Kolokwium II rok 2011/2012
Zadanie 1:
a) Sformułować kryterium porównawcze.
b) Zbadać zbieżność szeregu .
Rozwiązanie:
a) Niech dane będą szeregi i takie, że
.
Wówczas:
- ze zbieżności szeregu
wynika zbieżność szeregu ,
- z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu .
b) Aby zbadać zbieżność szeregu wykorzystam kryterium porównawcze. W
tym celu skorzystam z zależności:
Najpierw poszukam szeregu większego od . Jeżeli będzie zbieżny, to badany
szereg również będzie zbieżny.
Z własności szeregu harmonicznego wiemy, że szereg jest rozbieżny, więc nie
możemy w ten sposób określić zbieżności badanego szeregu.
Teraz poszukam szeregu mniejszego od . Jeżeli będzie rozbieżny, to badany
szereg również będzie rozbieżny.
Z własności szeregu harmonicznego wiemy, że szereg jest rozbieżny, więc tym,
bardziej szereg , który jest większy od jest rozbieżny.
Odpowiedz
: Szereg jest rozbieżny.
Autor: Bartosz Stańczyk grupa 10
20.01.2014