LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

Wyznaczanie momentów bezwładności elementów 1b

maszyn metodą wahadła fizycznego

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie z eksperymentalnymi i analitycznymi metodami wy-znaczania momentów bezwładności części maszyn. W ramach realizowanego ćwiczenia stosuje się metodę wahadła fizycznego.

.

Literatura

1. J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. VII.

2. K.Zarankiewicz, Mechanika Teoretyczna, tom III, rozdz. X.

Zagadnienia kontrolne

1. Definicje momentów bezwładności ciała sztywnego: a) względem płaszczyzny,

b) względem osi,

c) względem punktu.

2. Umiejętność wyznaczenia sposobem analitycznym momentów bezwładności prostych ciał jednorodnych, jak: walec, kula, stożek, stożek ścięty itp.

3. Twierdzenie Steinera.

4. Analityczne wyznaczenie momentów bezwładności ciała złożonego z prostych elementów.

Uwaga. Instrukcja dotyczy podstaw samego ćwiczenia. Aby opanować materiał

dotyczący powyższych zagadnień należy sięgnąć do podanej literatury.

Podstawy teoretyczne dotyczące przeprowadzenia eksperymentu

Wahadłem fizycznym nazywamy dowolne ciało sztywne mogące się obracać wo-kół osi poziomej, które wykonuje drgania pod wpływem siły grawitacji (rysunek 1).

Rys. 1. Przekrój wahadła fizycznego i punkty zawieszenia A i B

Na rysunku 1 przedstawiono przekrój takiego ciała w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu i przechodzącej przez środek masy ciała. Wybrany punkt, w którym oś obrotu przebija wspomnianą płaszczyznę, możemy nazwać punktem zawieszenia wahadła (na rysunku punkt A lub B w zależności od sposobu zawieszenia wahadła).

Mamy wyznaczyć moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek masy C i równoległej do osi obrotu przechodzącej przez punkt A.

Okres drgań wahadła fizycznego wynosi odpowiednio:

- gdy oś obrotu przechodzi przez punkt A:

J

T

A

= π

2

,

(1a)

A

mag

- gdy oś obrotu przechodzi przez punkt B:

J

T

B

= 2π

,

(1b)

B

m l

( − a) g

gdzie: JA –moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt A,

JB –moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt B, a – odległość punktu A od środka masy C, l – odległość pomiędzy punktami A i B, m – masa wahadła.

Stąd, momenty bezwładności względem osi przechodzących odpowiednio przez punkty A i B wynoszą:

2

mgaTA

J =

[

2

kg ⋅ m ]

(2a)

A

2

4π

mg( l − a) 2

TB

J =

[

2

kg ⋅ m ]

(2b)

B

2

4π

Korzystając z twierdzenia Steinera i z zależności (2a i 2b) można określić moment bezwładności badanego elementu względem osi przechodzącej przez środek masy oraz odległość punktu zawieszenia A od środka masy:

 agT 2



J

A

=

− a 2 m

c



[

2

kg ⋅ m ]

2



 4π



(3)

glT 2

2

− 4π l 2

B

[ m]

a =

(4)

g( T 2 + T 2

2

− 8π

A

B )

l

Oszacowanie niepewności pomiarowej

Załóżmy dalej, że niepewności poszczególnych pomiarów są niezależne i losowe.

Aby uprościć obliczenia przyjmijmy, że niepewność oszacowania g (przyspieszenia ziemskiego) jest pomijalnie mała (bliska zeru) w porównaniu do innych niepewności.

Dla uproszczenia przyjmijmy, że pomiar a obarczony jest niepewnością: (5)

a

∆ ≈ l

∆

Ogólna zależność określająca jak się przenoszą błędy wielkości mierzonych na wyznaczaną pośrednio wielkość, przy założeniu niezależności błędów wielkości mierzonych, przedstawia się następująco1:

2

2

 ∂ y



 ∂ y



∆ y = 

∆ x + ... + 

∆ z

 ∂ x



 ∂ z



(6)

gdzie y( x,.. z) jest wielkością wyznaczaną metodą pośrednią na podstawie pomiaru wartości x,.. . z.

Ostatecznie można zapisać, że niepewność oszacowania momentu bezładności elementu względem osi przechodzącej przez środek ciężkości wynosi: 2

2

2

2

2







gT

 2



agmT









agT

A

A

A

2

∆ J

[

2

kg ⋅ m ]

(7)

c =





− a ∆

m a + 

∆ T 

A

+ 



− a ∆ m



2



2



2



 4



π







4π





 4



π





Podobnie niepewność towarzyszącą pomiarowi metodą pośrednią momentu bezwładności elementu względem osi przechodzącej przez punkt A i punkt B można oszacować jako:

1 Aby poszerzyć wiedze z tego zakresu sięgnij po książkę: John R. Taylor; Wstęp do analizy błędu pomiarowego; PWN Warszawa 1999 i późniejsze wydania (rozdział 3).

2

2

2

2

2





gaT

 2 mgaT









A



∆ J

[

2

kg ⋅ m

A =

∆ m +

mgT



A ∆ T 



A



A

+

∆



a

2



2



2



 4π

]





4π



 4π



(8)

2

2

2

2

2

2

2

 g( l − a)



T

 2 mg( l

B

− a) T















∆ J

[

2

kg ⋅ m ]

B =

∆ m +

mgT

mgT



B ∆ T 



B





B



B

+

∆ a +

∆



l

2



2



2





2





4π





4π



 4π



 4π



gdzie: T

∆ , T

∆ , l

∆ są niepewnościami pomiarowymi wielkości mierzonych bezpo-A

B

średnio: okresów wahań wahadła podwieszonego na osiach przechodzących przez punkty A i B oraz odległości pomiędzy A i B.

Przebieg ćwiczenia

Opis kolejnych kroków, które należy wykonać znajduje się w arkuszu sprawozdania.

Poniżej zwrócono uwagę na pewne istotne zagadnienia.

• Należy zmierzyć czas co najmniej 10 wahnięć elementu dla dwóch różnych podwieszeń elementu

• Każdy pomiar należy powtórzyć 20 razy.

• Gęstości materiałów niezbędne do analitycznych obliczeń momentu bezwład-ności podane są w zamieszczonej niżej tabeli.

• We wnioskach należy się ustosunkować do otrzymanych wyników, a w szczególności różnic pomiędzy wartościami uzyskanymi z obliczeń analitycznych oraz z eksperymentu, uwzględniając przy tym oszacowanie niepewności pomiarowej.

Materiał

Gęstość

[kg/m3]

Mosiądz

8500

Stal

7800

Bakelit

1100-1600

Ebonit

1400-1800

Duraluminium

2750