3U]\NáDG%HONDREFL*RQDVLáR]PLHQQ\PSRáR*HQLX
3R]LRPDEHONDSRGZLHV]RQDMHVWQDFLJDFKFLJLVZFLDQLHSLRQRZHMQDZ\VRNRFLóO
od belki. Drugi koniec FLJyZ]DPRFRZDQ\MHVWGREHONLZRGOHJáRFLORGFLDQ\.RQLHF
EHONL RSLHUD VL R FLDQ :VSyáF]\QQLN WDUFLD EHONL R FLDQ Z\QRVL µ 2NUHO
RGOHJáRü[VLá\3RGFLDQ\DE\EHONDSR]RVWDZDáDZUyZQRZDG]H
3RQL*HMSU]HGVWDZLRQRVFKHPDWVWDW\F]Q\RSLVDQHMNRQVWUXNFML
l
3
l/4
A
µ=1/8
x=?
5R]ZL]DQLHPHWRGJUDILF]Q
3RVáX*P\ VL SRM FLHP VWR*ND WDUFLD 1D U\VXQNX ]DPLHV]F]RQ\P SRQL*HM ]D]QDF]RQR
SU]HNUyM VWR*ND WDUFLD XWZRU]RQHJR ] OLQLL G]LDáDQLD UHDNFML FLDQ\ G]LDáDMFHM QD EHON Z
SXQNFLH $ 5HDNFMD PR*H RGFK\OLü VL RG SR]LRPX FR QDMZ\*HM R NW ϕ, którego tangens wynosi µ.
µ = tgϕ
1LHPR*HZL FZ\MüSR]DREV]DUVWR*NDSRND]DQHJRQDQL*HMSU]HGVWDZLRQ\PU\VXQNX
=GUXJLHMVWURQ\SRQLHZD*QDUR]SDWU\ZDQEHON G]LDáDMVLá\VLáDF]\QQDPVLáDUHDNFMLR i VLáD Z FLJX S UyZQRZDJD E G]LH PR*OLZD W\ONR ZyZF]DV JG\ OLQLH G]LDáDQLD W\FK VLá SU]HFLQDüVL E GZMHGQ\PSXQNFLH0R*HWRE\üVSHáQLRQHW\ONRZWHG\JG\OLQLDG]LDáDQLD
VLá\ 3 SU]HFLQDü E G]LH RGFLQHN &' Z\]QDF]RQ\ SU]H] OLQL G]LDáDQLD VLá\ Z FLDJX S i
skrajne – maksymalne wychylenia reakcji R 6NUDMQH SRáR*HQLD VLá\ P, dla których UyZQRZDJD E G]LH MHV]F]H PR*OLZD RWU]\PDP\ ] ZDUXQNX *H OLQLD G]LDáDQLD VLá\ 3
SU]HFKRG]L UD] SU]H] SXQNW & L UD] SU]H] SXQNW ' : RE\GZX SU]\SDGNDFK OLQLD G]LDáDQLD
reakcji RRGFK\ORQDE G]LHRGQRUPDOQHMGRSRZLHU]FKQLFLDQ\RNWWDUFLDϕ.
l
3
6
l/4
C
przekrój
A
przez
VWR*HN
tarcia
5
µ=1/8
D
dopuszczalny
obszar
SRáR*HQLD
GODVLá\3
l
F
C
l/4
G
ϕ
E
A
D
:\]QDF]P\SRáR*HQLHSXQNWX&2EOLF]\P\GáXJRüRGFLQND*&
=SRGRELHVWZDWUyMNWyZ)$(L)*&Z\QLND]DOH*QRü GC
FG
=
GC
FG
1
VWG
=
ZL F FG =
GC .
AE
FA
l
l
4
4
1
AG
1
1
3RQLHZD* tgϕ = µ =
ZL F
= DVWG AG = GC .
8
GC
8
8
Odcinek
l
AF =
= AG + GF .
4
2
3RGVWDZLDMFGRRVWDWQLHJRUyZQDQLDZ\]QDF]RQHZDUWRFL)*L$*RWU]\PDP\UyZQDQLH
l
1
1
= GC + GC
GC
2
=
4
VNGRVWDWHF]QLH
l
4
8
3
2EOLF]P\ WHUD] GUXJLH VNUDMQH SRáR*HQLH VLá\ 3 : W\P FHOX Z\]QDF]\P\ GáXJRü RGFLQND
$+]D]QDF]RQHJRF]HUZRQDOLQLQDU\VXQNXXPLHV]F]RQ\PSRQL*HM
l
F
C
l/4
ϕ
H
E
A
D
:\NRU]\VWXMFSRGRELHVWZRWUyMNWyZ(+'L($)]DSLV]HP\SURSRUFM
AH − l = l = 4 .
HD
1 l
4
HD
1
1
Mamy
= tgϕ = µ = ⇒ HD = AH .
AH
8
8
:VWDZP\RVWDWQL]DOH*QRüGRSRSU]HGQLHM2WU]\PDP\
AH − l = 4 ⇒ AH = l 2 .
1 AH
8
2VWDWHF]QLHGOD]DFKRZDQLDUyZQRZDJLVLáD3PR*HE\üSU]\NáDGDQDGREHONLZRGOHJáRFLRG
FLDQ\PLHV]F]FHMVL ZSU]HG]LDOHRG 2
l do l
2 .
3
5R]ZL]DQLHPHWRGDQDOLW\F]Q
5HDNFM FLDQ\QDEHON UR]áy*P\QDGZLHVNáDGRZH1L73U]\MPLHP\]ZURWVNáDGRZHM7Z
GyáMDNQDU\VXQNXSRQL*HM.RU]\VWDMF]UyZQDUyZQRZDJLREOLF]\P\VNáDGRZHUHDNFML
=UyZQDQLDPRPHQWyZZ]JO GHPSXQNWX(Z\]QDF]\P\ZDUWRüVLá\T. 6LáDMHVW]DOH*QDRG
RGOHJáRFLVLá\3RGFLDQ\
∑ M
.
E =
x
0 ⇒ T = P( − )
1
l
3
l
F
l/4
3
A
E
1
7
x=?
6NáDGRZ SURVWRSDGá 1 GR SRZLHU]FKQL FLDQ\ Z\]QDF]\P\ ] UyZQDQLD PRPHQWyZ VLá Z]JO GHPSU]HJXEX)5yZQLH*VLáD1]DOH*\RGRGOHJáRFLVLá\3RGFLDQ\
∑ M 0
4
.
F =
⇒
= x
N
P
l
3R Z\]QDF]HQLX VLá 1 L 7 Z\NRU]\VWDP\ QLHUyZQRü &RXORPED RJUDQLF]DMF ZDUWRü VLá\
tarcia: T ≤ µ ⋅ N . Rozpatrzmy dwa przypadki: T ≥ 0 i T ≤ 0 .
x
x
x
1 x
Dla T ≥ 0 otrzymujemy pierwsze ograniczenie: P( − ) 1 ≤ µ4 P ⇒ ( − )
1 ≤
⇒ x ≤ l
2 .
l
l
l
2 l
8VWDOP\ GDOHM *H VLáD WDUFLD SU]\MPLH ]ZURW SU]HFLZQ\ GR ]DáR*RQHJR QD SRSU]HGQLP
rysunku. Wówczas T ≤ 0 L]QLHUyZQRFLCoulomba otrzymamy drugie ograniczenie:
−
x
x
x
1 x
2
T ≤ µ ⋅ N ⇒ − P( − ) 1 ≤ µ4 P ⇒ ( − )
1 ≥ −
⇒ x ≥ l .
l
l
l
2 l
3
àDWZR ]DXZD*\ü *H ]ZURW VLá\ WDUFLD ]DOH*\ RG SRáR*HQLD VLá\ 3 -H*HOL VLáD ]QDMGXMH VL SR
VWURQLHSUDZHMZ ]áD(WRVLáDWDUFLDVNLHURZDQDMHVWZGyá-H*HOLVLáD3]QDMGXMHVL SROHZHM
VWURQLH Z ]áD ( ZyZF]DV ]ZURW VLá\ WDUFLD MHVW NX JyU]H =ZURW MHVW SU]HFLZQ\ GR NLHUXQNX
UXFKXMDNLZ\NRQ\ZDáE\NRQLHFEHONLJG\E\QLHE\áRVLá\WDUFLD
1DU\VXQNDFKSRQL*HM]LOXVWURZDQRRE\GZDWHSU]\SDGNL
l
F
l/4
3
E
7
1
l
F
l/4
3
E
1
7
4