2 Całkowanie form różniczkowych i cykle termody-namiczne

2.1 Definicja całki z formy różniczkowej

R

Symbol

ω oznacza całka z formy ω po obszarze Ω. To jak praktycznie obliczyć Ω

taką całkę zależy jakiego stopnia jest forma ω i co jest obszarem całkowania.

całkowanie 1-formy

Z

Z

a ≡

axdx + aydy + azdz

(2.1)

Ω

L

czyli jest to całka pola wektorowego ~ a wzdłuż krzywej L po obszarze jednowy-miarowym. W notacji wektorowej:

Z

Z

a ≡

~ a · ~

dl

(2.2)

Ω

L

gdzie ~

dl = ( dx, dy, dz). Dla krzywej zadanej parametrycznie: L ≡ [ x( y), y( t), z( t)] , t 1 < t < t 2

(2.3)

całka z formy wynosi

Z

t 2

Z ∂ x

∂ x

∂ x

a ≡

ax

+ a

+ a

dt

(2.4)

∂ t

y ∂ t

z ∂ t

Ω

t 1

czyli jest to zwykla całka po parametrze t.

całkowanie 2-formy

Z

Z

b ≡

bxdy ∧ dz + bydz ∧ dx + bzdx ∧ dy (2.5)

Ω

S

Jest to całka z wektora ~

b po powierzchni zorientowanej S. W notacji wektorowej 1

Z

Z

b ≡

~

b · ~

dS

(2.6)

Ω

S

gdzie ~

dS = ( dydz, dzdx, dxdy) jest wektorem reprezentującym element powierzchni dS, prostopadły do niego i skierowany na zewnątrz powierzchni dS

dS

Na przykład dydz odpowiada rzutowi wektora ~

dS na kierunek osi x.

Tradycyjny sposób obliczania całek po powierzchniach jest opisany na przykład w Analizie matematycznej Fichtenholza. Dzięki zapisowi z użyciem iloczynu zewnętrznego obliczanie całki jest prostsze niż w tradycyjny sposób. Poza tym nie trzeba pamiętać twierdzeń o zamianie zmiennych podczas całkowania.

Zadanie

Obliczyć całkę z formy dx ∧ dy po powierzchni sfery jednostkowej.

Formie dx∧ dy odpowiada pole pseudowektorowe o niezerowej składowej bz = 1.

Do całkowania powierzchnię sfery jednostkowej najlepiej zadać parametrycznie: x = cos ϕ sin θ

y = sin ϕ sin θ

z = cos θ

gdzie 0 < ϕ < 2π, 0 < θ < π

stąd

dx = − sin ϕ sin θ dϕ + cos ϕ cos θ dθ

dy = cos ϕ sin θ dϕ + sin ϕ cos θ dθ

2

a więc dx ∧ dy = sin θ cos θ dθ ∧ dϕ

Wykonaliśmy zamianę zmiennych kartezjańskich ( x, y, z) na parametryczne (ϕ, θ), co tradycyjnie wymagałoby obliczenia jakobianu. Pole sfery zostało przedstawio-ne parametrycznie jako odwzorowanie prostokąta na płaszczyźnie (ϕ, θ). Należy tylko sprawdzić, czy została zachowana orientacja powierzchni. Umowa jest taka, że wektor ~

dS skierowany na zewnątrz powierzchni razem z wersorami stycznymi do linii współrzędnych θ i ϕ stanowi trójkę prawoskrętną.

dS

e

e

θ

ϕ

S 1

Jak widać orientacja jest ( ~

dS, ~ eθ, ~ eϕ). Decyduje ona o znaku całki. Możemy już obliczyć całkę

π

2π

R

Z Z

dx ∧ dy =

sin θ cos θ dθ ∧ dϕ

S 1

θ=0 ϕ=0

Z definicji taka całka jest równa zwykłej całce Riemanna i symbol ∧ można już opuścić:

π

R

Z

dx ∧ dy = 2π

sin 2θ dθ = 0.

S 1

θ=0

Wynik jest oczywisty, bo całki powierzchniowe z wektora [0, 0, 1] po obu po-

łówkach sfery się znoszą.

dS

dx dy

dS

3

całkowanie 3-formy

Z

Z

a =

a( x, y, z) dxdydz

(2.7)

Ω

V

Całka z 3-formy a jest równoważna całce funkcji skalarnej po objętości zorientowanej V . Zapis elementu objętości przy użyciu iloczynu zewnętrznego dV = dx ∧ dy ∧ dz

(2.8)

zawiera w sobie informację jak liczyć taką całkę. Jeśli dokonamy zamiany zmiennych całkowania:

( x, y, z) −→ (α, β, γ)

(2.9)

to forma bazowa przyjmie postać:

dx ∧ dy ∧ dz = | J| dα ∧ dβ ∧ dγ

(2.10)

gdzie:

∂ x

∂ x

∂ x

∂α

∂β

∂γ

| J| = ∂ y

∂ y

∂ y

(2.11)

∂α

∂β

∂γ

∂ z

∂ z

∂ z

∂α

∂β

∂γ

jest jakobianem przekształcenia (2.9). Łatwo sprawdzić na przykład dla współ-

rzędnych sferycznych, że

dx ∧ dy ∧ dz = r 2 sin θ dr ∧ dθ ∧ dϕ

(2.12)

2.2 Twierdzenie Stokesa Z

Z

dω =

ω

(2.13)

Ω

∂Ω

Całka po obszarze Ω z pochodnej zewnętrznej dω jest równa całce po brzegu obszaru ∂Ω z formy ω. Według książki Arnolda to twierdzenie powinno nazywać 4

się:

Newtona-Leibnitza-Gaussa-Ostrogradskiego-Stokesa-Poincarego.

Z twierdzenia Stokesa niewiele wynika dopóki nie rozpatrzy się form różniczkowych kolejnych stopni.

zastosowanie dla 0-form

W tym przypadku obszarem całkowania jest krzywa L. Brzegiem krzywej L są jej końce a i b. Twierdzenie Stokesa przyjmuje postać Z

d f = f ( b) − f ( a)

(2.14)

L

Otrzymaliśmy prosty wniosek, że całka z 1-formy zupełnej nie zależy od drogi całkowania. W szczególności całka z 1-formy zupełnej po drodze zamkniętej znika:

I

d f = 0

(2.15)

L

zastosowanie dla 1-form

W tym przypadku obszarem całkowania jest powierzchnia S. Jej brzegiem jest krzywa zamknięta L ją ograniczająca.

Z

Z

da =

a

(2.16)

S

L

W języku pól wektorowych:

Z

I

rot ~ a · ~

dS =

~ a · ~

dl

(2.17)

S

L

Jest to twierdzenie znane w analizie wektorowej jako twierdzenie Stokesa, bardzo często używane w elektrodynamice.

5

zastosowanie dla 2-form

W tym przypadku obszarem calkowania jest objętość V . Brzegiem objętości V

jest powierzchnia zamknięta S ją ograniczająca.

Z

Z

da =

a

(2.18)

V

∂ V = S

W języku pól wektorowych:

Z

Z

div ~ a =

~ a · ~

dS

(2.19)

V

S

Jest to twierdzenie znane w analizie wektorowej jako twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa. Także często stosowane w elektrodynamice.

W termodynamice mamy do czynienia głównie z formami 1 stopnia. Jeśli układ termodynamiczny ma dwa stopnie swobody odpowiednie formy różniczkowe ograniczają się do płaszczyzny. Dla termodynamiki ważny jest następujący wniosek z twierdzenia Stokesa: jeśli 1-forma różniczkowa nie jest zupełna to wynik całkowania po krzywej z punktu A do B zależy od drogi całkowania. W szczególności całka po krzywej zamkniętej z formy niezupełnej nie jest równa zeru.

Zadanie

Dana jest forma:

ω = ydx − xdy

Sprawdzić, że nie jest ona zupełna i obliczyć jej całkę po okręgu jednostkowym.

Gdyby powyższa forma była zupełna, to zachodziło by:

∂ f

∂ f

ω = d f =

dx +

dy

∂ x

∂ y

Co oznacza, że powinien być spełniony warunek:

∂ω x

∂2 f

∂2 f

∂ω

=

=

=

y

∂ y

∂ y∂ x

∂ x∂ y

∂ x

6

Ten warunek nie jest jednak spełniony:

∂ω x

∂ω

= 1 ,

y = −1

∂ y

∂ x

Całkując formę ω po okręgu jednostkowym dostajemy:

Z

Z

ω =

ydx − xdy

S 1

S 1

W układzie biegunowym:

dx = d(cos ϕ) = − sin ϕ dϕ

dy = d(sin ϕ) = cos ϕ dϕ

2π

Z

(− sin2 ϕ − cos2 ϕ ) dϕ = 2π , 0

ϕ=0

2.3 Cykl termodynamiczny (proces kołowy)

Cyklem termodynamicznym nazywamy ciąg odwracalnych przemian termodynamicznych, w rezultacie którego układ powraca do stanu początkowego. Dla układu o dwóch stopniach swobody na płaszczyźnie, na przykład w zmiennych ( p, V ), otrzymujemy zamkniętą krzywą całkowania form ciepła ¯

dQ i pracy ¯

dW.

Zmiana energii wewnętrznej układu w czasie cyklu wynosi zero

I

∆ U =

dU = 0

(2.20)

ponieważ forma energii dU jest 1-formą zupełną.

Zmiana entropii w czasie cyklu także wynosi zero:

I

I ¯ dQ

∆ S =

dS =

= 0

(2.21)

T

ponieważ ¯

dQ

T jest formą zupełną. Równość (2.21) nosi nazwę równości Clausiusa dla procesów odwracalnych. Innymi słowy w odwracalnym cyklu termodynamicznym entropia nie ulega zmianie.

Różnica ciepła pobranego i oddanego do otoczenia przez układ termodynamiczny w czasie cyklu jest różna od zera

7

I

∆ Q =

¯

dQ , 0

(2.22)

ponieważ forma ciepła ¯

dQ nie jest formą zupełną.

Rożnica pracy wykonanej przez układ i pracy wykonanej nad układem także jest różna od zera

I

∆ W =

¯

dW , 0

(2.23)

ponieważ forma pracy ¯

dW nie jest formą zupełną. W celu wyznaczenia pracy

mechanicznej najlepiej stosować zmienne ( p, V ).

B

Z

WAB =

pdV

(2.24)

A

Praca wykonana w czasie przemiany A → B jest równa polu pod wykresem przemiany w zmiennych ( p, V )

W celu wyznaczenia ciepła dostarczonego do układu i pobranego przez układ najwygodniej stosować zmienne ( T, S).

B

Z

QAB =

T dS

(2.25)

A

Ciepło wymienione w czasie przemiany A → B jest równa polu pod wykresem przemiany w zmiennych ( T, S)

Z pierwszej zasady termodynamiki zastosowanej do procesu kołowego:

∆ U = ∆ Q + ∆ W = 0

(2.26)

wynika, że pola pod wykresami dla cyklu kołowego w zmiennych ( p, V ) i ( T, S) są sobie równe.

Praktyczne zastosowanie cykli termodynamicznych sprowadza się do obliczania sprawności różnych cykli odpowiadających różnym urządzeniom technicznym.

8

Nazywa się to termodynamiką techniczną.

Zadanie

obliczyć sprawność cyklu Carnota (z roku 1824)

T

izoterma

T

adiabata

adiabata

2

izoterma

T 1

S

S

1

2

S

Q 1 = T 1( S 2 − S 1) — ciepło oddane do chłodnicy Q 2 = T 2( S 2 − S 1) — ciepło pobrane od grzejnicy Pole pod wykresem cyklu Carnota wynosi

∆ Q = Q 2 − Q 1 = ∆ W

i jest równe użytecznej praca wykonana przez układ

Sprawność cyklu wynosi

de f

η = ∆ W

Q = Q 2 − Q 1 = 1 − T 1

2

Q 2

T 2

Zadanie

Pokazać, że sprawność dowolnego cyklu nie może być większa niż dla cyklu Carnota.

.B. Rumer, M.X. Ryvkin Termodinamika, statistiqeska fizika i kinetika,

§ 9.

9

T

A

C

B

D

S

Wystarczy dowolny cykl otoczyć prostokątem reprezentującym odpowiadający mu cykl Carnota. Oznaczając przez A, B, C, D dodatnie powierzchnie odpo-wiednich figur przedstawionych na rysunku możemy napisać:

C

η = Qpob. − Qodd. =

Qpob.

B + C + D

A + B + C

η Carnota = Qpob. − Qodd. =

Qpob.

A + B + C + D

Jeśli miało by zachodzić η < η Carnota to musiało by być C

A + B + C

<

B + C + D

A + B + C + D

czyli

©©

AC + ©©

BC + ½½

C 2 + ©©

CD < AB + ©©

AC + AD + B 2 + ©©

BC + BD + BC + ½½

C 2 + ©©

CD

I

To samo można pokazać korzystając z równości Clausiusa

¯

dQ

T = 0 dla koło-

wego procesu odwracalnego.

Patrz: M.A. Leontoviq, Vvedenie v termodinamiku, § 20.

Zadanie

Obliczyć sprawność następującego cyklu:

T

c

T 2

adiabata

politropa

T

a

1

izoterma

b

S

10

Dane jest jedynie T 2 = 2 T 1. Równanie stanu czynnika roboczego jest dowolne!

Proces politropowy oznacza stałe ciepło właściwe w czasie cyklu:

¯

dQ = CdT , gdzie C = const

Jest to szczególny proces w którym forma ciepła jest zupełna.

b

R

b

R

Qab =

¯

dQ =

CdT = C( T 2 − T 1) = CT 1

a

a

Qac = T 1( Sb − Sa)

ponieważ ¯

dQ = T dS

b

Z

b

R dS = CdT

T

a

a

stąd

Sb − Sa = C ln T 2

T = C ln 2

1

Qac = CT 1ln 2

Sprawność cyklu wynosi:

η = Qab − Qac

Q

= 1 − ln 2 ≈ 0,3

ac

Zadanie

Obliczyć sprawność turbiny gazowej czyli silnika turboodrzutowego. Uproszczo-ny schemat działania takiego silnika jest następujący:

.

komora

.

sprezanie

rozprezanie

produkty

,

,

powietrze

spalania

w dyfuzorze

w dyszy

spalania

ciekle paliwo

H. Lombroso, Thermodynamique — Problèmes résolus, Rozdział 4

dane:

β — stopień sprężania w dyfuzorze

γ — wykładnik adiabaty, dla uproszczenia wspólny dla powietrza i produktów spalania

11

Ten cykl (zwany cyklem Braytona) składa się z następujących przemian: 3

T

∆ Q = 0

p = const

2

4

∆ Q = 0

p = const

1

S

proces 1–2 adiabatyczne sprężanie powietrza w dyfuzorze

proces 2–3 spalanie paliwa pod stałym ciśnieniem p 2w komorze spalania proces 3–4 adiabatyczne rozprężanie produktów spalania do dyszy

proces 4–1 ochładzanie produktów spalania pod ciśnieniem atmosferycznym p 1

stopień sprężania:

p

β = 2

p 1

sprawność cyklu:

η = 1 − Q 14

Q

=

23

gdzie Q 14 — ciepło oddane przez produkty spalania do atmosfery, Q 23 — ciepło otrzymane wskutek spalania mieszanki.

η = 1 − T 4 − T 1

T 3 − T 2

ponieważ w przemianie izobarycznej gazu doskonałego ¯

dQ = CpdT, więc prze-

pływ ciepła jest proporcjonalny do różnicy temperatur na końcach przemiany.

Równanie adiabaty w zmiennych ( p, T ) (sprawdzić): p 1−γ · T γ = const

stąd ponieważ p 2 = p 3 i p 1 = p 4 mamy T 2/ T 1 = β1−1/γ = T 3/ T 4

stąd sprawność turbiny:

12

T

η = 1 −

4 − T 1

=1 − β1/γ−1

β1−1/γ · T 4 − β1−1/γ · T 1

Rysunek przedstawia zależność sprawności cyklu Braytona od współczynnika sprężania β, przy wykładniku adiabaty dla powietrza równym γ = 1,4.

In[1]:=

Plot@1 - Β ^ H1  1.4 - 1L, 8Β, 1, 40<, Frame ® TrueD;

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

10

20

30

40

Stopień sprężania możliwy do uzyskania w dyfuzorze jest ograniczony przez temperaturę T 2, którą mogą wytrzymać jego ruchome metalowe części. Z rów-nania adiabaty

!

p

T γ/(γ−1)

β = 2 =

2

p 1

T 1

Dla temperatury otoczenia T 1 = 300 K i T 2 = 900 K dostajemy na przykład β = (1300/300)1,4/0,4 ≈ 47

Łatwo zauważyć, że sprawność cyklu Braytona wyrażona przez temperatury wynosi po prostu

T

η = 1 − 1

T 2

Wbrew pozorom sprawność cyklu Braytona jest mniejsza od sprawności odpowiadającego mu cyklu Carnota, ponieważ dla cyklu Carnota zamiast T 2 należa-

łoby wziąć najwyższą temperaturę T 3, którą osiąga spalana mieszanka paliwa i powietrza.

13

Carnot

3

T

2

4

Brayton

1

S

Pierwszy na świecie latający samolot turboodrzutowy — He 178 z silnikiem Heinkla o ciągu 4,4 kN uniósł się w powietrze 27 sierpnia 1939 roku.

Uwaga

Można mieć wątpliwości co do poprawności zastosowania tak prostych rozważań termodynamicznych do opisu silnika turboodrzutowego. Przy każdym kolejnym obiegu cyklu nowa porcja paliwa jest wtryskiwana do komory spalania i nowa porcja powietrza jest zasysana przez dyfuzor. Nie można więc powiedzieć jaka objętość gazu pełni rolę czynnika roboczego tego cyklu. W zasadzie mamy tu do czynienia z układem otwartym, wymieniającym gaz z otoczeniem. Jest tak dla cykli wszystkich silników spalających paliwo. Inaczej jest dla cyklu maszyny parowej (cyklu Rankine’a), gdzie para wodna znajduje się w przybliżeniu w obiegu zamkniętym. Dla cyklu maszyny chłodzącej (lodówki) czynnik chłodzący także krąży w obiegu zamkniętym.

14