14. INFLACYJNA FAZA EKSPANSJI WSZECHŚWIATA
II. ZARYS MECHANIZMU  INFLACJI
Omawiane w poprzednim rozdziale ( Umasowienie� pola bezmasowego  zarys idei Higgsa )
pole skalarne oraz mechanizm spontanicznego łamania symetrii, zostały zaadaptowane do
skonstruowania podstaw teorii opisującej eksponencjalną (inflacyjną) fazę ekspansji wszechświata (A.
Guth, A. Linde). Przeanalizujemy więc ewolucję takiego pola w ekspandującej czasoprzestrzeni.
Będziemy zakładali, że pole może być zmienne w czasie ( = (T)) natomiast, ze względu na
jednorodność i izotropowość wszechświata, jest ono (przynajmniej w obrębie horyzontu) jednakowe
(czyli zerują się wszystkie jego pochodne po współrzędnych przestrzennych = 0 = 1 2 3).
Przypomnijmy, że lagranżjan dla tego pola miał postać
1 MC
L =- [ - GDZIE = (1)
( ) ]
2 H
i po wstawieniu do równań Lagrange a otrzymywało się równanie Kleina-Gordona - = 0.
( )
Ponieważ jednak, zgodnie z powyższym założeniem, zerują się pochodne przestrzenne, więc nasz

lagranżjan będzie: L =- ( ) + zaś z równania Kleina-Gordona pozostanie równanie

falowe + = 0 (uwaga, przyjęto oznaczenia  kropka to pochodna po czasie T zaś  prim


to pochodna po X = CT czyli: := zaś := = = ). Mając lagranżjan można
policzyć tensor energii - pędu.
Tensor energii - pędu
Niech funkcja Lagrange a L = L( ) spełnia równania Lagrange a

L L
= .
X
Rozpiszemy wyrażenie
L L L
= � + �
X
Możemy także w tym wyrażeniu człon zamienić na z równań Lagrange a
i napisać

L L L L

=� + � =�

X X X
Jednocześnie można podstawić = . Przenosząc wszystko na jedną stronę
dostaniemy warunek zachowawczy:
T
L
- � := a" T = 0
� L
X X
Wielkość T to tensor energii - pędu dla pola .
Przy uczynionych powyżej założeniach co do pochodnych funkcji pola, dostaniemy na tensor

energii - pędu wielkości: T = ( ) + oraz T = T = T =- ( ) + .
Jednocześnie wiadomo, że dla ośrodków ciągłych (pól) wyrazy diagonalne to odpowiednio: T =
 gęstość energii, zaś T = T = T =-P  ciśnienie. Z rozdziału o mechanizmie Higgsa wiemy
też, że wyraz można zastąpić ogólniejszym wyrażeniem potencjalnym V( ) i skorzystamy z
tego w następnym rozdziale. Mamy więc obecnie dwa następujące wyrażenia:
1
= ( ) +V( )
2
(2)
1
P = ( ) -V( )
2
z których wynika:

+ P = ( )
(3)
- P = 2V( )
W ogólności mamy więc pewne równanie stanu typu P = P( ) i jeśli dla jakichś wartości pola
zdarzy się V( ) = 0 to P = . Jeśli natomiast zdarzy się dla pewnych chwil T warunek


= = 0 to wówczas otrzymamy osobliwe równanie stanu w postaci =-P. A taki właśnie
warunek był niezbędny dla wywołania eksponencjalnej ekspansji.
W rozdziale   Trudności modeli friedmannowskich mieliśmy równanie (8) w postaci
=-3H( + P) w którym gęstość energii = �C związana była z gęstością masy we
wszechświecie. Obecnie użyjemy gęstości energii i ciśnienia dla pola z powyższych równań (2) i
(3). Otrzymamy wówczas równanie

+ 3H + = 0 (4)

ogólniejsze niż proste równanie falowe + = 0 (tu H = ). Do tego dochodzą poznane już
wcześniej równania kosmologiczne:

R 4ĄG
=- ( + 3P)
R 3C
(5)


R K 8ĄG
+ =



R R 3C

których rozwiązania przy warunku =-P opisują eksponencjalną ekspansję (rozwiązanie de
Sittera). Jeśli natomiast oprócz gęstości energii i ciśnienia pola dopuścimy także gęstość energii i
ciśnienie materii, czyli �! + �C oraz P �! P + �C to wówczas równanie kosmologiczne
będzie


R K 8ĄG 8ĄG
+ = + �C (6)



R R 3C 3C

Gdy gęstość energii pola jest stała w czasie ( = CONST) to pierwszy wyraz po prawej stronie jest
stały i można go utożsamić ze stałą kosmologiczną � = . Ponieważ warunek =-P

zachodzi, gdy = 0 a wówczas = V( ) a więc stała kosmologiczna wyraża się przez potencjał
pola V( ):
8ĄG
� = V( ) = V( ) (7)
C
Otrzymaliśmy więc propozycję nowego spojrzenia na stary pomysł einsteinowskiej stałej
kosmologicznej.
Przykładowy scenariusz fazy inflacyjnej mógłby wyglądać następująco. W okolicy warunków

planckowskich mamy jednorodne pole Higgsa, spełniające równanie falowe + = 0. Jego

rozwiązanie jest oscylujące, istnieją więc chwile gdy = 0 i zachodzi warunek =-P. Wówczas
rozpoczyna się inflacyjna ekspansja RT) " E podczas której pole spełnia równanie
(

+ 3H + = 0. Ogólne rozwiązanie tego równania zapiszmy w postaci:
(T) = E + E (8)
gdzie  stałe. Wstawiając to rozwiązanie do naszego równania (4) otrzymamy
3 9
= HM H - (9)
2 4
(przy czym H = ). Rozważymy dalej przypadek H > (gdyż w przeciwnym przypadku
parametry są zespolone i nadal mamy rozwiązanie oscylujące). Przyjmujemy także H > 0 czyli
ekspansję.
Ponieważ, jak widać z (9), więc pierwszy wyraz rozwiązania (8) jest wolno malejący
drugi zaś szybko malejący. (W skrajnej sytuacji gdy H >>> mamy w przybliżeniu 0 i
3H ). Oznacza to, że po pewnym, dość krótkim, czasie pozostaje tylko pierwszy  niemal stały

 wyraz w rozwiązaniu (8), a wówczas 0 i w przybliżeniu zachodzi warunek -P. Jeżeli
H 1 to można rozwinąć w szereg i w przybliżeniu liniowym otrzymamy 3H a

stąd - . Jest to mały wyraz, bliski zera, lecz nie równy zero dokładnie.
Korzystając teraz z formuł (2) i (3) dostaniemy

1
1 +


2 9H

(10)

1
P +
-1

2 9H

a stąd

2
P - 1 - (11)


9H

A więc faktycznie warunek -P spełniony jest w przybliżeniu. Ponieważ pole (T) jest wolno
malejące, więc również potencjał V( ) = też jest wolno malejący, a tym samym stała
kosmologiczna � oraz stała Hubble a H = = � 3 = (8ĄG 3C )V( ) nie są idealnie stałe,
lecz wolno malejące. Także rozwiązanie RT) nie będzie idealnie typu de Sittera RT) " E lecz
( (
raczej typu RT) " EXP[ ]. Tym niemniej jest to nadal bardzo szybka, niemal eksponencjalna,
(
ekspansja inflacyjna.
Przytoczona analiza wskazuje przynajmniej na możliwość zastosowania pola do uzyskania
efektu inflacyjnego rozszerzania. Jeśli w chwili T mielibyśmy wartość pola (T ) 0 to pole takie
oraz V( ) będzie ewoluowało w kierunku malejących wartości i po pewnym czasie osiągnie wartość

zerową, kończąc tym samym inflacyjną ekspansję. Mankamentem tego wariantu jest jednak fakt, że
potencjał V( ) ma minimum dla = 0 czyli dla próżni i ewolucja taka nie jest w stanie
wygenerować żadnych cząstek z masą. Dlatego zastosowano tu zmodyfikowany wariant teorii z
użyciem mechanizmu spontanicznego łamania symetrii dla potencjału V( ) opisanego w rozdziale
 Umasowienie� pola bezmasowego  zarys idei Higgsa . Przedstawimy to w kolejnym rozdziale
tego wykładu.
prof. Jerzy Sikorski