Moce w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego Moc chwilowa i moc czynna podstawowe zależności

przypomnienie

Rozpatrujemy dwójnik, którego napięcie i prąd mają tę samą pulsację Z

i

u = U sin( t ω +ϕ ) = U sin( t ω +ϕ +ϕ)

m

u

m

i

i = I sin( t ω +ϕ )

m

i

moc chwilowa

u

p = ui = U sin(ω t + ϕ + ϕ ) I sin(ω t + ϕ ) =

m

i

m

i

1

1

U I cosϕ − U I cos(2ω t + 2ϕ + ϕ ) =

2

m

m

2

m

m

i

U I cosϕ 1

( − cos(2ω t + 2ϕ )) + U I sin ϕ sin(2ω t + 2ϕ ) i

i

p

p

1

2

p

- składowa tętniąca mocy

1

A więc p= p +p

1

2

p

- składowa przemienna mocy

2

przykładowe przebiegi u, i, p moc czynna

moc czynna – czyli wartość średnia za okres mocy chwilowej

1 T

P =

∫ pdt = U I cosϕ

T 0

T

Ponieważ

∫ p dt 0

2

=

0

T

wi

1

ęc

P =

∫ p dt

T

1

0

Rozkład mocy chwilowej na moc tętniącą i moc przemienną moc tętniąca

moc przemienna

przebiegi p , p i p

1

2

Wróćmy na moment do wzoru opisującego moc czynną 1 T

P =

∫ pdt = U I cosϕ

1W

T 0

Podaliśmy wcześniej , że moc czynna równa się wartości średniej za okres składowej tętniącej mocy chwilowej p Natomiast moc bierna Q jest związana ze składową przemienną mocy chwilowej

Q = U I sinϕ

1Var

Posługując się metodą zespolona otrzymamy : jeżeli

jϕ

u = U sin( t ω +ϕ )

to

u

U

m

u

= U e

jϕ i

i = I sin( t ω +ϕ )

I

m

i

= I e

ϕ = ϕ −ϕ

u

i

∗

j (ϕ −

u

ϕ )

j

i

ϕ

rozpatrzmy iloczyn

UI

= U I e

= U I e

czyli

UI ∗ = U I cosϕ + jU I sinϕ = P + jQ

UI ∗ = S

Sumę mocy czynnej i biernej nazywamy mocą symboliczną

[ S] = V

1 A

Geometryczną interpretacją mocy symbolicznej jest trójkąt mocy Im( S )

S = P + jQ

Q > 0

jQ

0

Re( S )

P

P

2

2

S = P + Q

Q < 0

Q

|S|

Z

i

Rozpatrzmy dwójnik o impedancji Z=R+jX

u

S = P + jQ = UI ∗ = ( R + jX ) II ∗ =

2

2

= R I + jX I

P

Q

Y

i

Dla dwójnika o admitancji

Y=G+jB

u

2

S = P + jQ = UI ∗ = U ( YU )∗ = Y ∗ U =

2

2

2

= ( G − jB) U = GU − jBU

P

Q

S = P 2 + Q 2 = U I Jest to moc pozorna

Jednostka jest VA

Na podstawie znanego tw Tellegena otrzymujemy następujące wzory n

S = ∑ Sk

1

n

P = ∑ Pk

1

n

Q = ∑ Qk

1