Mechanika dla studentów I roku

Zestaw 3: dynamika

1. Dynamika – ruch jednowymiarowy.

W spadkownicy Atwooda na jeden z dwóch identycznych ci arków, poło ono ci arek dodatkowy o masie m = 2 g. W czasie t 1 = 3 s ci arki przybyły drog s 1 = 18 cm.

Obliczy mas ka dego ci arka tej spadkownicy oraz drog s 2, jak przebyły te ci arki w czasie kolejnych t 2 = 4 sekund.

2. Dynamika – ruch jednowymiarowy.

W spadkownicy Atwooda zawieszono dwa niezupełnie jednakowe ci arki, wskutek czego przebyły one drog s = 72 cm w czasie t = 6 s. Wiadomo, e masa jednego z tych ci arków wynosiła m 1 = 244 g. Obliczy mas m 2 drugiego ci arka.

3. Dynamika – ruch jednowymiarowy.

W spadkownicy Atwooda na jeden z dwóch równych ci arków poło ono ci arek dodatkowy o masie m = 2 g. Wskutek tego, ci arki przebyły one drog s = 20 cm w czasie t = 2 s. Obliczy mas ka dego ci arka.

4. Dynamika – ruch jednowymiarowy ze stał sił .

Ciało o masie m = 1 kg porusza si w dodatnim kierunku osi OX, maj c w chwili t = 0

pr dko v(0) = 1 m/s i b d c w punkcie x(0) = 1 m. Na ciało działa stała siła o warto ci 1

N, skierowana w stron ujemnych warto ci osi OX. Rozwi za równanie Newtona i znale zale no poło enia i pr dko ci ciała od czasu, tj. x( t) i v( t) dla t > 0.

5. Dynamika – ruch jednowymiarowy ze stał sił .

Ciało o masie m = 1 kg rzucono pionowo do góry na wysoko ci h = 1 m nad powierzchni Ziemi z szybko ci pocz tkow równ v 0 = 10 m/s. Rozwi za równanie Newtona i znale zale no poło enia i pr dko ci ciała od czasu, tj. x( t) i v( t) dla t > 0.

6. Dynamika – ruch jednowymiarowy ze stał sił .

Ciało o masie m = 1 kg rzucono pionowo w dół na wysoko ci h = 1 m nad powierzchni Ziemi z szybko ci pocz tkow równ v 0 = 10 m/s. Rozwi za równanie Newtona i znale zale no poło enia i pr dko ci ciała od czasu, tj. x( t) i v( t) dla t > 0.

7. Dynamika – ruch trójwymiarowy.

W pewnym polu sił, równania ruchu cz stki o masie m = 0,5 kg s nast puj ce: 2

x( t) = 5 t − t,

3

y( t) = 2 t ,

z( t) = −3 t + 2.

Wiedz c, e czas wyra ony jest w sekundach, a współrz dne cz stki w metrach, poda , jakie s wymiary stałych liczbowych, wyst puj cych w powy szych relacjach. Obliczy składowe pr dko ci, przyspieszenia, p du i momentu p du tej cz stki, jako funkcje czasu. Wyznaczy te składowe siły i momentu siły, działaj cych na t cz stk podczas jej ruchu. Obliczy tak e wielko mocy przekazywanej cz stce podczas jej ruchu.

8. Dynamika – ruch trójwymiarowy.

Cz stka o m = 0,1 kg porusza si w polu siły F okre lonej relacjami: F ( t) = 15 t,

x

F ( t) = 3 t −12,

y

2

F ( t) = −6 t .

z

Wiadomo, e czas wyra ony jest w sekundach, a składowe siły w niutonach. Znale zale no składowych wektorów poło enia i pr dko ci tej cz stki jako funkcje czasu, je eli dane s warunki pocz tkowe: r0 = [5, 2, -3] (m) i v0 = [2, 0, 3] (m/s). Obliczy składowe p du i momentu p du tej cz stki, jako funkcje czasu. Wyznaczy te składowe momentu siły, działaj cego na t cz stk podczas jej ruchu. Obliczy tak e wielko mocy przekazywanej cz stce podczas jej ruchu.

Uwagi i wskazówki!

Druga zasada dynamiki Newtona okre la przyspieszenie a ciała o masie m, na które działa siła F:

= F

a

.

m

P d cz stki (oznaczany p ) o masie m i poruszaj cej si z pr dko ci v okre la relacja: p = m .

v

Wielko mocy P przekazywanej cz stce, na któr działa siła F i która porusza si z pr dko ci v, dana jest wzorem:

P = F ⋅ .

v

Moment p du cz stki L i moment siły M działaj cy na cz stk s okre lone definicjami: L = r × p,

M = r × .

F

W powy szych relacjach, r jest wektorem wodz cym cz stki.

Zadania 7 i 8 s przeznaczone dla wszystkich grup. Pozostałe zadania s przydzielone dla poszczególnych grup według nast puj cego klucza:

• Grupy poniedziałkowe – zadania 1, 4.

• Grupy czwartkowe – zadania 2, 5.

• Grupy pi tkowe – zadania 3, 6.

Prof. dr hab. Jerzy Konior

Dr Bartłomiej Głowacz

Dr Andrzej Odrzywołek

Dr Jakub Prauzner-Bechcicki

Dr Aleksandra Wro ska