Imi ¾
e i nazwisko, numer albumu:
nr grupy:
1. Wykorzystuj ¾
ac de…nicj ¾
e granicy wyka·
z, ·
ze
lim
3n 1
6 = +1:
n!+1
2. Wyznacz z de…nicji kresy zbioru 1
B =
2 + p
: n 2 N
n + 1
3. Narysuj podany zbiór i odczytaj jego kresy f 4; 0; 1g [ ( 3; 1) [ [5; +1): 4. Niech f : R ! R b ¾
edzie dana wzorem:
8
<
x + 9;
dla
x < 0
f (x) =
3;
dla
x = 0
:
:
9x2;
dla
x > 0
Sprawdź, czy funkcja jest bijekcj ¾
a i jeśli jest, to wyznacz f 1.
5. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji f (x) = log x 1
3
.
x+1
6. Zbadaj czy funkcja f : (0; 1) ! ( 1; 0) dana wzorem f(x) =
3
3x
x
jest monotoniczna.
n3
23 n
7. Obliczyć lim
.
n !1 (n
3) (n + 1)4
r
1
8. Obliczyć lim n sin4 n + 2n +
.
n !1
3n
9. Korzystaj ¾
ac z twierdzenia o dwóch ci ¾
agach obliczyć granic ¾
e ci ¾
agu (an)n2N
określonego wzorem
8
< ( 1)n n; je·
zeli n
12;
an = : (4 2arctgn)n3; je·zeli n > 12: 2 + 3n 4n+2
10. Obliczyć lim
.
n !1
5 + 3n
1
1. Podaj de…nicj ¾
e (opisow ¾
a bez u·
zycia symbolu ") kresu dolnego niepustego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.
2. Podać de…nicj ¾
e podzbioru domkni ¾
etego.zbioru liczb rzeczywistych 3. Wyjaśnić na przyk÷
adzie znaczenie zwrotu "wyra·
zenie typu 0 1 jest nieoz-
naczone"
4. Ocenić prawdziwość zdania: Za÷
ó·
zmy, ·
ze an jest ci ¾
agiem o wyrazach nieu-
p
jemnych zbie·
znym do a 2 R: Wóczas n an ! 1: 5. Dane s ¾
a funkcje f; g : R ! R. Wiadomo, ·
ze funkcje f g oraz g s ¾
a ci ¾
ag÷
e.
Czy funkcja f jest równie·
z ci ¾
ag÷
a?
6. Podać de…nicj ¾
e funkcji ró·
znowartościowej. Podać przyk÷
ad funkcji, która
jest ró·
znowartościowa i takiej, która nie jest ró·
znowartościowa.
7. Dana jest funkcja ci ¾
ag÷
a f : [1; 2] ! R. Czy jest prawd ¾
a, ·
ze dla dowolnego
M > 0 istnieje x 2 [1; 2], taki, ·
ze f (x) > M ?
8. Podać de…nicj ¾
e warunku Lipschitza i jego zwi ¾
azku z ci ¾
ag÷
ości ¾
a dla funkcji
f : R ! R.
9. Podać de…nicj ¾
e ci ¾
agu nierosn ¾
acego. Sformu÷
ować i udowodnić twierdzenie
o zbie·
zności ci ¾
agu nierosn ¾
acego i ograniczonego.
10. Sformu÷
owac twierdzenie o trzech ciagach - podać szkic dowodu.
2