Metody Numeryczne, semestr letni 2013/2014
Lista 4: Aproksymacja
1. Aproksymować funkcję f ( x) = 1 w przedziale [2 , 4] wielomianem stopnia co najwyżej drugiego.
x 2
2. Aproksymować funkcję f ( x) = cos x w przedziale [0 , π ] wielomianem stopnia co najwyżej drugiego.
2
3. Funkcję f ( x) = sin x określoną na przedziale [0 , π ] aproksymować wielomianem stopnia drugiego przy 2
użyciu bazy wielomianów Legendre’a.
4. Funkcję f ( x) =
1
określoną na przedziale [ − 1 , 1] aproksymować wielomianami Legendre’a stopnia 1+ x 2
co najwyżej piątego i oszacować błąd aproksymacji.
5. Funkcję f ( x) = 3 x określoną na przedziale [0 , 1] aproksymować wielomianami Legendre’a stopnia drugiego.
2
x
6. Funkcję f ( x) = xe 2 aproksymować w przedziale ( −∞, ∞) wielomianem stopnia co najwyżej trzeciego przy użyciu bazy wielomianów Hermite’a (z wagą
2
ρ( x) = e−x ).
x
7. Funkcję f ( x) = e 4 aproksymować w przedziale [0 , ∞) wielomianem stopnia co najwyżej drugiego przy użyciu bazy wielomianów Laguerre’a (z wagą ρ( x) = e−x).
8. Funkcję y = f ( x) określoną tablicą x 1 , 5 2 2 , 5
3
y
1
4
7
10
aproksymować wielomianem uogólnionym postaci F ( x) = c 0 + c 1 ex i oszacować błąd aproksymacji.
9. Funkcję y = f ( x) określoną tablicą x
0 , 0
0 , 1
0 , 2
0 , 3
y
1 , 0000 1 , 07177 1 , 1487 1 , 2311
aproksymować wielomianem uogólnionym postaci F ( x) = c 0 + c 1 sin x.
10. Dla funkcji y = f ( x), określonej tablicą x
3
4 7 10
y
− 1
2 3
2
znaleźć wielomian aproksymujący stopnia drugiego.
11. Funkcja y = f ( x) jest określona tablicą (jest to tablica wartości funkcji y = sin x).
x 0
π
π
π
π
6
4
3
2
√
√
y
0
1
2
3
1
2
2
2
Znaleźć wielomian aproksymujący stopnia drugiego.
12. Aproksymować wielomianami ortogonalnymi drugiego stopnia funkcję y = cos x, jeśli dane są jej wartości:
x
0
10 ◦
20 ◦
30 ◦
y
1 , 0000 0 , 9848 0 , 9397 0 , 8660
13. Aproksymować wielomianami ortogonalnymi drugiego stopnia funkcję y = f ( x) wiedząc, że: x 1 1 , 5 2 2 , 5 3
y
2 4 , 5 5 8 , 5 9