Wykład 4

Statyka.

Warunki równowagi.

Traktor ciągnie wóz

• Ważne, która siła działa na które ciało!

Równia pochyła

F

F

w ≡ ∑ i

α

i

N= mg cos

F= mg sinα

α

α

h

W = F ⋅ l = mg sinα

= mgh

sinα

α

P= mg

• Praca zależy jedynie od zmiany energii potencjalnej (wysokości)

iloczyn wektorowy

ˆ

C = A × B = AB

C

sin ( ,

A B))

ˆ

ˆ

C ⊥ A

C ⊥ B

C = AB sin ( , A B))

A × B = −B × A zwrot C: reguła śruby

C=AxB

ˆx

ˆy

ˆz

B

C = A

A

A =

x

y

z

A

= [ B B B

x

y

z

A B − A B , A B − A B , A B − A B

y

z

z

y

z

x

x

z

x

y

y

x ]

iloczyn wektorowy wersorów osi ˆx

ˆy

ˆz

C = A

A

A = ⎡ A B − A B , A B − A B , A B − A B ⎤

x

y

z

⎣ y z

z

y

z

x

x

z

x

y

y

x ⎦

B

B

B

x

y

z

x

y

z

x × y = 1 0 0 = 0x + 0y +1z = [0,0, ]

1 = z

0 1 0

y × z = x

z × y = −x

x × y = z

z × x = y

x × z = −y

y =[0,1,0]

x =[1,0,0]

Moment siły, T, (torque) względem wybranego układu odniesienia T ≡ r × F

x

F

r

z

T

y

Prawoskrętny układ odniesienia: zˆ = xˆ × yˆ

• Moment siły, tak jak sam wektor położenia, r, zależy od wyboru układu odniesienia.

Dwa warunki równowagi sił:

1) suma sił działających na ciało (wypadkowa sił) znika, F

F

w ≡ ∑ i

i

2) suma momentów sił działających na ciało (moment wypadkowy) znika

T

T

r

F

w ≡ ∑ i ≡ ∑ i × i = 0

i

i

Tw.: Jeśli moment sił znika (T=0) w jakimś układzie odniesienia to znika on w każdym innym układzie

N=-(F +F )

1

2

Dzwignia dwustronna

r =[0,0,0]

N

x

T =[0,0,0]

N

z

r =[0,- r

2

2,0]

T =[0,0, r

]

r =[0, r

1

1 F 1

1

1,0]

y

T =[0,0,- r

]

2

2 F 2

F =[- F

1

1,0,0]

1

r 1

F = 2

r 2

F

F =[- F

2

2,0,0]

Bloczki

P+F +F =0

A

B

P = [0,0,− mg]

F =

mg

A

[0,0,

2]

F =

mg

B

[0,0,

2]

F =- mg/2

A

F =- mg/2

T = r × F + r × P + r × F

B

A

AA

A

A 0

AB

B

T =

×F + r

× P + r

×F =

A

[0,0,0] A [ ,0,0]

[2 ,0,0] B

z

r

=

y

[0,0,0]+[0, rmg,0]×P +[0,− rmg,0] = 0

A

x

0

B

0

T = 0

r

×F + r × P + r ×F

A

A

00

0 B

B

T = − r, 0, 0 × F + 0, 0, 0 × P + r, 0, 0

0

[

]

×F =

A

[

]

[

] B

= [ rmg 2,0,0]+[0,0,0]×P +[0,− rmg 2,0] = 0

T

P= mg

= r ×F + r × P + r ×F

B

BA

A

B 0

BB

B

T = − r

×F + − r

× P +

×F =

B

[ 2 ,0,0] A [ ,0,0]

[0,0,0] B

= [0, rmg,0]+[0,− rmg,0]×P +[0,0,0] = 0

Kołowrót

P+N+F=0

P = [0,0,− mg]

N= -P-F

F = [0, F sinα,− F cosα ]

N = [0, F sinα, − mg − F cosα ]

z

R

rmg = RF

r

α

F

0

y

x

0

T = 0

r

×F + r × P + R ×F

A

A

00

T = 0, − r, 0 × P + 0, 0, 0 × N + 0, R cosα, R sin 0

[

]

[

]

[

α ]×F =

P= mg

= [ rmg,0,0]+[0,0,0]+[− RF,0,0] = 0

Dzwignia jednostronna W układzie osi (a,b,c) r =[0,0,0]

r =[0, r ,0]

r =[0, r ,0]

N

2

2

1

1

N=F -F

N =[ N,0,0]

1

2

T =[0,0,0] T =[0,0,- r

] T =[0,0, r

]

N

2

2 F 2

1 F 1

x

1

a

1

r 1

F = 2

r 2

F

z

F =[ F ,0,0]

1

1

c r

r

2

1

b

y

W układzie osi (x,y,z)

r =[0,- r ,0]

r =[0,0,0]

r =[0. r - r ,0]

N

2

2

1

1 2

T =[0,0,r ( F - F )]

T =[0,0, -( r - r ) F ]

N

2

1

2

1

1 2

1

T =[0,0,0]

2

1

r 1

F = 2

r 2

F

F =[- F ,0,0]

2

2

Maszyny proste

– zmniejszają siłę, ale wydłużają drogę ⇒ praca stała!

• równia pochyła, klin;

• dźwignie, jedno i dwustronna;

• kołowrót;

• bloki (naciąg liny stały)

– stały,

– ruchomy,

– wielokrążki

F

– blok różnicowy.

P=5 F