LISTA 1 (na 3 ćwiczenia)

CAŁKI OZNACZONE

Część A. (Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru) Zad.1.1. Podać funkcje pierwotne funkcji f (x) x

x

a) f ( x ) = 2 + x , b)

− x

f ( x ) = 3

, c) f ( x ) = cos , d) f ( x ) =

.

4

x + 2

Zad.1.2. Napisać wzór na całkowanie przez części i obliczyć całki ln x

a)

x

x

dx

∫ ⋅ 2

, b) x 2 cos x dx

∫ ⋅ 3 , c) x lnx dx

∫ ⋅

, d)

dx

∫ x 3 .

Zad.1.3. Obliczyć całki, stosując odpowiednie podstawienie x

2 x

a) cos x dx

∫

3

, b)

dx

∫ 1

, c)

dx

∫

∫

x ln x

x 4

, d)

dx

+ 1

x 2

.

− 4 x + 13

Zad.1.4. Naszkicować krzywe o podanych równaniach

2

a)

2

y = x + 4 x + 5 , b) y =

y = 1− log ( x 1

2

, c) y = x

e

− 2 , d)

)

2

+

.

x + 4

__________________________________________________________________________________

Część B. (Zadania na ćwiczenia i do samodzielnego rozwiązania) Zad.1.1. Obliczyć całki oznaczone. Podać interpretację geometryczną każdej z nich, wykonując odpowiedni rysunek.

1

1

π

3

1

a) ∫ 1+ x dx , b) ∫ −

e x dx , c) ∫ sin 2 xdx , d) ∫ x( x − 2 )dx , e) ∫ ex − 1 dx .

0

− 1

0

1

− 1

Zad.1.2. Obliczyć całki oznaczone.

π

e

1

2

1

8

2

2

a) ln x dx

∫

, b) ∫ xsinπ xdx , c) ∫

dx , d)

3 x

3

, e) ∫ x e dx.

2

∫ sin 2 xdx

1

0

− x +

2

4

0

0

Zad.1.3. Uzasadnić podane równości.

π

π

π

5

x

5

5

x

x

a)

2

3

x sin

dx = 0

∫

, b) ∫ 2

3

x cos

dx = 2 x cos

dx ,

2

∫ 2 3

2

2

− π

− π

0

5

5

1

1

1

c)

3

x

1

2

− x dx = 0

∫

, d) ∫ 4

x

1− 2

x dx = 2∫ 4

x

1− 2

x dx .

− 1

− 1

0

Zad.1.4. Wyznaczyć średnią wartość funkcji f(x) na przedziale [ a , b ] . Wykonać rysunek.

a) f ( x ) = sin 2 x , [ a ,b ] = [ 0 , π ] ; b) f ( x ) = x − 2 , [ a ,b ] = [ 0 , 3 ] .

Zad.1.5. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Wykonać rysunek.

4

a)

2

y = x − 2 x + 3 , y = x + 3 ; b) y = −

, y = − 1

2

;

x + 2

2

c)

2

x

y = x

, y =

, y = 3 x ; d) y = − ln( x + 2 ) , x = 0 , y = 0 .

2

Zad.1.6. Korzystając z definicji całki oznaczonej wyprowadzić wzory na obliczanie a) objętości bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru D = {( x ,y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b , 0 ≤ y ≤ f ( x )} , gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale [ a,b ] ;

b) masy pręta

= {( x ,y)∈ R 2

Γ

: a ≤ x ≤ b , y = f ( x ) }, którego gęstość liniowa masy γ = γ ( x ) jest daną funkcją ciągłą na [ a,b ] , a f jest funkcją mającą na przedziale

[ a,b ] ciągłą pochodną;

c) energii potencjalnej piramidy w kształcie ostrosłupa czworokątnego prawidłowego o wysokości H i krawędzi podstawy a, jeśli gęstość (objętościowa) masy w punkcie piramidy odległym o x od podstawy dana jest funkcją γ = γ ( x ) ciągłą na przedziale [ 0 ,H ] .

Zad.1.7. Napisać wzór na długość łuku wykresu funkcji różniczkowalnej i obliczyć długości podanych krzywych. Narysować je.

a) y = 4

2

− x

, x ∈ [ − 1 , 1] ; b) y = ln x , x ∈ [ 1 , e ] ;

 π π 



4 

c) y = ln sin x , x ∈  ,  ; d) y = x x , x ∈ 0 ,

.

 3 2 







9 

Zad.1.8. Napisać wzór na objętość bryły obrotowej powstającej z obrotu wokół osi OX obszaru ograniczonego wykresem ciągłej funkcji nieujemnej y = f(x), osią OX i prostymi x = a, x = b.

Korzystając z tego wzoru obliczyć objętość

a) kuli o promieniu R;

b) stożka ściętego o promieniach podstaw r , R i wysokości H; c) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru



2

π



T =  ( x, y )∈ R : 0 ≤ x ≤

, 0 ≤ y ≤ tgx ;



4



d) bryły powstającej przez obrót wokół osi OX obszaru



2

π

π

2 

T =  ( x, y )∈ R : −

≤ x ≤

, 0 ≤ y ≤ cos x .



2

2



Zad.1.9. Napisać wzór na pole powierzchni obrotowej powstającej z obrotu wokół osi OX łuku wykresu funkcji różniczkowalnej y = f(x). Korzystając z tego wzoru obliczyć pole powierzchni zakreślonej przez podane krzywe obracające się wokół osi OX.

a)

3

y = x , 0 ≤ x ≤ 1 ; b) y = sin x, 0 ≤ x ≤ π ; c) y = 4

2

− x , − 1 ≤ x ≤ 1 .

Zad.1.10. Obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, aby opróżnić całkowicie napełniony wodą zbiornik w kształcie walca o poziomej osi. Otwór znajduje się na górze zbiornika. Średnica walca D = 2m, długość L = 6m, gęstość wody  = 1000 kg/m3.

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

Część A. (Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru) Zad.1.5. Obliczyć granice funkcji

x − 1

x + 2

2

x

a) lim arctg

, b) lim arctg( 2 x + 5 ) , c) lim ln

, d) lim ln

,

x→ + ∞

5

x→ − ∞

x→ + ∞

x + 4

x→ + ∞

x + 6

2

2

− x

ln( 1+ e

)

− 2 x

e) lim x ⋅ tg , f)

x − 1

lim

, g) lim

, h) lim ( x + 3 )⋅ e

.

x→ + ∞

x

x→ + ∞

x

− x

x→ + ∞

e

x→ + ∞

__________________________________________________________________________________

Część B. (Zadania na ćwiczenia i do samodzielnego rozwiązania) Zad.1.11. Obliczyć podane całki niewłaściwe. Podać ich interpretację geometryczną.

+ ∞

+ ∞

+ ∞

+ ∞

+ ∞

1

1

1

1

a) ∫

dx , b) ∫

dx , c) ∫

dx , d) ∫

dx , e) ∫

−

x ⋅ e x dx .

x + 1

2

x − x

x ln x

x2 − 6x + 10

0

2

e

− ∞

0

Zad.1.12. Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych. Sformułować wykorzystywane kryteria.

+ ∞

+ ∞

+ ∞

+ ∞

+ ∞

x + 1

x + 1

1+ sin x

e x

1

a) ∫

dx , b)

dx , c)

dx , d)

dx , e)

sin

dx .

2

∫

∫

∫

∫

x + x

5

(x +

3

)

2

3

2 e x + 3

x

1

3 x + 2

1

0

0

π

Zad.1.13.



2

1 

a) Zbadać, czy pole obszaru D =  ( x , y) ∈ R : 1 ≤ x < + ∞ , 0 ≤ y ≤

 jest skończone.



3 2

x 





Czy objętość bryły powstającej przez obrót obszaru D wokół osi OX jest skończona ?

x3 + 2x + 1

b) Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji f (x) =

i jego

x2 + 2

asymptotą. Wykonać rysunek.

Podobne zadania (z rozwiązaniami lub odpowiedziami) znajdują się w skryptach: 1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008, rozdziały 8, 9 (całki oznaczone).

2. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2005, rozdział 1 (całki niewłaściwe).

Jolanta Sulkowska