
A) Szereg
jest bezwzględnie zbieżny ponieważ szereg
jest zbieżny.
B) Szereg
jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, bo szereg
jest rozbieżny.
TWIERDZENIE
Szereg bezwględnie zbieżny jest zbieżny.
Dowód. Zauważ, że
Kryterium porównawcze zapewnia, że szereg
jest zbieżny. Następnie
jest zbieżny.
Przykład
Szereg
jest bezwzględnie zbieżny ponieważ
Kryterium zbieżności d'Alambert'a (ułamkowe).
a) Jeśli
to szereg
jest bezwzględnie zbieżny.
b) Jeśli
to szereg
jest rozbieżny.
Przykład
A Czy szereg
jest bezwzględnie zbieżny?
B) Czy szereg
jest bezwzględnie zbieżny?
Odp. Rozbieżny.