Niech Mn( K) oznacza zbiór macierzy kwadratowych n×n o współczynnikach z ciała K. Jak było powiedziane wcześniej relacja: A ∼ B ⇐⇒ ∃C, A = CBC− 1
jest relacją równoważności w zbiorze Mn( K). Macierze A i C− 1 AC nazywamy macierzami podobnymi. Macierze podobne reprezentują ten sam operator w przestrzeni Kn w różnych bazach. Zadaniem naszym jest poszukiwanie takiej bazy przestrzeni, w której macierz operatora ma jak najprostszą postać.
Inaczej mówiąc chcemy znaleźć reprezentanta każdej klasy abstrakcji relacji
∼.
Macierz A ∈ Mn( K) nazywamy diagonalną jeśli poza przekątną tej macierzy są same 0 to znaczy A = [ ki · δij] n×n, gdzie δij jest symbolem Kroneckera.
Wtedy wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać: f ( x) = ( k 1 − x)( k 2 − x) . . . ( kn − x) .
Twierdzenie 1 Jeśli macierz kwadratowa A stopnia n ma n różnych wartości własnych to macierz A jest podobna do macierzy diagonalnej, w której na przekątnej występują wartości własne macierzy A.
Macierz diagonalną podobną do danej macierzy A nazywamy postacią diagonalną tej macierzy. Oczywiście nie każda macierz posiada postać diagonalną.
Poniższe twierdzenie daje kryterium istnienia postaci diagonalnej.
Twierdzenie 2 Dla danej macierzy A stopnia n istnieje postać diagonalna wtedy i tylko wtedy gdy A posiada dokładnie n niezależnych wektorów własnych.
Zadanie Zbadać, czy macierz:
4 0
6
A =
2 1
4
− 1 0 − 1
ma postać diagonalną.
Przypominamy, że dla danej macierzy A, N (1) t
oznacza przestrzeń wektorów
własnych odpowiadających wartości własnej t. Wtedy mamy następujące kryterium istnienia postaci diagonalnej nad ciałem liczb zespolonych: 1
Twierdzenie 3 Niech A będzie macierzą kwadratową nad ciałem C , a wielomian charakterystyczny f ( x) tej macierzy posiada k pierwiastków x 1 , . . . , xk każdy z nich o krotności si tzn:
f ( x) = det( A − xI) = c( x − x 1) s 1( x − x 2) s 2 . . . ( x − xk) sk.
Wtedy s 1 + s 2 + . . . + sk = n, a macierz A posiada postać diagonalną wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego i = 1 , 2 , . . . , k mamy dim N (1) = s k
i.
i
Wektory dołączone
Niech v = ( v 1 , . . . , vn) będzie wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej t. Wektor u = ( u 1 , . . . , un) spełniający równanie:
u
1
v 1
.
.
[ A − tI] .
.
. = .
un
vn
nazywamy wektorem dołączony stopnia pierwszego macierzy A, odpowiadającym wartości własnej t. Mówimy też, że wektor u jest dołączony do wektora własnego v.
Niech t będzie wartością własną macierzy A. Przez N (2) t
oznaczymy zbiór
rozwiązań równania:
x
1
0
x 2
0
( A − tI)2
. = .
..
..
xn
0
Wtedy mamy:
Twierdzenie 4 Zbiór N (2)
⊆
t
jest podprzestrzenią przestrzeni Kn i N (1)
t
N (2)
t
.
Twierdzenie 5 Wektor u = ( u 1 , . . . , un) jest wektorem dołączonym stopnia pierwszego macierzy A odpowiadającym wartości własnej t wtedy i tylko wtedy gdy
u
1
0
u 1
0
u 2
0
u 2
0
( A − tI)2
. = . i ( A − tI) . 6= .
..
..
..
..
un
0
un
0
2
Twierdzenie to oznacza, że przestrzeń N (2) t
składa się z wektorów własnych i
z wektorów dołączonych stopnia pierwszego.
Zadanie Wyznaczyć przestrzenie N (1)
t
i N (2)
t
dla macierzy
5 − 3
6
A =
4
0
4
− 1
2 − 2
Wektor w = ( w 1 , w 2 , . . . , wn) nazywamy wektorem dołączonym stopnia k 2 macierzy A odpowiadającym wartości własnej t, gdy
w
1
u 1
.
.
[ A − tI] .
.
. = .
wn
un
gdzie u = ( u 1 , . . . , u 2) jest wektorem dołączonym stopnia k − 1 macierzy A odpowiadającym wartości własnej t.
Oznaczmy przez N ( k)
t
zbiór rozwiązań równania:
x
1
0
x 2
0
( A − tI) k
. = .
..
..
xn
0
Wtedy mamy: N (1) ⊆
⊆
⊆
⊆
t
N (2)
t
N (3)
t
. . . N ( k)
t
. . . .
Twierdzenie 6 Wektor w = ( w 1 , . . . , wn) jest wektorem dołączonym stopnia k macierzy A odpowiadającym wartości własnej t wtedy i tylko wtedy gdy
w
1
0
w 1
0
w 2
0
w 2
0
( A − tI) k+1
. = . i ( A − tI) k . 6= .
..
..
..
..
wn
0
wn
0
Niech ϕ będzie operatorem liniowym w przestrzeni Kn i niech A będzie macierzą tego operatora w pewnej bazie. Wtedy wektor w jest wektorem dołączonym stopnia k wtedy i tylko wtedy gdy:
ϕ( w) − tw = u
Ponadto każda z przestrzeni N ( k)
t
jest podprzestrzenią ϕ-niezmienniczą, i dla
różnych t 1 i t 2 mamy:
N ( k) ∩
t
N ( m) = { 0 }
1
t 2
Twierdzenie 7 Niech t będzie wartością własną macierzy A. Jeśli istnieje takie k, że N ( k)
t
= N ( k+1)
t
to dla każdego m k mamy N ( k)
t
= N ( m)
t
3