12. INFLACYJNA FAZA EKSPANSJI WSZECHŚWIATA
I. TRUDNOŚCI MODELI FRIEDMANNOWSKICH
Wszystkie rozwiązania kosmologiczne Friedmanna posiadają osobliwość matematyczną w punkcie
T = 0 [RT = 0) = 0]. Wprawdzie rozumiemy już obecnie, że w kosmologii bazującej na OTW
(
ostateczną granicą stosowalności jest tzw. skala planckowska:
GH
L = = 1.6 � 10 CM
C
GH
T = = 5.4 � 10 S
C
CH
M = = 2.2 �10 G
G
(1)
* * * * * * * * * * * * * *
C
� = = 5.2 �10 G CM
GH
MC
T = = 1.3 � 10 K
K
jednak nawet startowanie z rozwiązaniami Friedmanna od chwili T = T powoduje pewne kłopoty.
Omówimy tu najważniejsze z nich.
1. Problem horyzontu.
W rozdziale  Horyzont kosmologiczny zdefiniowany został tzw. horyzont cząstek jako obszar
(zbiór) zdarzeń, które mogą być przyczynowo powiązane. (W obszarze takim może się np.
wyrównywać temperatura). W szczególności dla modelu wszechświata  płaskiego rozmiar horyzontu
zwiększa się liniowo z czasem jak R (T) = RT) �R = 2C H(T) = 3CT natomiast wzajemne
(
odległości narastają z czasem jak RT) " T a więc wolniej. Zasięg horyzontu wokół wybranego
(
punktu  pomimo ekspansji  obejmuje stopniowo coraz większy obszar.
Rozważmy dla pewnej  bardzo wczesnej  chwili T pewien spory obszar wszechświata o
objętości V(T ) = ĄR (T ). W tej samej chwili T objętość dowolnego obszaru przyczynowo
powiązanego  czyli objętość wewnątrz horyzontu wynosi V (T ) = ĄR . Wielkość:
V(T ) R (T ) 1
N (T ) === (2)
V (T ) R (T ) R
określa, ile takich przyczynowo rozłącznych obszarów mieści się w objętości V(T ).
Ponieważ jednak R (T) " T (patrz formuła (7) w rozdziale  Horyzont kosmologiczny ), to ilość
rozłącznych obszarów N(T) w objętości V(T) maleje nam w czasie jak N(T) " T . Czyli, dzisiejszy
obszar dostępnego naszym obserwacjom horyzontu składał się kiedyś (np. w erze dominacji
promieniowania lub jeszcze dawniej) z wielu przyczynowo rozłącznych podobszarów. Zastanawiająca
jest więc w tej sytuacji tak duża jednorodność temperaturowa promieniowania reliktowego
obserwowana obecnie. W jaki sposób wyrównały się temperatury (i to z dokładnością do 0.001 K) w
obszarach, które kiedyś były przyczynowo rozłączne. Trudno bowiem uwierzyć w samoistną
jednorodność tej temperatury i brak jakichkolwiek większych fluktuacji w całym wczesnym
wszechświecie. I tu właśnie pewną propozycją staje się koncepcja  inflacyjnej fazy ekspansji , w
czasie której tempo ekspansji RT) było dużo większe (np. eksponencjalne) i przewyższało
(
rozprzestrzenianie się obszarów horyzontu R (T). Wówczas to, co dziś obserwujemy jako nasz
horyzont kosmologiczny, pochodziłoby z  inflacyjnego rozdęcia jednego z wielu dawnych
niewielkich obszarów przyczynowo powiązanych.
2. Problem płaskości Wszechświata.
Podstawowym parametrem, który decyduje o zachowaniu się funkcji RT) w rozwiązaniach
(
kosmologicznych Friedmanna, jest średnia gęstość materii we wszechświecie. Jak wiemy, istnieje tzw.
gęstość krytyczna � = 3H 8ĄG dla której otrzymuje się model  płaski . Wprowadza się też
pomocnicze oznaczenie &! := � � jako parametr charakteryzujący typ modelu kosmologicznego.
Obecna dokładność danych obserwacyjnych pozwala określić dopuszczalny zakres tego parametru
jako &! = 1 ą 0.7. Ten pozornie szeroki przedział obecnej niepewności oznacza jednak, że już pod
koniec ery dominacji promieniowania, parametr ten musiał być określony z dokładnością ułamka
.
.
promila Napiszmy raz jeszcze nasze równanie kosmologiczne H - 8ĄG� 3 =-KC R w
postaci:
8ĄG�R
H R -=-KC (3)
3
Pomnożymy je stronami przez 3 8ĄG�R i podstawiając definicję gęstości krytycznej � oraz
parametr &! możemy je przekształcić do formuły
1 C
- 1 = (4)
&! �R
gdzie stała C =-3KC 8ĄG. Jednocześnie wiemy, że � R = �R oraz R = R(1 + Z). Stąd
�R = � R (1 + Z). (Indeks 0 odnosi się jak zwykle do chwili obecnej oraz Z = 0 ). Możemy więc
dla naszego równania napisać
1 C
- 1 = (5)
&! � R
oraz
1 C 1

- 1 == - 1 1 + Z (6)



&! � R (1 + Z) &!
To zaś w prosty sposób przekształcimy do postaci
&! (1 + Z)
&!= (7)
1 +&! Z
A
atwo policzyć, że nawet jeśli obecnie parametr &! znany byłby z niepewnością rzędu &! = 1 ą 0.7
to dla ery promienistej, gdy Z = 10 mamy &! = 1 ą 2 �10 natomiast w pobliżu chwili
T = T = 10 s parametr ten musiał być określony z fantastyczną wręcz dokładnością
Gdyby dopasowanie to było trochę mniejsze, np. &!= 1 ą 10 to albo mielibyśmy
hipersferyczny model wszechświata o czasie trwania swojego cyklu poniżej 1 mld lat lub też model
hiperboliczny ekspandujący zbyt szybko aby mogły uformować się galaktyki. Natomiast
zaproponowana inflacyjna faza ekspansji wczesnego wszechświata jest w stanie usprawiedliwić to
niezwykłe wręcz  spłaszczenie globalnej geometrii przestrzeni.
3. Problem warunków początkowych Wszechświata.
Obserwowalny obecnie obszar wszechświata jest rzędu kilkunastu mld lat świetlnych, czyli
RT ) a" R 10 CM i ma temperaturę T 3K. Jak wiadomo (patrz formuła (5) w rozdz.
(
 Wczesne etapy ewolucji Wszechświata ), przy adiabatycznej ekspansji zachodzi związek
(
RT)T(T) = CONST czyli RT = RT . W pobliżu warunków planckowskich, gdy T = T = 10 K
otrzymamy z powyższego związku R 10 CM zamiast spodziewanego rozmiaru planckowskiego
L 10 CM. Jeśli natomiast wystartujemy z warunków planckowskich jako warunków
początkowych w rozwiązaniach Friedmanna, to otrzymamy w rezultacie hipersferyczny model
wszechświata o czasie trwania cyklu rzędu T 10 S. Widać więc wyraz
nie, że parametry
planckowskie (1) nie mogą być warunkami początkowymi rozwiązań kosmologicznych, gdyż
prowadzą do rezultatów sprzecznych z obecnymi danymi obserwacyjnymi.
4. Stare idee w nowej sytuacji.
Opisane powyżej kłopoty modeli Friedmanna stały się inspiracją dla pomysłu zaistnienia na
początku Wielkiego Wybuchu fazy krótkotrwałej, lecz bardzo gwałtownej ekspansji  tzw.  inflacji
(główni twórcy tej idei to A. Guth i A. Linde). Powrócono tu do dwóch starych koncepcji  do
rozwiązania de Sittera (tzn. pusty i ekspandujący świat) oraz do rozwiązań ze stałą kosmologiczną
(patrz rozdział:  Problem stałej kosmologicznej, fatalna czy genialna pomyłka Einsteina? )  wśród
których istnieją rozwiązania z bardzo szybką (eksponencjalną) ekspansją. Koncepcje te znalazły się
teraz w nowym kontekście, uzupełnione wiedzą z zakresu teorii pola.
W rozdz.  Problem stałej kosmologicznej, fatalna czy genialna pomyłka Einsteina? mieliśmy
równania kosmologiczne:
1 DR K �C 8ĄG 1
+ = �C + �C (8)

R DT R 3C 3
1 D R 1 DR K �C 8ĄG
2 ++ =- P +�C (9)

R DT R DT R C
z których przy K = 0 P = � = 0 oraz otrzymuje się rozwiązanie :
RT) = RE (10)
(
W tym przypadku parametr Hubble a H = = = CONST.
Dla modeli z K =ą1 rozwiązania te mają odpowiednio postać:


COSH �C �T K =+1


3
RT) " (11)
(


�C

SINH �T K =-1

3

We wspominanym rozdziale otrzymaliśmy też związek:
D R 4ĄGR
=- �C + 3P - P (12)
DT 3C
gdzie: P = C 4ĄG �. Jednocześnie różniczkując równanie (8) po czasie i wstawiając

otrzymane D R DT do równania (9), dostaniemy po uporządkowaniu:
D(�C )
=-3H(�C + P) (13)
DT
W rozwiązaniu de Sittera było � = P = 0 a stąd �C + P = 0 (tzw. warunek zachowawczy).

Zauważono jednak, że formalnie można przyjąć ogólniejszy warunek: � = CONST
P = CONST.Wówczas cała prawa strona równań (8) i (9) to stałe, a ich rozwiązania nadal są typu de
Sittera (10) i (11), tylko stałe pod pierwiastkiem zamiast �C 3 będą teraz �C 3 + 8ĄG� 3.
Ponadto przyjęcie � = CONST oznacza, że z warunku �C + P = 0 otrzyma się osobliwe dość

równanie stanu:
P =-�C (14)
dopuszczające ujemne ciśnienie.
Warunek ten wstawiony do (12) da nam w rezultacie
1 D R 8ĄG 1
= �C + �C = CONST (15)
R DT 3C 3
Rozwiązania tego równania (spełniające też równanie 8) są:
R COSH(HT) DLA K =+1



RE

RT) = DLA K = 0 (16)
(



R SINH(HT) DLA K =-1



gdzie R = C H zaś H = 8ĄG� 3 +�C 3 = CONST. Zauważmy, że dla mamy
E 2SINH(HT) 2COSH(HT) a więc wszystkie trzy rozwiązania stają się podobne. Różnica jest
natomiast w pobliżu T = 0 gdzie E oraz COSH(HT) 1 zaś SINH(HT) 0.
Okazuje się, że interwał czasoprzestrzenny przy ekspansji opisanej równaniami (16) ma postać:
C DT - DR - R (D + SIN �D )
1 R H
DS = - (17)


C R H

1 -
C
(uwaga! tu współrzędna R ma wymiar długości). Rozmiar horyzontu otrzymamy z warunku DS = 0
(sygnał świetlny rozchodzący się radialnie), a więc z (17):
DTH �R
C �DT = CT = (18)

R H = ARCTH
C
1 -
C
a stąd:
C
R = TANH(CT ) (19)
H
Nawet gdy CT " to R = CONST a więc dla każdego obserwatora istnieje absolutnie
nieprzekraczalny horyzont, spoza którego nigdy nie dotrą sygnały świetlne, nawet po nieskończenie
długim czasie. Praktycznie już po czasie sekundy mamy CT = 3 i R czyli stałe,
podczas gdy przestrzeń nadal rozszerza się eksponencjalnie. Coraz to nowe rejony i obiekty wylatują
poza dostępny naszemu obserwatorowi obszar. Ta własność ekspansji może doprowadzić do
obserwowanej obecnie jednorodności promieniowania reliktowego i płaskości naszego świata. Model
inflacyjny właśnie to wykorzystuje. Trzeba tylko znalez
ć fizyczne uzasadnienie dla dziwnego równania
stanu w postaci (14), czyli P =-�C .
prof. Jerzy Sikorski