EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ, I ROK INFORMATYKI
Nazwisko Imię Data Nr zestawu
1
" W polu należy wpisać jedną z dwu wartości logicznych: 1  gdy zdanie jest prawdziwe lub 0  gdy zdanie jest fałszywe.
Za prawidłowe rozwiązanie 2 pkt., za brak rozwiązania 0 pkt., za błędne rozwiązanie -2 pkt.
" W zadaniach bez pola należy dokończyć rozpoczęte zdanie w taki sposób, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Za prawi-
dłowe rozwiązanie 2 pkt., za błędne rozwiązanie lub jego brak 0 pkt.
" Zadania, w których zapis odpowiedzi jest niejednoznaczny (np. skreślenia w polu , poprawki w tym polu) traktowane
są jako zadania bez rozwiązania (0 pkt.)

n 1 1
1. Granica ciągu o wyrazie ogólnym an = (1)n + (Ą )n jest równa .
4 Ą
2. Ciąg o wyrazie ogólnym an = cos(nĄ) + 3 ma granicę równą 2.
3n+2 6n+5
3. lim =
3n+6
n"
" "
4. Ciąg o wyrazie ogólnym an = n2 + 4n + 1 - n2 + 2n ma granicę równą 1.
"

2n+5
5. Szereg jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego.
3n3+2
n=1
"

2n+1
6. =
6n
n=1
"

2nn!
7. Na mocy kryterium d Alemberta szereg jest zbieżny.
nn
n=1
"

(-1)n+1n
8. Szereg jest zbieżny.
n2+n+1
n=1
sin 8x 7
9. Granica lim jest równa .
7x 8
x0
x+2
"
10. Granica lim jest równa
2x2+8+2x
x-2
4-x2
11. Funkcja f(x) = osiąga maksimum lokalne w punkcie x0 = 0.
x2-1
1 3
12. Funkcja f(x) = x3 + x2 - 4x jest rosnąca w zbiorze
3 2
"
1 3
13. Pochodna funkcji f(x) = arcsin x w punkcie x0 = jest równa .
4 4
14. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x) = 3x w punkcie (2, 9) jest
równy 18 ln 3.
1
1
x
15. Jeśli f(x) = e , to f (-1) = -e-1.
x
2nx2
16. Ciąg funkcyjny (fn)n"N, fn(x) = , jest zbieżny punktowo na zbiorze [-3, 8] ale
1+nx3
nie jest zbieżny jednostajnie na [-3, 8].
"

(2n)!
17. Promień zbieżności szeregu potęgowego xn jest równy
(n!)2
n=1
18. Pochodna cząstkowa funkcji f: f(x, y) = x sin(x + 2y) względem zmiennej x w punkcie
x0 = (2, 1) jest równa
"f
(x0) =
"x
19. Gradient funkcji f(x, y) = x2y - 5x + 8y2 w punkcie (1, 3) jest równy [1 48].

20. (2 - 7x) sin x dx =
e
1
21. (3 - ln x)x dx =
1
1
(c) = 0, (xą) = ąxą-1, (sin x) = cos x, (cos x) = - sin x, (tgx) = ,
cos2 x
1
(ctgx) = - , (ax) = ax ln a, a > 0, a = 1, (sinhx) = coshx, (coshx) = sinhx,

sin2 x
1 1 1 1
"
(tghx) = , (ctghx) = - , (logax) = , a > 0, a = 1, (arcsinx) = ,

x ln a
cosh2x sinh2x 1-x2
1 1 1
"
(arccosx) = - , (arctgx) = , (arcctgx) = - .
1+x2 1+x2
1-x2