AiR2. 2013r.
TEORIA DO 1. KOLOKWIUM
1. Podaj i zilustruj diagramami Venna prawa de Morgana na przykładzie 2 zdarzeń.
I prawo de Morgana
II prawo de Morgana
Autorzy: Maciej Latt, Michał Kurek, Robert Kowalewski
2. Podaj definicję i zilustruj diagramem Venna układ zupełny zdarzeń.
Zdarzenia tworzą układ zupełny zdarzeń jeżeli ich suma jest zdarzeniem pewnym i jeżeli
te zdarzenia wykluczajÄ… siÄ™ wzajemnie parami.
3. Podaj aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję, która przyporządkowuje zdarzeniu losowemu A
liczbę rzeczywistą nazywaną prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A;
Aksjomat 1:
Aksjomat 2:
Aksjomat 3: Jeżeli zdarzenia losowe są parami rozłączne, to:
4. Podaj definicję Laplace'a prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwem zdarzenia nazywamy stosunek liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających zajściu zdarzenia A do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych
Warunek stosowania: zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A są jednakowo
prawdopodobne (tautologia).
Wadą definicji jest fakt, że i muszą być skończone i znane.
5. Podaj geometryczną definicję prawdopodobieństwa.
- obszar (powierzchnia, objętość) sprzyjający zajściu zdarzenia A;
G - obszar odpowiadający zajściu wszystkich możliwych zdarzeń.
6. Podaj częstościową definicję prawdopodobieństwa.
Jeżeli przy wielokrotnym powtarzaniu, w jednakowych warunkach, tego samego doświadczenia, w
wyniku którego może zajść zdarzenie losowe , częstość występowania tego zdarzenia, przy rosnącej
liczbie doświadczeń, zmierza do ustalonej wartości, to wielkość tę przyjmujemy za
prawdopodobieństwo zdarzenia A.
7. Wyprowadz
wzór na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń losowych.
(1)
(2)
z (1) i (2) otrzymujemy:
8. Wyprowadz
wzór na prawdopodobieństwo sumy trzech zdarzeń losowych.
9. Podaj definicję prawdopodobieństwa warunkowego i jego właściwości.
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia losowego A przy warunku, że zaszło zdarzenie B, dla
którego , oznaczamy i definiujemy wzorem
Własności:
1.
2.
3. Spełnia wszystkie aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa:
·ð
·ð
·ð ;
10. Udowodnij prawdziwość aksjomatów rachunku prawdopodobieństwa dla
prawdopodobieństw warunkowych.
Dowód 1:
Dowód 2:
Dowód 3:
11. Podaj twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.
Jeżeli zdarzenia tworzą układ zupełny zdarzeń, to dla dowolnego zdarzenia jego
bezwarunkowe prawdopodobieństwo, nazywane prawdopodobieństwem zupełnym (całkowitym)
możemy obliczyć z wzoru:
12. Udowodnij twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.
13. Podaj twierdzenie Bayesa.
Jeżeli zdarzenia tworzą układ zupełny zdarzeń, to dla dowolnego zdarzenia A, dla
którego , prawdopodobieństwa warunkowe dane są wzorem:
14. Udowodnij twierdzenie Bayesa.
15. Podaj interpretacjÄ™ twierdzenia Bayesa.
- zdarzenia, będące hipotezami jakie stawiamy odnośnie przyczyny wyniku eksperymentu, gdy
obserwujemy wynik eksperymentu, czyli zdarzenie
Dzięki twierdzeniu Bayesa możemy obliczyć prawdopodobieństwa poszczególnych hipotez - pod
warunkiem, że znamy wynik eksperymentu.
Prawdopodobieństwa hipotez przy znanym skutku (prawdopodobieństwa a posteriori)
obliczamy korzystając z prawdopodobieństw:
·ð Warunkowych, wyniki eksperymentu przy znanej przyczynie (znanej hipotezie)
·ð Bezwarunkowych prawdopodobieÅ„stw hipotez (prawdopodobieÅ„stwa a priori)
16. Podaj definicję niezależności dla dwóch zdarzeń losowych.
Mówimy, że dwa zdarzenia losowe A i B są niezależne statystycznie wtedy i tylko wtedy, gdy:
Oznacza to, że dla zdarzeń niezależnych:
17. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia losowe A i B są niezależne, to także niezależne są zdarzenia
losowe A i .
Wiedząc że: otrzymujemy:
Ostateczne:
18. Czy dwa zdarzenia losowe, które są rozłączne są także niezależne?
Dwa zdarzenia rozłączne nie są niezależne.
Dowód:
Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne to . Czyli z warunku na niezależność:
Czyli zdarzenia A i B nie mogą zajść jednocześnie. Świadczy to o ich zależności.
19. Podaj definicję wzajemnej niezależności dla N>2 zdarzeń losowych.
Zdarzenia są wzajemnie niezależne wtedy i tylko wtedy, kiedy dla dowolnego zbioru
liczb całkowitych takich że i
20. Podaj definicjÄ™ zmiennej losowej.
Funkcję nazywamy zmienną losową, jeżeli spełnia ona warunki:
1. Przyjmuje wartości rzeczywiste i jest określona na przestrzeni zdarzeń losowych , dla
której jest określona funkcja prawdopodobieństwa ;
2. Dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór jest zdarzeniem losowym.
Funkcja odwzorowuje każde zdarzenie elementarne w punkt na osi liczb rzeczywistych
. Oznaczenie: .
21. Podaj definicję i wymień właściwości dystrybuanty zmiennej losowej.
DystrybuantÄ… zmiennej losowej nazywamy funkcjÄ™: gdy
Właściwości dystrybuanty zmiennej losowej:
1. Jest funkcją niemalejącą  jeżeli , to
StÄ…d
2.
3.
4.
5. Dystrybuanta jest funkcją lewostronne ciągła:
22. Podaj definicję gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej i uzasadnij nazwę
tej funkcji.
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej nazywamy funkcję:
, gdzie
Funkcja ta obrazuje rozkład prawdopodobieństwa i pokazuje gdzie wypada największe
prawdopodobieństwo dla zmiennej losowej.
23. Podaj właściwości gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej.
Właściwości gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej:
1. Gęstość prawdopodobieństwa jest nieujemna:
2. - warunek normalizacyjny
3.
4.
24. Jakie znasz rodzaje zmiennych losowych i czym się one różnią?
Rodzaje zmiennych losowych:
·ð CiÄ…gÅ‚a  zmienna, która może przybierać dowolne wartoÅ›ci z pewnego nieskoÅ„czonego i
niepoliczalnego przedziału. Jej dystrybuanta jest funkcją absolutnie ciągłą - ma pochodną
prawie wszędzie (oprócz przeliczalnej liczby punktów)
·ð Dyskretne (ziarnista, skokowa)  zmienna, która posiada skoÅ„czony i policzalny zbiór
wartości, a jej dystrybuanta jest krzywą schodkową
·ð Mieszane  zmienna, której dystrybuanta jest nieciÄ…gÅ‚a, ale jednoczeÅ›nie nie jest typu
schodkowego.
25. Jak można jednolicie opisać za pomocą gęstości prawdopodobieństwa zmienne losowe
ciągłe, dyskretne i mieszane.
·ð Pochodna uskoku jednostkowego:
, ,
·ð Pochodna dystrybuanty schodkowej:
26. Jak znając gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej można obliczyć jej dystrybuantę?
Przy znanej gęstości prawdopodobieństwo, dystrybuanta może być obliczona z wzoru:
Warunek normalizacyjny: .
27. Jak można obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową wartości z
przedziału . Podaj interpretację geometryczną.
Załóżmy, że i , wtedy dla małych wartości .
28.Jaką postać ma dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa mieszanej zmiennej losowej?
Dystrybuanta zmiennej losowej mieszanej ma postać:
gdzie: , , jest funkcją  schodkową , jest funkcją absolutną ciągła
29. Podaj definicje wektora losowego.
-wymiarową zmienną losową nazywamy zespół jednowymiarowych zmiennych losowych
(inaczej: zespół funkcji , który każdemu zdarzeniu
elementarnemu przyporządkowuje odpowiedni zespół liczb rzeczywistych ).
Wygodnie jest przedstawić -wymiarową ZL jako -wymiarowy wektor , reprezentowany przez
macierz kolumnową, której elementami są ZL .
Wektor losowy (WL):
30. Podaj definicje dystrybuanty wektora losowego i właściwości tej funkcji.
DystrybuantÄ… wektora losowego nazywamy funkcjÄ™ zmiennych (dystrybuanta Å‚Ä…czna):
Właściwości dystrybuanty WL :
1) Jest funkcją niemalejącą swoich argumentów tj. jeśli , to:
2) Dystrybuanta WL jest lewostronnie ciągła;
3) Jeżeli jeden lub większa liczba argumentów dystrybuanty WL jest równa , to przyjmuje ona
wartość 0:
4) Jeżeli jeden lub większa liczba argumentów dystrybuanty WL jest równa , to staje się ona
dystrybuantą o liczbie argumentów zmniejszonej o liczbę argumentów równych
31. Podaj definicje gęstości prawdopodobieństwa wektora losowego i właściwości tej funkcji.
Gęstość prawdopodobieństwa WL (gęstość łączna) definiujemy wzorem:
Właściwości:
·ð
·ð (warunek normalizacyjny)
32. Napisz wzór pozwalający na obliczenie dystrybuanty wektora losowego przy znanej
jego gęstości prawdopodobieństwa.
33. Jak z -wymiarowej dystrybuanty wektora losowego można obliczyć jego dystrybuanty
brzegowe?
Z właściwości dystrybuanty WL:
wynika, że:
Tak obliczone dystrybuanty poszczególnych składowych WL:
nazywamy dystrybuantami brzegowymi dystrybuanty Å‚Ä…cznej WL.
34. Jak z -wymiarowej gęstości prawdopodobieństwa wektora losowego można obliczyć
jego gęstości brzegowe?
Ze związku między gęstością prawdopodobieństwa i dystrybuantą:
wynika, że:
Chcąc obliczyć gęstość brzegową składowej należy scałkować gęstość łączną WL po realizacji
wszystkich pozostałych składowych WL.
35. Podaj definicję warunkowej gęstości prawdopodobieństwa.
Gęstość warunkowa pierwszej składowej WL ZL , przy warunku, że druga składowa WL-ZL przyjęła
wartość
36. Podaj definicje niezależności dwóch zmiennych losowych
Dwie zmienne losowe , są niezależne statystycznie wtedy i tylko wtedy, jeżeli ich dystrybuanta
łączna jest równa iloczynowi dystrybuant brzegowych:
lub równoważnie:
Z definicji niezależności ZL wynika, że:
Oznacza to, że dla niezależnych statystycznie ZL przyjęcie przez ZL ( ) konkretnej wartości nie
ma wpływu na rozkład ZL ( ).
37. Podaj definicje niezależności dwóch wektorów losowych.
Dwa wektory losowe: są niezależne statystycznie wtedy i tylko wtedy, kiedy:
lub
38. Jak można obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A związanego ze
zmienną losową (np. )), która jest powiązana statystycznie ze zmienną losową
(znana jest gęstość prawdopodobieństwa łącznego WL )?
Przy znajomości prawdopodobieństwa warunkowego zdarzenia losowego A, przy warunku, że ZL
przyjęła wartość :
, czyli:
Prawdopodobieństwo zdarzenia A możemy obliczyć ze wzoru:
39. Jak można obliczyć gęstość brzegową danej składowej dwuwymiarowego WL jeżeli
znana jest gęstość warunkowa tej składowej przy ustalonej wartości drugiej składowej i
danej bezwarunkowej gęstości prawdopodobieństwa drugiej składowej?
40. Podaj i omów twierdzenie Bayesa dla zmiennych losowych.
41. Podaj i opisz wzór na gęstość prawdopodobieństwa ZL będącej funkcja deterministyczną
zmiennej losowej o znanej gęstości prawdopodobieństwa.
Rozpatrzmy dyskretną zmienną losową o rozkładzie:
I jej funkcjÄ™, ZL :
42. Podaj definicje wartości średniej i sposoby jej obliczania dla ZL dyskretnych i ciągłych.
Wartość średnia - wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego.
Wartością średnią ZL dyskretnej o rozkładzie: nazywamy liczbę
:
Wartością średnią ZL ciągłej o rozkładzie: nazywamy liczbę :
warunek istnienia: