SYSTEMY LICZBOWE
1. Systemy liczbowe
Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu
codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej napotkałaby zbyt wiele
trudności technicznych. Z tego powodu zostały stworzone inne systemy liczbowe, np. system
dwójkowy, czy szesnastkowy, które bardziej odpowiadają potrzebom techniki cyfrowej.
1.1. System dziesiętny
Dziesiętny system liczenia skalda się z 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. W systemie tym odpowiednie
liczby wyrażamy za pomocą cyfr, przy czym za pomocą jednej cyfry można wyrazić 10 liczb, za
pomocą dwóch  100 liczb, za pomocą trzech  1000 liczb itd. Mówimy, że liczba dziesiętna posiada
podstawę liczenia 10, co w praktyce oznacza, że dana liczba jest ciągiem cyfr, które są rozumiane jako
mnożnik kolejnych potęg liczby dziesięć, np.:
275,538 = 2 " 10 + 7 " 10 + 5 " 10 + 5 " 10 + 3 " 10 + 8 " 10
1.2. System dwójkowy (binarny)
Dwójkowy system liczenia skalda się z dwóch cyfr: 0 i 1. Cyfra w systemie dwójkowym jest nazywana
cyfrą binarną, a popularnie bitem. Za pomocą jednej cyfry binarnej można przestawić tylko dwie
liczby, za pomocą dwóch  4 liczby, za pomocą trzech cyfr  8 liczb itd.
W systemie dwójkowym liczba posiada podstawę liczenia 2, co oznacza, że jest ona ciągiem cyfr typu
0 lub 1. Są one mnożnikami kolejnych potęg liczby 2, np.:
Zapis w systemie
Zapis w systemie
0111( ) = 0 " 2 + 1 " 2 + 1 " 2 + 1 " 2 = 7( )
dziesiętnym
dwójkowym
Pierwszy bit z lewej strony nosi nazwÄ™ najstarszego bitu (most significant bit  MSB), natomiast
pierwszy bit z jej prawej strony nazywany jest najmłodszym bitem (least significant bit  LSB).
1.3. System ósemkowy (oktalny)
Oktalny system ma podstawę równą "8". Zapis liczb odbywa się przy użyciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Np. zapis:
Zapis w systemie
Zapis w systemie
30( ) = 3 " 8 + 0 " 8 = 24( )
dziesiętnym
ósemkowym
1.4. System szesnastkowy (heksadecymalny)
System szesnastkowy ma podstawę równą "16". Zapis liczb odbywa się przy użyciu następujących cyfr
i znaków: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, gdzie:
A- oznacza "10"
B- 11
C- 12
D- 13
E- 14
F- 15
Np.:
Zapis w systemie
Zapis w systemie
= 13( ) dziesiętnym
( )
szesnastkowym
2. Przeliczanie liczb pomiędzy systemami
2.1. Zamiana liczb z systemu dziesiętnego na dwójkowy i odwrotnie
Podstawowy sposób polega na kolejnym dzieleniu liczby dziesiętnej przez 2.
Jeśli nie ma reszty to wpisujemy 0 a jak jest reszta to 1. Liczbę zapisujemy od
najstarszego do najmłodszego bitu więc:
69( ) = 1000101( )
Aby przeliczyć liczbę z systemu dwójkowego na dziesiętny musimy skorzystać z poniższego wzoru:
W powyższym wzorze w miejsca  x wstawiamy na odpowiednie (kolejne) pozycje kolejne cyfry z
przeliczanej liczby.
1000101( ) = 1 " 2 + 0 " 2 + 0 " 2 + 0 " 2 + 1 " 2 + 0 " 2 + 1 " 2 = 69( )
2.2. Zamiana liczb z systemu dziesiętnego na ósemkowy i odwrotnie
Aby z liczby dziesiętnej uzyskać odpowiadającą jej liczbę ósemkową należy dzielić daną liczbę przez 8,
wyniki kolejnych dzieleń zapisać w słupku, a reszty z dzieleń zapisać po prawej stronie za kreska.
Kolejne dzielenia wykonujemy do momentu aż uzyskamy wynik z dzielenia mniejszy niż 1.
Następnie wystarczy przepisać uzyskane reszty z dzieleń od dołu do góry.
43:8 = 5 reszty 3
5:8 = 0 reszty 5
Wynik: 43(10)=53(8)
Aby przeliczyć liczbę z systemu ósemkowego na dziesiętny musimy skorzystać z poniższego wzoru:
" 8 + + " 8 + " 8 + " 8
W powyższym wzorze w miejsca  x wstawiamy na odpowiednie (kolejne) pozycje kolejne cyfry z
przeliczanej liczby.
5 " 8 + 3 " 8 = 40 + 3 = 43( )
2.3. Zamiana liczb z systemu dziesiętnego na szesnastkowy i
odwrotnie
Dzielimy podobnie jak w poprzednich systemach pamiętając o wartościach jakie przybiera reszta i
pamiętając o tym by 10, 11, itd. zapisywać jako A, B itd...
456:16 = 28 reszty 8
28:16 = 1 reszty C
1:16 = 0 reszty 1
Wynik: 456(10) = 1C8(16)
Aby przeliczyć liczbę z systemu szesnastkowego na dziesiętny musimy skorzystać z poniższego wzoru:
" 16 + + " 16 + " 16 + " 16
W powyższym wzorze w miejsca  x wstawiamy na odpowiednie (kolejne) pozycje kolejne cyfry z
przeliczanej liczby.
1 8( ) = 1 " 16 + 12 " 16 + 8 " 16 = 256 + 192 + 8 = 456( )
3. Wartość liczby w zapisie znak - moduł
Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang. SM Signed Magnitude) jest najbardziej zbliżony
do systemu zapisu liczb używanego przez nas samych. Liczba ZM składa się z dwóch części - bitu
znaku oraz bitów wartości liczby (modułu):
Dla liczb dodatnich i zera bit znaku ma wartość 0, dla liczb ujemnych i zera ma wartość 1.
Format zapisu ZM musi być ściśle ustalony, aby wiadomo było, który bit jest bitem znaku - w
operacjach arytmetycznych bit znaku musimy traktować inaczej niż inne bity.
Przykład:
Obliczyć wartość dziesiętną liczby 10110111(ZM).
Pierwszy bit zapisu ZM jest bitem znaku. Wartość 1 informuje nas, iż jest to liczba ujemna. Pozostałe
bity tworzą wartość liczby. Moduł jest zapisany w naturalnym systemie dwójkowym, zatem:
4. Działania na liczbach binarnych
4.1. Dodawanie liczb binarnych:
W dodawaniu liczb binarnych należy pamiętać o takich zasadach, że:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 1 Ä™ Ä… " Ä… Ä™ "
Przykład:
5(10)+6(10)=11(10)
5(10)=101(2)
6(10)=110(2)
1011(2)=11(10)
4.2. Odejmowanie liczb binarnych
Odejmowanie liczb binarnych wykonuje siÄ™ poprzez zamianÄ™ jednej z liczb na ujemnÄ…. A zatem
odejmowanie jest niczym innym jak dodawaniem ujemnych liczb binarnych.
Liczby binarną można zapisać w postaci ujemnej na dwa sposoby:
1. Zapis Uzupełnienie do 2 - U2, czyli 10110100(2)=01001100(U2). Przepisujemy bity od prawej
strony do pierwszej jedynki (włącznie)a kolejne bity przepisujemy na odwrót (z
zaprzeczeniem)
2. Zapis Uzupełnienie do 1 - U1, czyli 10110100(2)=01001011(U1). Wszystkie bity przepisujemy z
zaprzeczeniem. Uzupełnienie do 1 liczby binarnej jest zawsze negacją bitów tej liczby.
Czy liczby ujemne będą zapisane na U1 czy na U2 to stanowi kwestią umowną. Należy z góry
zdefiniować jaki jest stosowany zapis dla ujemnych.
Schemat dodawania w wypadku zapisu U2
·ð Dodawanie dwóch liczb binarnych ze znakiem w przypadku, gdy liczba ujemna zapisana jest
jako U2, wykonywane jest przez dodanie tych liczb Å‚Ä…cznie z bitem znaku.
·ð Przeniesienie na najbardziej znaczÄ…cej pozycji zostaje odrzucone.
·ð Jeżeli wynik dodawania jest dodatni to otrzymana liczba jest liczbÄ… binarnÄ….
·ð Jeżeli wynik dodawania jest ujemny to na otrzymanej liczbie należy wykonać jeszcze raz zapis
U2 pozostawiając oczywiście bit znaku bez zmian.
Przykład:
Schemat dodawania w wypadku zapisu U1:
·ð Dodawanie dwóch liczb binarnych w przypadku, gdy liczby ujemne sÄ… reprezentowane w
zapisie U1, wykonywane jest przez dodanie tych liczb wraz z bitami znaku.
·ð Gdy istnieje przeniesienie z najbardziej znaczÄ…cej pozycji, to wynik zostaje zwiÄ™kszony o
jeden, czyli przeniesienie dodajemy do najmniej znaczÄ…cej pozycji.
·ð Jeżeli wynik dodawania jest dodatni to otrzymana liczba jest liczbÄ… binarnÄ….
·ð Jeżeli wynik jest ujemny to należy wykonać na nim jeszcze raz zapis U1,pozostawiajÄ…c bit
znaku bez zmian, i wtedy wynik przyjmie postać binarną.
Przykład:
W wypadku innych systemów liczbowych (ósemkowy, szesnastkowy itp...)schemat postępowania
przedstawia się podobnie. Również należy uzyskać zapis U1 lub U2 a póz
niej rozpocząć odejmowanie.
5. Zadania:
Zad. 1
Zapisz poniższe liczby w systemie dwójkowym, ósemkowym i szesnastkowym, a następnie dokonaj
znów konwersji na system dziesiętny:
11, 73, 23, 104, 125, 156
Zad. 2
Oblicz wartość dziesiętną liczby:
00011111(ZM), 11111111(ZM), 1001(ZM), 1000111(ZM), 011101(ZM), 010101(ZM)
Zad. 3
Wykonaj obliczenia:
a) 1010(2) + 1010(2) = ???(2)
b) 1111(2) + 0001(2) = ???(2)
c) 1111001(2) + 10010(2) = ???(2)
d) 01111111(2) + 1(2) = ???(2)
e) 0011(2) - 0010(2) = ???(2) (U2 i U1)
f) 1011(2) - 1010(2) = ???(2) (U2 i U1)
g) 10101010(2) - 01010101(2) = ???(2) (U2 i U1)