Algebra z Geometrią Analityczną 15.10.2013
Lista 2. Wielomiany i funkcje wymierne.
1. Znaleźć pierwiastki wymierne wielomianów: a) x3 + 3x2 − 4 ;
b) x4 − 2x3 + x2 − 8x − 12 ;
c) 6x3 − 5x2 − 2x + 1.
2. Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu P przez Q, jeżeli: a) P (x) = x8 + 3x5 + x2 + 4, Q(x) = x2 − 1; b) P (x) = x2007 + 3x + 2008, Q(x) = x2 + 1; c) P (x) = x99 − 2x98 + 4x97, Q(x) = x4 − 16.
3. Wiadomo, że x1 jest jednym z pierwiastków wielomianu P . Wyznacz pozostałe pierwiastki P , jeżeli:
a) P (x) = x4 − 4x3 + 12x2 − 16x + 15, x1 = 1 + 2i; b) P (x) = x3 + x2 − (1 + i)x + 2(1 − i), x1 = −i.
4. Podane wielomiany rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste i zespolone: a) x3 − 27;
b) x4 + 16 ;
c) x4 + x2 + 4.
1
5. Nie obliczając współczynników, zaproponować rozkład funkcji
:
(x + 1)(x2 − x − 2)2(x2 + 1)3
a) na rzeczywiste ułamki proste;
b) na zespolone ułamki proste.
6. Podane funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: 2x + 5
x + 9
3x2 + 4x + 3
a)
;
b) −
;
c)
.
x2 − x − 2
x(x + 3)3
x3 − x2 + 4x − 4
Powyższe zadania zostały wybrane z list zadań „Algebra z geometrią analityczną” opracowanych przez dra Mariana Gewerta i doc. Zbigniewa Skoczylasa, które w całości dostępne są na stronie: