CAŁKI OZNACZONE
Część A. (Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru) Zad.1.1. Podać funkcje pierwotne funkcji f (x) x
x
a) f ( x ) = 2 + x , b)
− x
f ( x ) = 3
, c) f ( x ) = cos , d) f ( x ) =
.
4
x + 2
Zad.1.2. Napisać wzór na całkowanie przez części i obliczyć całki ln x
a)
x
x
dx
∫ ⋅ 2
, b) x 2 cos x dx
∫ ⋅ 3 , c) x lnx dx
∫ ⋅
, d)
dx
∫ x 3 .
Zad.1.3. Obliczyć całki, stosując odpowiednie podstawienie x
2 x
a) cos x dx
∫
3
, b)
dx
∫ 1
, c)
dx
∫
∫
x ln x
x 4
, d)
dx
+ 1
x 2
.
− 4 x + 13
Zad.1.4. Naszkicować krzywe o podanych równaniach
2
a)
2
y = x + 4 x + 5 , b) y =
y = 1− log ( x 1
2
, c) y = x
e
− 2 , d)
)
2
+
.
x + 4
__________________________________________________________________________________
Część B. (Zadania na ćwiczenia i do samodzielnego rozwiązania) Zad.1.1. Obliczyć całki oznaczone. Podać interpretację geometryczną każdej z nich, wykonując odpowiedni rysunek.
1
1
π
3
1
a) ∫ 1+ x dx , b) ∫ −
e x dx , c) ∫ sin 2 xdx , d) ∫ x( x − 2 )dx , e) ∫ ex − 1 dx .
0
− 1
0
1
− 1
Zad.1.2. Obliczyć całki oznaczone.
π
e
1
2
1
8
2
2
a) ln x dx
∫
, b) ∫ xsinπ xdx , c) ∫
dx , d)
3 x
3
, e) ∫ x e dx.
2
∫ sin 2 xdx
1
0
− x +
2
4
0
0
Zad.1.3. Uzasadnić podane równości.
π
π
π
5
x
5
5
x
x
a)
2
3
x sin
dx = 0
∫
, b) ∫ 2
3
x cos
dx = 2 x cos
dx ,
2
∫ 2 3
2
2
− π
− π
0
5
5
1
1
1
c)
3
x
1
2
− x dx = 0
∫
, d) ∫ 4
x
1− 2
x dx = 2∫ 4
x
1− 2
x dx .
− 1
− 1
0
Zad.1.4. Wyznaczyć średnią wartość funkcji f(x) na przedziale [ a , b ] . Wykonać rysunek.
a) f ( x ) = sin 2 x , [ a ,b ] = [ 0 , π ] ; b) f ( x ) = x − 2 , [ a ,b ] = [ 0 , 3 ] .
Zad.1.5. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek.
4
a)
2
y = x − 2 x + 3 , y = x + 3 ; b) y = −
, y = − 1
2
;
x + 2
2
c)
2
x
y = x
, y =
, y = 3 x ; d) y = − ln( x + 2 ) , x = 0 , y = 0 .
2
Zad.1.6. Korzystając z definicji całki oznaczonej wyprowadzić wzory na obliczanie a) objętości bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru D = {( x ,y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x )} , gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale [ a,b ] ;
b) masy pręta
= {( x ,y)∈ R 2
Γ
: a ≤ x ≤ b , y = f ( x ) }, którego gęstość liniowa masy γ = γ ( x ) jest daną funkcją ciągłą na [ a,b ] , a f jest funkcją mającą na przedziale
[ a,b ] ciągłą pochodną;
c) energii potencjalnej piramidy w kształcie ostrosłupa czworokątnego prawidłowego o wysokości H i krawędzi podstawy a, jeśli gęstość (objętościowa) masy w punkcie piramidy odległym o x od podstawy dana jest funkcją γ = γ ( x ) ciągłą na przedziale [ 0 ,H ] .
Zad.1.7. Napisać wzór na długość łuku wykresu funkcji różniczkowalnej i obliczyć długości podanych krzywych. Narysować je.
a) y = 4
2
− x
, x ∈ [ − 1 , 1] ; b) y = ln x , x ∈ [ 1 , e ] ;
π π
4
c) y = ln sin x , x ∈ , ; d) y = x x , x ∈ 0 ,
.
3 2
9
Zad.1.8. Napisać wzór na objętość bryły obrotowej powstającej z obrotu wokół osi OX obszaru ograniczonego wykresem ciągłej funkcji nieujemnej y = f(x), osią OX i prostymi x = a, x = b.
Korzystając z tego wzoru obliczyć objętość
a) kuli o promieniu R;
b) stożka ściętego o promieniach podstaw r , R i wysokości H; c) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru
2
π
T = ( x, y )∈ R : 0 ≤ x ≤
, 0 ≤ y ≤ tgx ;
4
d) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru
2
π
π
2
T = ( x, y )∈ R : −
≤ x ≤
, 0 ≤ y ≤ cos x .
2
2
Zad.1.9. Napisać wzór na pole powierzchni obrotowej powstającej z obrotu wokół osi OX łuku wykresu funkcji różniczkowalnej y = f(x). Korzystając z tego wzoru obliczyć pole powierzchni zakreślonej przez podane krzywe obracające się wokół osi OX.
a)
3
y = x , 0 ≤ x ≤ 1 ; b) y = sin x, 0 ≤ x ≤ π ; c) y = 4
2
− x , − 1 ≤ x ≤ 1 .
Zad.1.10. Obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, aby opróżnić całkowicie napełniony wodą zbiornik w kształcie walca o poziomej osi. Otwór znajduje się na górze zbiornika. Średnica walca D = 2m, długość L = 6m, gęstość wody = 1000 kg/m3.
Część A. (Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru) Zad.1.5. Obliczyć granice funkcji
x − 1
x + 2
2
x
a) lim arctg
, b) lim arctg( 2 x + 5 ) , c) lim ln
, d) lim ln
,
x→ + ∞
5
x→ − ∞
x→ + ∞
x + 4
x→ + ∞
x + 6
2
2
− x
ln( 1+ e
)
− 2 x
e) lim x ⋅ tg , f)
x − 1
lim
, g) lim
, h) lim ( x + 3 )⋅ e
.
x→ + ∞
x
x→ + ∞
x
− x
x→ + ∞
e
x→ + ∞
__________________________________________________________________________________
Część B. (Zadania na ćwiczenia i do samodzielnego rozwiązania) Zad.1.11. Obliczyć podane całki niewłaściwe. Podać ich interpretację geometryczną.
+ ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
1
1
1
1
a) ∫
dx , b) ∫
dx , c) ∫
dx , d) ∫
dx , e) ∫
−
x ⋅ e x dx .
x + 1
2
x − x
x ln x
x2 − 6x + 10
0
2
e
− ∞
0
Zad.1.12. Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych. Sformułować wykorzystywane kryteria.
+ ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
+ ∞
x + 1
x + 1
1+ sin x
e x
1
a) ∫
dx , b)
dx , c)
dx , d)
dx , e)
sin
dx .
2
∫
∫
∫
∫
x + x
5
(x +
3
)
2
3
2 e x + 3
x
1
3 x + 2
1
0
0
π
Zad.1.13.
2
1
a) Zbadać, czy pole obszaru D = ( x , y) ∈ R : 1 ≤ x < + ∞ , 0 ≤ y ≤
jest skończone.
3 2
x
Czy objętość bryły powstającej przez obrót obszaru D wokół osi OX jest skończona ?
x3 + 2x + 1
b) Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x) =
i jego
x2 + 2
asymptotą. Wykonać rysunek.
Podobne zadania (z rozwiązaniami lub odpowiedziami) znajdują się w skryptach: 1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008, rozdziały 8, 9 (całki oznaczone).
2. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005, rozdział 1 (całki niewłaściwe).
Jolanta Sulkowska