Zadania z zastosowań matematyki w ekonomii i zarządzaniu
2. Zadania do tematu ciÄ…gi i szeregi
2.1. Mając dany wzór na n-ty wyraz ciągu: an = f(n) = 3n + 1, zapisz ciąg nieskończony za pomocą
pierwszych kilku wyrazów ciągu.
2.2. Mając dany wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu an, wyznacz pierwszych pięć wyrazów ciągu:
n - 2 2 6
a) an = , b) an = , c) an = ,
3 5n 2n + 1
n + 2 2n 3n+1
d) an = , e) an = , f) an = ,
3n - 4 5n n + 4
2n
g) an = (-1)n(2n - 3), h) an = (-1)n+1n2, i) an = (-1)n-1 .
3n + 1
Czy któryś z tych ciągów jest ciągiem arytmetycznym lub geometrycznym?
2.3. Wyznacz zadany wyraz ciÄ…gu:
1
a) an = 5n - 7, wyznacz a6, b) an = , wyznacz a12,
2n + 7
6 - 5n
c) an = , wyznacz a8, d) an = (-1)n(3n + 5), wyznacz a15.
2n
2.4. Znajdz
wzór na wyraz ogólny dla podanych ciągów liczbowych:
a) 7, 12, 17, 22, 27, ..., b) 5, 7, 9, 11, ...,
1 1 1 1
c) -8, 9, -10, 11, -12, ..., d) 1, , , , , ...,
2 4 8 16
2 3 4 5 6
e) , , , , , ...
3 4 5 6 7
2.5. Dla danych ciągów znajdz
sumy częściowe S1, S2, S3 i S4:
a) an = 5n + 2, b) an = (-1)(n - 4),
c) an = 2n - 5, d) an = (-1)n(2n - 2).
2.6. Rozwiń następujące sumy częściowe. Wylicz je.
1
4 3 5
a) (5j + 1), b) (-1)k(2k - 1), c) (2i - 3),
j=1 k=1 i=0
6 5 8
3i
d) (-1)n(2n - 2), e) (20 + 2i), f) .
2
i=3 i=2 i=5
2.7. Zapisz sumy częściowe używając znaku sumowania .
1 2 3 4 5
a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5, b) 1 + 3 + 5 + 7, c) + + + + ,
1 2 4 8 16
d) -5 + 25 - 125 + 625, e) 2 - 5 + 8 - 11 + 14, f) 5 + 9 + 13 + 17 + 21.
2.8. Sprawdz
czy ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Jeżeli tak, znajdz
różnicę ciągu d.
a) 7, 11, 15, 19, ..., b) 8, 5, 2, -1, ..., c) -10, -4, 2, 8, 14, ...,
1 3 5
d) 1, 3, 9, 12, 36, ..., e) -1, , , , ..., f) 3, 5, 8, 10, 12, ....
2 2 2 2
2.9. Na podstawie podanych charakterystyk znajdz
zadany wyraz ciÄ…gu arytmetycznego.
1
a) a1 = 4, d = 5, znajdz
a16, b) a4 = 2, d = , znajdz
a10,
2
1 2
c) a1 = -10, d = -3, znajdz
a16, d) a1 = , d = , znajdz
a14,
3 3
e) 4, 13, 22, 31, ..., znajdz
a19, f) -1, 5, 11, 17, ..., znajdz
a12,
g) 5, 8, 11, 14, ..., znajdz
a28, h) -27, -24, -21, ..., znajdz
a14.
2.10. Oblicz sumÄ™:
13 20
a) (3i - 1), b) (3i + 5),
i=1 i=1
12 11
2
c) (4j + 6), d) ( k + 4).
3
j=1 k=1
2.11. Sprawdz
czy ciąg jest ciągiem geometrycznym. Jeżeli tak, znajdz
iloraz ciÄ…gu q.
a) 4, 12, 36, 108, ..., b) 6, 12, 36, 72, ...,
1 4
c) -1, , -1, ..., d) 12, 4, , ....
2 4 3
2.12. Na podstawie podanych charakterystyk znajdz
zadany wyraz ciÄ…gu geometrycznego.
a) a1 = 3, q = 2, znajdz
a10, b) a1 = 1, q = -4, znajdz
a6,
c) a1 = 10, q = -1, znajdz
a101, d) a1 = 25, q = -1, znajdz
a4,
5
e) 2, 10, 50, 250, ..., znajdz
a7, f) 8, 12, 18, ..., znajdz
a10,
g) 27, -18, 12, ..., znajdz
a13, h) 3, 6, 12, ..., znajdz
a11.
2
2.13. Oblicz sumÄ™:
9 8
a) 3i, b) 4i,
i=1 i=1
7 6
i
3
c) (-2)i, d) -4 .
4
i=1 i=1
2.14. Oblicz sumÄ™ szeregu geometrycznego:
1 1
a) a1 = 2, q = , b) a1 = 2, q = ,
2 3
c) a2 = 4, q = -1, d) a1 = -5,
2 6
" "
k-1 j
1 4
e) , f) ,
2 5
k=1 j=1
" "
i j+1
5 1
g) - , h) 2 .
3 6
i=1 j=1
2.15. Znajdz
granicÄ™ ciÄ…gu:
n3 - 2n2 - 1 3n2 - 6n + 2
a) an = , b) an = ,
-4n3 - n + 2 5n2 - 8n
x2 - 8
1
c) an = , d) an = (1 + 2 + ... + n),
n2
x3 - 6x2 + 5
2n n
e) an = " , f) an = " ,
5
n + n2 + 1 n + n5 + 1
(n + 1)5 + (n + 2)5 + ... + (n + 100)5 2n + 100
g) an = , h) an = .
n5 3n + 1
2.16. Znajdz
granicÄ™ korzystajÄ…c ze wzoru:
n
1
lim 1 + = e.
n"
n
n+2 n+4
n + 1 3n - 1
a) an = , b) an = ,
n 3n + 1
3n2 n 4
3n2 + 1 n + 2 n + 2
c) an = , d) an = ,
3n2 - 1 n + 1 n + 1
n
1
e) an = 1 + .
n2
3
Zastosowania w ekonomii
2.17. Jan Kowalski rozpoczyna pracę w nowej firmie. Jego wynagrodzenie wynosi 24 000 zł rocznie i ma
co roku wzrastać o 3 000 zł rocznie przez pierwszych 5 lat.
a) Zapisz ciÄ…g odzwierciedlajÄ…cy wynagrodzenie w przeciÄ…gu 5 lat.
b) Wyznacz ogólny wzór na n-ty wyraz ciągu.
c) Gdyby taką politykę płacową pracodawca kontynuował przez kolejne lata, to ile wyniosłoby
roczne wynagrodzenie w 15 roku pracy?
2.18. Nowe przedsiębiorstwo sprzedaje 20 sztuk produktu w pierwszym miesiącu działalności. Następnie
sprzedaż wzrasta o 20 sztuk w każdym kolejnym miesiącu. Ile wynosi całkowita liczba sprzedanych
towarów na koniec szóstego miesiąca działalności tego przedsiębiorstwa?
2.19. Przedsiębiorstwo sprzedaje 8 000 ton produktu w pierwszym roku działalności. W kolejnych latach
sprzedaż spada o 10% w każdym roku w stosunku do roku poprzedniego. Zapisz wyrażenie opisujące
sumę sprzedaży w ciągu n lat oraz wylicz ją dla n = 3.
2.20. Na podstawie danych z tabeli poniżej, przedstawiających ceny i proporcje wydatków, oblicz stopę
inflacji pomiędzy rokiem 0 i 1. Porównaj otrzymane wyniki ze wzrostem cen żywności i towarów
bezalkoholowych. Przy rozwiązywaniu zadania posłuż się indeksem cen Laspeyresa.
udział procentowy ceny ceny
w wydatkach w roku 0 w roku 1
(qi) (p0) (p1)
Żywność i napoje bezalkoholowe 30 80 98
Napoje alkoholowe i wyroby tytoniowe 7 70 92
Odzież i obuwie 7 120 133
Użytkowanie mieszkania i nośniki energii 17 275 280
Wyposażenie mieszkania 5 130 134
Zdrowie 3 52 60
Rekreacja i kultura 7 28 35
Inne towary i usługi 24 62 71
2.21. Zakładamy, że dane dotyczące wydatków i cen z poprzedniego zadania pozostają niezmienione, za
wyjątkiem wzrostu ceny odzieży i obuwia do 150 zł w roku 1. Oblicz nowe stopy inflacji i nową
stopę realnego wzrostu cen żywności.
2.22. Szok wywołany wprowadzeniem innowacji technicznych spowodował trwały wzrost możliwości in-
westycyjnych o 100 j.p. Przy dotychczasowej wielkości inwestycji na poziomie 1000 j.p. dochód
narodowy wynosił 20000 j.p. Oblicz wartość mnożnika, jeżeli krańcowa skłonność do konsumpcji
wynosi 0,75. O ile wzrósł dochód narodowy?
4
Zastosowania w matematyce finansowej - wartość pieniądza w czasie
2.23. Kwotę 1000 zł lokujemy w banku, w którym roczna stopa procentowa wynosi 10%, a odsetki są
kapitalizowane co kwartał. Oblicz stan konta na koniec 5 roku.
2.24. Ile powinno wynosić oprocentowanie lokaty, aby po upływie 6 lat potroić posiadany kapitał?
2.25. Firma ubezpieczeniowa zaproponowała ubezpieczonemu:
(a) natychmiastowe, jednorazowe odszkodowanie w wysokości 7000 zł,
(b) wypłatę odszkodowania po roku w wysokości 8000 zł.
Która forma wynagrodzenia jest korzystniejsza, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 12%?
2.26. Jaka będzie wartość działki za 10 lat, jeśli kupiliśmy ją za 200000 zł i przewidujemy, że jej wartość
będzie rosła o 10% rocznie?
2.27. Która z ofert jest korzystniejsza przy rocznej stopie procentowej lokat 4,5%:
(a) sprzedaż samochodu za 30 000 zł i zapłacie natychmiastowej,
(b) sprzedaż samochodu za 32 000 zł i zapłacie za pół roku?
2.28. W wyniku zainwestowania 10 000 zł po 4 latach otrzymujemy 13 000 zł. Oblicz roczną stopę
procentowÄ….
2.29. Mamy do wyboru dwa banki. W pierwszym oprocentowanie lokaty wynosi 6% rocznie, a odsetki
są kapitalizowane co kwartał. Drugi bank oferuje oprocentowanie 5% i kapitalizację odsetek co
miesiąc. Który bank ma wybrać klient?
2.30. Jaką kwotą będziemy dysponować przy końcu 8 roku, jeśli teraz wpłacimy 3000 zł, a w każdym
następnym roku po 500 zł, przy rocznej stopie procentowej 4%?
2.31. Wyprowadz
wzór na obliczanie wartości przyszłej kapitału przy kapitalizacji ciągłej.
2.32. Ile powinniśmy ulokować w banku, aby stan konta po 6 latach wynosił 10 000 zł, jeśli roczna stopa
procentowa wynosi 8% i odsetki są kapitalizowane w sposób ciągły?
2.33. Jaka będzie roczna spłata kredytu 10 000 zł zaciągniętego na 6 lat, gdy roczna stopa procentowa
wynosi 12 %?
2.34. Jaką kwotę należy wpłacić teraz na 10 %, aby przez kolejnych 5 lat otrzymywać kwoty po 5000 zł?
5
Wzory
CiÄ…gi i szeregi
n-ty wyraz ciÄ…gu arytmetycznego:
an = a1 + (n - 1)d
Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
(a1 + an) · n
Sn =
2
n-ty wyraz ciÄ…gu geometrycznego:
an = a1 · qn-1
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
Å„Å‚
òÅ‚
n · a1 gdy q = 1
Sn =
a1(1 - qn)
ół
gdy q = 1

1 - q
Suma szeregu geometrycznego istnieje w.i t.w., gdy |q| d" 1. Wówczas:
"
a1
S" = ai =
1 - q
i=1
Mikroekonomia
Indeks cen Laspeyresa:
n
0
p1 · qi
i
i=1
PL =
n
0
p0 · qi
i
i=1
Wartość pieniądza w czasie
n·m
r
Kapitalizacja zÅ‚ożona Kn·m = K0 1 +
m
Kapitalizacja ciÄ…gÅ‚a Kt = er·t · K0
Równe spłaty P kredytu zaciągniętego w kwocie L:
r(1 + r)n
P = L · .
(1 + r)n - 1
6