PÅ‚aszczyzna w przestrzeni
Niech dana będzie płaszczyzna Ą w układzie ortokartezjańskim OXYZ.
Niech punkt P0(x0, y0, z0) będzie dowolnym punktem płaszczyzny Ą

oraz wektor N = [A, B, C] będzie do niej prostopadły.
Definicja 1 (wektora normalnego).
Wektor prostopadły do płaszczyzny nazywamy wektorem normalnym tej
płaszczyzny.
Wniosek 1 (równanie normalne i ogólne płaszczyzny).
Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez punkt P0(x0, y0, z0) i pros-

topadłej do wektora N = [A, B, C] ma postać
(1) Ä„ : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Równanie (1) nazywamy równaniem normalnym płaszczyzny.
Wprowadzając oznaczenie D = -Ax0- By0-Cz0 otrzymujemy równanie
płaszczyzny w postaci
Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
nazywane równaniem ogólnym płaszczyzny.
Wniosek 2.
Każde równanie postaci Ax + By + Cz + D = 0, gdzie A, B i C nie są
jednocześnie równe zeru, tzn. A2+B2+C2 > 0, przedstawia płaszczyznę.
PÅ‚aszczyzna ta przecina oÅ› OZ w punkcie z = -D, o ile C 0.
C
Wniosek 3 (równanie odcinkowe płaszczyzny).
Równanie płaszczyzny Ą odcinającej na osiach OX, OY i OZ układu
współrzędnych odpowiednio odcinki a, b, c 0 ma postać
x y z
Ä„ : + + = 1
a b c
Powyższe równanie nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.
Wez
my trzy punkty P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3) leżące na
jednej płaszczyz
nie, tj. P1, P2, P3 " Ä„.
Wniosek 4.
Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punk-
ty Pi(xi, yi, zi), gdzie 1 i 3 przyjmuje postać


x - x1 y - y1 z - z1
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0
Ä„ :

x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
lub

x y z 1
x1 y1 z1 1
= 0
Ä„ :

x2 y2 z2 1
x3 y3 z3 1
Prosta w przestrzeni
Niech dana będzie prosta l w układzie ortokartezjańskim OXYZ prze-
chodząca przez punkt P0(x0, y0, z0) i równoległa do danego wektora

niezerowego n = [a, b, c].
Definicja 2 (wektora kierunkowego prostej).
Wektor równoległy do prostej nazywamy wektorem kierunkowym tej
prostej.
Wniosek 5 (równanie parametryczne prostej).
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0(x0, y0, z0) i równoległej

do wektora n = [a, b, c] przyjmuje postać
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = x0 + at
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
l : y = y0 + bt , gdzie t " R
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = z0 + ct
nazywaną równaniem parametrycznym prostej.
Wniosek 6 (równanie kanoniczne prostej).
Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P0(x0, y0, z0) i równoległej

do wektora n = [a, b, c] postaci
x - x0 y - y0 z - z0
l : = =
a b c
nazywamy postacią kanoniczną równania prostej.
Wez
my dwa dowolne punkty P1(x1, y1, z1) i P2(x2, y2, z2) leżące na pro-
stej l, tj. P1, P2 " l.
Wniosek 7.
Równanie prostej l przechodzącej przez dwa punkty Pi(xi, yi, zi), gdzie
1 i 2, w postaci parametrycznej przedstawia się zależnością
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = x1 + (x2 - x1)t
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
l : y = y1 + (y2 - y1)t , gdzie t " R
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = z1 + (z2 - z1)t
natomiast w postaci kanonicznej równaniem
x - x1 y - y1 z - z1
l : = =
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
Wniosek 8 (równanie krawędziowe prostej).
Prostą l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn
Ä„1 : A1x + B1y+C1z+D1 = 0 i Ä„2 : A2x + B2y+C2z+D2 = 0 zapisujemy
w postaci

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
l :
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
nazywanej równaniem krawędziowym prostej.
Pęk płaszczyzn
Definicja 3 (pęku płaszczyzn).
Pękiem płaszczyzn nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn przecinają-
cych się wzdłuż jednej prostej.
Wez
my dwie płaszczyzny Ą1 i Ą2:
Ä„1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
Ä„2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Jeżeli wektory normalne tych płaszczyzn nie są kolinearne, to płaszczy-
zny te przecinają się wzdłuż pewnej prostej l i wyznaczają pewien pęk
płaszczyzn.
Twierdzenie 1.
Płaszczyzna Ą należy do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez dwie prze-
cinające się płaszczyzny Ą1 i Ą2 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby
rzeczywiste 1 i 2, nierówne jednocześnie zero, tj. 2 + 2 > 0 takie,
1 2
że równanie tej płaszczyzny przedstawia się w postaci
1(A1x + B1y + C1z + D1) + 2(A2x + B2y + C2z + D2) = 0
Równanie powyższe nazywamy równaniem pęku płaszczyzn.
Wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn
Definicja 4 (rzut punktu na płaszczyznę i na prostą).
Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę Ą nazywamy punkt P tej
płaszczyzny spełniający warunek
PP Ä„" Ä„
Analogicznie rzutem prostokÄ…tnym punktu P na prostÄ… l nazywamy punkt
P tej prostej spełniający warunek
PP Ä„" l
Uwaga 1.
Odległość punktu P od płaszczyzny Ą jest równa długości odcinka PP ,
gdzie P jest rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę Ą. Analo-
gicznie, odległość punktu P od prostej l jest równa długości odcinka
PP , gdzie P jest rzutem prostokÄ…tnym punktu P na prostÄ… l.
Wniosek 9 (odległość punktu od płaszczyzny).
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od płaszczyzny Ą : Ax + By +Cz + D = 0
wyraża się wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P0, Ä„) =
"
A2 + B2 + C2
Wniosek 10 (odległość płaszczyzn równoległych).
Odległość między płaszczyznami równoległymi Ą1 i Ą2 o równaniach
Ä„1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, Ä„2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
wyraża się wzorem
|D1 - D2|
d(Ä„1, Ä„2) =
"
A2 + B2 + C2
Wniosek 11 (wzajemne położenie płaszczyzn).
Niech dane będą dwie płaszczyzny o równaniach:
Ä„1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0
Ä„2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Mówimy, że
1. płaszczyzny Ą1 i Ą2 są równoległe, tj. Ą1 Ą2, wtedy i tylko wtedy,
gdy
A1 B1 C1
= =
A2 B2 C2
2. płaszczyzny Ą1 i Ą2 pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy
A1 B1 C1 D1
= = =
A2 B2 C2 D2
3. płaszczyzny Ą1 i Ą2 są prostopadłe, tj. Ą1 Ą" Ą2, wtedy i tylko wtedy,
gdy
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
4. płaszczyzny Ą1 i Ą2 przecinają się pod dowolnym kątem różnym od
Ą/2, jeśli nie zachodzi żaden z poprzednich przypadków.
Wówczas układ

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
podaje równanie prostej będącej krawędzią przecięcia tych płasz-
czyzn.
Wniosek 12 (wzajemne położenie prostych).
Niech dane będą dwie proste o równaniach:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x = x1 + a1t1 x = x2 + a2t2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
l1 : y = y1 + b1t1 i l2 : y = y2 + b2t2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
z = z1 + c1t1 z = z2 + c2t2

gdzie t1, t2 " R. Oznaczmy przez n1 i n2 wektory kierunkowe prostych od-

powiednio l1 i l2, tzn. wektory postaci n1 = [a1, b1, c1] i n2 = [a2, b2, c2].
Niech punkty P1(x1, y1, z1) " l1, P2(x2, y2, z2) " l2.

1. Proste l1 i l2 są równoległe, tj. l1 l2, jeśli wektory n1 i n2 są

kolinearne, tzn. istnieje takie  " R, że n1 = n2, co jest równoważne
warunkowi
a1 b1 c1
= = = 
a2 b2 c2
przy czym l1 i l2 pokrywajÄ… siÄ™ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
---
-

trzy wektory n1, n2 i P1P2 sÄ… parami kolinearne.
2. Proste l1 i l2 są prostopadłe, tj. l1 Ą" l2, wtedy i tylko wtedy, gdy

n1 Ä„" n2,tj.
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
3. Proste l1 i l2 przecinają się pod dowolnym kątem różnym od Ą/2

wtedy i tylko wtedy, gdy wektory n1, n2 nie sÄ… kolinearne, natomiast
---
-

trójka wektorów n1, n2 i P1P2 jest koplanarna, tzn. gdy zachodzi


x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
a1
b1 c1 = 0

a2 b2 c2
Rozwiązanie układu równań
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x1 + a1t1 = x2 + a2t2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
y1 + b1t1 = y2 + b2t2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z1 + c1t1 = z2 + c2t2
względem t1 i t2 wyznacza punkt przecięcia prostych l1 i l2.

4. Proste l1 i l2 są skośne wtedy i tylko wtedy, gdy wektory n1 i n2 nie
---
-

sÄ… kolinearne a wektory n1, n2 i P1P2 nie sÄ… koplanarne.