Wektory własne
Niech V będzie przestrzenią liniową i niech ϕ będzie operatorem liniowym
w przestrzeni V . Podprzestrzeń U przestrzeni V nazywamy niezmienniczą
względem ϕ jeśli ϕ( U ) ⊆ U . Inaczej mówiąc podprzestrzeń U jest niezmiennicza względem ϕ jeśli dla każdego u ∈ U mamy ϕ( u) ∈ U . W skrócie będziemy mówić, że przestrzeń U jest ϕ-niezmiennicza. Jeśli podprzestrzeń U jest ϕ-
niezmiennicza to operator ϕ indukuje operator ϕ : U → U w podprzestrzeni
U .
Przykład Podprzestrzeń zerowa jest niezmiennicza względem każdego operatora.
Twierdzenie 1 Jądro i obraz dowolnego przekształcenia liniowego ϕ : V →
V są podprzestrzeniami niezmienniczymi.
Dowód Niech v ∈ Ker( ϕ) wtedy ϕ( v) = 0 ∈ Ker( ϕ) zatem jest to podprzestrzeń niezmiennicza. Jeśli v ∈ Im( ϕ) to ϕ( v) ∈ Im( ϕ), a więc obraz też jest niezmienniczy.
Wprowadźmy następujące oznaczenia jeśli An×n, Bm×m są macierzami
kwadratowymi to przez A ⊕ B oznaczać będziemy macierz:
"
#
A
0
A ⊕ B =
0
B
Niech A = [ aij] , B = [ bij] , C[ cij] , D = [ dij] będą macierzami wyniarów k × m, k × r, p × m, p × r wtedy możemy zdefiniować macierz wymiaru k + p × m + r następująco:
a
11
. . . a 1 m b 11 . . . b 1 r
..
. .
..
..
. .
..
.
.
.
.
.
.
"
A B #
a
=
k 1
. . . akm bk 1 . . . bkr
C
D
c 11 . . . c 1 m d 11 . . . c 1 r
..
. .
..
..
. .
..
.
.
.
.
.
.
cp 1 . . . cpm dp 1 . . . dpr
Twierdzenie 2 Niech ϕ będzie operatorem liniowym w przestrzeni V i niech
zbiór b 1 , . . . , bn będzie bazą przestrzeni V . Jeśli niezerowe podprzestrzenie
U 1 = Lin( b 1 , . . . , bk) i U 2 = Lin( bk+1 , . . . , bn) są ϕ-niezmiennicze i macierze przekształcenia ϕ w podprzestrzeniach U 1 , U 2 są równe odpowiednio A 1 , A 2
to macierz przekształcenia ϕ w przestrzeni V jest równa A 1 ⊕ A 2 .
1
Dany jest operator ϕ w przestrzeni V nad ciałem K. Wtedy niezerowy wektor 0 6= v ∈ V nazywamy wektorem własnym przekształcenia ϕ jeśli istnieje skalar t ∈ K, taki że:
ϕ( v) = tv
skalar t nazywamy wtedy wartością własną operatora ϕ, a wektor v wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej t.
Twierdzenie 3 Niech v ∈ V będzie wektorem własnym operatora ϕ. Wtedy
Lin( v) jest jednowymiarową podprzestrzenią niezmienniczą przestrzeni V .
Dowód Niech u ∈ Lin( v) wtedy u = kv dla pewnego k ∈ K i mamy ϕ( u) =
ϕ( kv) = kϕ( v) = k( tv) = ( kt) v ∈ Lin( v).
Twierdzenie 4 Jeśli U jest jednowymiarową ϕ-niezmienniczą podprzestrzenią
przestrzeni V to każdy wektor u ∈ U jest wektorem własnym odpowiadającym
tej samej wartości własnej.
Dowód Jeśli U jest jednowymiarową ϕ-niezmienniczą podprzestrzenią to
istnieją v ∈ V i t ∈ K, takie że U = Lin( v) i ϕ( v) = tv. Zatem jeśli u ∈ U to istnieje k ∈ K, że u = kv i mamy:
ϕ( u) = ϕ( kv) = kϕ( v) = k( tv) = ( kt) v = ( tk) v = t( kv) = tu, a więc u też jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej t.
2