Przyk ladowe zadania na klasówk¸
e
1. Wyznaczyć środek ci¸eżkości figury D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0, }, której g¸estość jest dana wzorem f (x, y) = 2 + xy.
Rozw. Tak jak by lo na zaj¸
eciach - do policzenia ca lki Z
Z
Z
Z
Z
Z
M =
f (x, y) dxdy,
Mx =
x·f (x, y) dxdy
oraz
My =
y·f (x, y) dxdy.
D
D
D
Aby policzyć te ca lki, trzeba mieć opis zbioru D. Jest to - we wspó lrz¸
ednych biegunowych
- zbiór (x, y) takich, że x = r ·cosα, y = r ·sinα, gdzie r ∈ [0, 1], α ∈ [ −π , π ]. Pami¸
etamy,
2
2
że dxdy = rdrdα. ( DLACZEGO TAK JEST? ) Wówczas π
π
Z
Z
Z
1 Z
Z
1 Z
2
2
1
f (x, y)dxdy =
(2 + r2 cos α · sin α) · r dαdr =
2r + r3 ·
sin(2α) dαdr
D
0
−π
0
−π
2
2
2
Z
1 n
−1
π/2
o
=
2r · α + r3 ·
cos(2α)
dr
0
4
α=−π/2
Z
1
Z
1
n
π
r3
−π
r3
o
1
=
2r
−
· cos(π) − 2r ·
+
· cos(−π) dr =
2rπdr = πr2
= π .
0
2
4
2
4
0
r=0
Analogicznie liczymy Mx i My i wychodzi środek ci¸eżkości (x0, y0) = (Mx/M , My/M ).
2. Wyznaczyć ca lk¸
e
Z
1 Z 1
y · ex2 dxdy .
0
y2
Rozw.
Trzeba zmienić kolejność ca lkowania, bo inaczej nie wyjdzie. Rysujemy uklad wspolrzednych z osi¸
a x poziomo i osi¸
a y pionowo. Obszar D jest taki, że y ∈ [0, 1], x ∈ [y2, 1].
Teraz, żeby zamienić kolejność ca lkowania rysujemy ten sam obszar D w ukladzie
√
wspolrzednych z osi¸
a x pionowo i osi¸
a y poziomo. Otrzymamy x ∈ [0, 1] , y ∈ [0, x].
Wówczas ta nasza ca lka b¸
edzie równa
√
√
√
Z
1 Z
x
Z
1
Z
x
Z
1
1
x
yex2 dydx =
yex2 dy dx =
ex2 ·
y2
dx
0
0
0
0
0
2
y=0
Z
1
1
Z
1
√
1
=
ex2 ·
· ( x)2 − 02dx =
xex2 dx .
0
2
2 0
Robimy podstawienie t = x2 i otrzymujemy xdx = 1 dt, t ∈ [0, 1] oraz 2
1 Z 1
1 Z 1 1
1
1
1
xex2 dx =
etdt =
· et
=
· (e1 − e0) .
2
0
2 0 2
4
t=0
4
.
1
3. Obliczyć pole powierzchni opisanej funkcj¸
a f (x, y) = x2 + y2, gdzie D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1} jest dziedzin¸
a f .
Rozw.
Jakie jest pole powierzchni paraboloidy narysowanej nad ko lem jednos-tkowym? Trzeba liczyć
Z
Z
q
1 + (f 0x(x, y))2 + (f0y(x, y))2dxdy D
Ta calka jest równa
Z
Z
q
1 + 4x2 + 4y2dxdy .
D
Korzystaj¸
ac z podstawień biegunowych x = r · cos α , y = r · sin α, gdzie r ∈ [0, 1], α ∈ [0, 2π] otrzymujemy dxdy = rdrdα. Wówczas nasza ca lka ma postać Z
2π Z 1
Z
2π
Z
1
nq
o
np
o
1 + 4(r cos α)2 + 4(r sin α)2 · r drdα =
1 + 4r2 · r
dr dα.
0
0
0
0
Stosuj¸
ac podstawienie 1 + 4r2 = t otrzymamy rdr = 1 dt oraz t ∈ [1, 5], bo r ∈ [0, 1].
8
Otrzymamy
Z
2π
Z
5 √
Z
2π
Z
2π
1
1
2 3 5
1
3
3
t ·
dt dα =
· t 2
dα =
· (5 2 − 1 2 ) dα
0
1
8
0
8
3
t=1
0
12
√
√
5 5 − 1
2π
5 5 − 1
=
· α
= π ·
.
12
α=0
6
2