plik


ÿþSystemy liczbowe System dziesitny Dla nas, ludzi naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system dziesitny. Oznacza to, \e wyró\niamy dziesi cyfr. S nimi: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pi, sze[, siedem, osiem oraz dziewi. Oznacza si je odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9. Jak wida, wliczajc zero, jest ich dziesi. Spróbujcie u[wiadomi sobie, \e liczenie jest tylko i wyBcznie ILOZCI, a nie zapisem liczb. Zapis dziesitny powstaB wieki temu, prawdopodobnie, dlatego, \e mamy dziesi palców. Jednak\e, nie bdziemy teraz si zajmowa histori. Przejdzmy zatem do bardziej konkretnych rzeczy. Umiemy ju\ policzy do dzieciciu, wliczajc liczb zero. Natomiast co si stanie, gdy bdziemy mieli do policzenia jak[ wiksz ilo[? Otó\, przeskakujemy automatycznie, na nastpn pozycj, a cyfry zwikszmy tylko na pozycji wysunitej najbardziej w prawo. WBa[nie ta najbardziej w prawo wysunita pozycja jest najsBabsza, a najbardziej w lewo - najmocniejsza. Tym sposobem znowu zwikszamy cyfry, a\ uzyskamy dziewi. Nastpna liczba, przesunie cyfr, która znajduje si o jedn pozycj w lewo. Natomiast gdy ju\ nawet dziewitka bdzie na najbardziej w lewo wysunitej pozycji, dodajemy now pozycj. Cykl zaczyna si ponownie i tak w nieskoDczono[. Mo\e wyda si wam to troch skomplikowane, ale sobie to wyja[nimy na przykBadzie. Wezmy na przykBad liczb 274, czyli dwie[cie siedemdziesit cztery. Na najsBabszej pozycji widnieje cyfra 4. Pozycja ta nosi nazw pozycji jedno[ci, je[li pamitacie ze szkoBy podstawowej. Mamy zatem 4 jedno[ci. Na drugiej pozycji jest cyfra 7. Cyfra ta znajduje si na drugiej pozycji, czyli pozycji dziesitek. Mo\na, wic powiedzie, \e jest tam siedem dziesitek, inaczej mówic 70 jedno[ci. Na trzeciej natomiast pozycji jest cyfra 2. Trzecia pozycja to pozycja setek, czyli mam dwie setki. Innymi sBowy, liczba 274 to dwie setki, siedem dziesitek i 4 jedno[ci. Mo\na to zapisa nastpujco: 4*1 + 7*10 + 2*100. Po dokonaniu tego\ dziaBania, wyjdzie 274. Czas, aby si temu dziaBaniu przyjrze. Jak wida, ka\dy kolejny skBadnik zawiera cyfr z powy\szej liczby oraz cigle zwikszajcy mno\nik. Mno\nik ten najpierw jest równy 1, potem 10, a na koDcu 100. Znaczy to, \e ka\dy nastpny jest pomno\ony przez 10. Mo\na, wic zapisa to jeszcze inaczej. Liczba 274 to tak jak: 4*100 + 7*101 + 2*102. Jak widzimy, mno\nik to liczba 10 z cigle zwikszajc si potg. Ta informacja przyda si w nastpnych dziaBach omawiajcych przeliczanie z jednego systemu na drugi. Zwrómy uwag teraz na rzecz, która chocia\ troch uzmysBowi wam, jak dziaBa system dziesitny. Gdyby[my chcieli zwikszy o 1 liczb 347, to zawsze, automatycznie zwikszmy cyfr, która znajduj si na pozycji wysunitej najdalej w prawo. Powstanie zatem 348. Natomiast, gdy chcemy zwikszy o 1 liczb 429, widzimy, \e nie mo\na ju\ nic do 9-tki doda, gdy\ nie ma ju\ wy\szej cyfry. Co wtedy robimy? - ka\dy wie. Zwikszamy o jeden warto[ cyfry znajdujcej si na pozycji z lewej strony, natomiast warto[ jedno[ci zerujemy (dajemy najni\sz mo\liw warto[). Powstaje zatem 430. Je\eli natomiast chcieliby[my zwikszy warto[ o 1 liczby 999, to wida, \e : nie mo\na zwikszy jedno[ci, nie mo\na zwikszy dziesitek i nie mo\na zwikszy setek. Dodajemy zatem nastpn pozycj. Powstanie wic 1000. System ósemkowy Skoro powstaB system dziesitny, mo\na wymy[la dowolne systemy liczenia (na przykBad czwórkowy itd.). WBa[nie jednym z takich systemów jest system ósemkowy. Pocztkowo byB on troch stosowany, obecnie jednak jego zastosowanie jest znikome. PosBu\y nam on jako dobry przykBad. Jak si pewnie domy[lacie, w systemie tym jest osiem cyfr. Wcale si nie mylicie. S to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 oraz 7. Jest ich, wic 8, std nazwa. DziaBa on na tej samej zasadzie, co system dziesitny. To znaczy, \e gdy ju\ jaka[ cyfra jest na maksymalnej warto[ci, zwikszamy cyfr na nastpnej pozycji. Wyja[ni to si na przykBadzie. PrzeksztaBcajmy kolejne liczby i zobaczmy, jakie s ró\nice. Liczba zero (0) tak samo wyglda w obu systemach. Tak samo ma si sytuacja z jedynk (1), dwójk (2), trójk (3) itd. Sytuacja staje si skomplikowana, gdy dojedziemy do siódemki (7). Liczba 7 wyglda tak samo w obu systemach. Jednak nadchodzi nastpna liczba, zwana przez nas jako osiem. System ósemkowy nie zna takiej cyfry, wic powstaje nastpna pozycja. Zatem liczba osiem (8) w systemie dziesitnym to liczba dziesi (10) w systemie ósemkowym. ByBa to bardzo wa\na konwersja i dobrze by byBo, gdyby[ j zrozumiaB. Liczby takie jak: 6, 7, 8, 9, 10, w systemie ósemkowym bd wyglda odpowiednio: 6, 7, 10, 11, 12. Gdyby[my chcieli sprawdzi, czy rzeczywi[cie liczba na przykBad 14 w systemie ósemkowym to 12 w dziesitnym, musimy przeprowadzi konwersj. Dokonuje tego tak, jak robili[my to w akapicie o systemie dziesitnym, z tym, \e podstaw mno\enia bdzie liczba 8. Zatem, rozpisujemy liczb 14 (s. ósemkowy) w nastpujcy sposób. Jest to 4*1 + 1*8, czyli 4+8 czyli 12. Innymi sBowy, jest to 4*80 + 1*81. Po policzeniu wyniku musz si zgadza. Zauwa\cie, \e w systemie dziesitnym kolejne pozycje miaBy warto[ci: 1, 10, 100, 1000, 100000, 1000000 itd., poniewa\ podstaw byBa liczba 10. W systemie ósemkowym podstaw jest liczba 8, a kolejne pozycje wygldaj nastpujco: 1, 8, 64, 512, 4096, 32768 itd. System dwójkowy czyli binarny Powiedzieli[my sobie, \e mo\na wymy[la dowolny system zapisu liczb. Skoro tak, to, czemu miaBby nie powsta system dwójkowy, skBadajcy si tylko z dwóch cyfr: 0 (zero) i 1 (jeden). DziaBa on analogicznie tak samo jak poprzednie systemy. Wyja[ni si zaraz wszystko na konkretnym przykBadzie. Wezmy na przykBad kilka pierwszych liczb naszego systemu dziesitnego. Bdziemy je konwertowa na system dwójkowy, zwany równie\ binarnym. Pierwsza liczba w naszym systemie to 0 (zero). W systemie dwójkowym, liczba ta równie\ jest równa 0, gdy\ istnieje tam taka cyfra. Kolejna liczba to 1 (jeden). W systemie dwójkowym, równie\ taka cyfra istnieje, wic zapisujemy 1. Kolejna liczba to 2 (dwa). Wiemy, \e nie istnieje tam taka cyfra, wic dodajemy kolejn pozycj, a pozycj wysunit na prawo, zerujemy. Zatem liczba 2 w systemie dziesitnym ma posta "10" w systemie dwójkowym. Bynajmniej nie jest to "dziesi" tylko "jeden, zero". Kolejne liczby w systemie dziesitnym to: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 itd. W systemie dwójkowym wygldaj one odpowiednio: 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001. Jak widzimy, zasada jest caBy czas taka sama. Zanim zaczniemy uczy si, jak w prosty sposób zamieni liczb z jednego systemu na drugi, postawmy sobie pytanie: Po co komputerowi taki system? No wic, jak zapewne wszyscy wiedz, komputer skBada si z cz[ci elektronicznych. Wymiana informacji polega na odpowiednim przesyBaniem sygnaBów. Podstaw elektroniki jest prd elektryczny, który w ukBadach elektronicznych albo pBynie albo nie. Zatem, aby Batwiej byBo komputerowi rozpoznawa sygnaBy, interpretuje on pByncy prd jako "1" (jeden), a jego brak jako "0" (zero). Nie trudno si domy[li, \e komputer operujc odpowiednim ustawieniem, kiedy ma pBync prd, a kiedy nie ustawia ró\ne warto[ci zer i jedynek. Procesor konwertuje je na liczby i w ten sposób powstaj czytelne dla nas obrazy, teksty, dzwik itd. Mam nadziej, \e w ten "chBopski" sposób wyja[niBem wam mniej wicej jak to si odbywa. Nie tylko w postaci sygnaBów elektrycznych reprezentowane mog by zera lub jedynki. Równie\ na wszelkich no[nikach, np. pByta CD, na której nagrywarka wypala malutkie wgBbienia. WBa[nie te wgBbienia s jedynkami, a "równiny" zerami (albo i odwrotnie). Zatem podsumujmy: komputer zna tylko zera i jedynki. Bity przyjmuj tylko jedn z tych dwóch warto[ci. Osiem bitów to jeden bajt. Ustawienie o[miu bitów decyduje o numerze, który mo\e przyj maksymalnie 256. Numer decyduje o znaku, jaki komputer ma wykorzysta. Konwersja liczby dwójkowej (binarnej) na dziesitn Skoro ju\ wiesz, po co nam system binarny, dowiesz si jak przelicza go na nasz system dziesitny. Otó\ nie jest to zbyt skomplikowane. Przypomnijcie sobie sposób z liczbami w systemie ósemkowym. Tu oczywi[cie robimy to analogicznie tak samo, z tym, \e podstaw jest naturalnie liczba 2. Wezmy sobie zatem jak[ liczb zapisan w systemie dwójkowym, np. 1000011. Jak ju\ wcze[niej mówili[my, zaczynamy od cyfr najsBabszych, czyli wysunitych najbardziej na prawo. Najbardziej na prawo wysunita jest cyfra 1, a wic tak jak poprzednio mno\ymy j przez podstaw systemu z odpowiedni potg. Podstaw systemu jest 2. Zatem, caBa konwersja ma posta: 1*20 + 1*21 + 0*22 + 0*23 +0*24 + 0*25 +1*26, a to si równa: 1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 64, czyli jest to 67 w systemie dziesitnym. Moje gratulacj - udaBo si skonwertowa liczb w zapisie dwójkowym na zapis dziesitny. Konwersja liczby dziesitnej na dwójkow (binarn) Teraz, skoro ju\ umiesz konwertowa liczby z zapisu dwójkowego na dziesitny warto by byBo skonwertowa je odwrotnie, to znaczy z zapisu dziesitnego na dwójkowy. Gdyby[my liczyli na piechot, by[my musieli sprawdza kolejne wielokrotno[ci liczby 2. Sposób ten raczej jest maBo stosowany, zajmijmy si troch lepszym. Jest to prosty sposób, wcale nie wymaga my[lenia. Najpierw bierzemy liczb, jak chcemy skonwertowa na zapis dwójkowy. Wezmy liczb z poprzedniego rozdziaBu i sprawdzmy, czy nam si to zgadza. Zatem, liczba któr bdziemy konwertowa to 67. Sposób jest nastpujcy: liczb dzielimy przez 2 i je\eli wynik bdzie z reszt: zapisujemy 1, je\eli nie - zapisujemy 0. Nastpnie znowu dzielimy przez 2 to co zostaBo z liczby, ale bez reszty. Taki proces trwa, a\ zostanie 0 (zero). Otrzymane zera i jedynki zapisujemy w odwrotnej kolejno[ci. Wyja[ni si to wszystko na konkretnym przykBadzie. Zatem do dzieBa: Co daje 1000011. Jak widzimy, wynik zgadza si. Wida równie\, \e zawsze na samym koDcu po podzieleniu bdzie 0, zatem ostatnia liczba jest równa 1. Jeden podzieli na dwa zawsze wyjdzie 0,5 zatem wynik z reszt. Co za tym idzie - pierwsza cyfra w zapisie dwójkowym jest ZAWSZE RÓWNA 1. Nie tylko matematycznie mo\na to udowodni. W elektronice, równie\ musi by taka posta rzeczy. Przyjli[my bowiem, \e dla komputera brak przepBywu prdu oznacza "0", natomiast przepByw prdu - "1". SygnaB zatem nie mo\e zaczyna si od "0", gdy\ jest to brak sygnaBu. Procesor nie wie, czy sygnaB ju\ si zaczB, czy jeszcze nie. Pocztek musi by "1" (jest sygnaB). System szesnastkowy czyli heksadecymalny Póki co znasz ju\ 3 systemy liczbowe: dziesitny, ósemkowy i dwójkowy. Wszystkie one dziaBaj analogicznie tak samo, zmienia si tylko podstawa, czyli ilo[ cyfr. Teraz zajmiemy si nieco systemem szesnastkowym inaczej zwanym heksadecymalnym. Jest on do[ szeroko stosowany w dzisiejszej informatyce, zatem nale\aBo by go rozumie. Jak si zapewne domy[lasz, podstaw tego systemu jest 16. Musi istnie wic szesna[cie cyfr. Pierwsze dziesi ju\ znasz. S nimi odpowiednio: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 oraz 9. W naszym systemie, kolejn liczb jest 10, natomiast w systemie szesnastkowym jest ono reprezentowane przez A. Kolejne liczby to: 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F. Zatem, np. liczby w systemie dziesitnym: 2, 6, 9, 11, 14, w systemie szesnastkowym wygldaj odpowiednio: 2, 6, 9, B, E. Wida od razu, \e du\e liczby zajmuj w systemie szesnastkowym maBo miejsca. Dlatego wBa[nie jest on tak przydatny. Konwersja liczby szesnastkowej na dziesitn Konwersja ta odbywa si podobnie jak w przypadku liczb binarnych, z tym, \e podstaw jest nie 2 a 16. Wezmy dowolnie wymy[lon liczb w zapisie szesnastkowym, na przykBad AB12 (co czytamy: a b jeden dwa). Bierzemy cyfr wysunit najbardziej w prawo i postpujemy tak samo jak w przypadku liczb dwójkowych, ale zamiast mno\nika 2 mamy 16. Zatem jest to: 2*160 + 1*161 + 11*162 + 10*163 , a wic jest to 2 + 16 + 2816 + 40960, a wic jest to liczba 43794 w zapisie dziesitnym. Konwersja liczby dziesitnej na szesnastkowy No to warto by byBo teraz z powrotem odwróci liczb 43794 w zapisie dziesitnym na AB12 w szesnastkowym. Je\eli wiemy jak to si robi - nie ma problemu. Zatem zaczynajmy. Najpierw musimy sobie napisa jakie s kolejne wielokrotno[ci liczby 16. A s to: 1, 16, 256, 4096, 65536 itd. Jak wida nasza liczba w systemie dziesitnym, czyli 43794 jest midzy liczb 4096, a 65536. Bierzemy pod uwag liczb mniejsz od naszej, czyli 4096. Jest ona czwart wielokrotno[ci, wic nasza liczba w systemie szesnastkowym bdzie miaBa 4 cyfry (na razie wszystko si zgadza). Teraz sprawdzam, ile razy liczba 4096 mie[ci si w naszej liczbie konwertowanej, czyli 43794. Okazuje si, \e mie[ci si 10 razy. 10 w systemie szesnastkowym to A, zatem pierwsza cyfra to A. Jak wida, w dalszym cigu wszystko si zgadza. Teraz, skoro liczba 4096 zmie[ciBa si dziesi razy w 43794, to jeszcze zapewne zostaBa jaka[ reszta. Obliczamy sobie t reszt. Mno\ymy zatem 4096*10 co daje 40960. Teraz odejmujemy wynik od naszej liczby i obliczamy reszt. Zatem 43794 - 40960 = 2834. To jest nasza reszta. Nastpnie z reszt postpujemy tak samo, jak na pocztku konwersji. Ju\ na oko wida, \e w nastpnym kroku sprawdzamy ile razy 256 mie[ci si w 2834. Mie[ci si 11 razy, zatem kolejna cyfra szukanego zapisu to B. Nastpnie znowu: obliczamy reszt, itd. KoDcowy wynik powinien wynosi AB12. Tak oto skonwertowali[my liczb z zapisu dziesitnego na szesnastkowy. Konwersja liczby dwójkowej na szesnastkowy I wydawa si mo\e, \e wkraczamy w coraz to bardziej zaawansowane progi ale od razu mówi, \e nie. Konwersja ta jest bardzo prosta i wcale nie wymaga skomplikowanych obliczeD. Najpierw zróbmy maB sztuczk. Zobaczcie, jaka jest maksymalna liczba w zapisie dwójkowym skBadajca si z 4 bitów. Je\eli liczba ma by maksymalna, wszystkie jej cyfry musz mie maksymalne warto[ci. Ma ona zatem posta: 1111. Po przeliczeniu, otrzymamy 15 w zapisie dziesitnym. Jak pewnie zauwa\yli[cie, 15 jest to maksymalna cyfra w zapisie szesnastkowym, czyli F. Daje to troch do my[lenia, ale najwa\niejszy jest jeden fakt: ka\da liczba skBadajca si z czterech cyfr w zapisie dwójkowym da si zapisa jako jedna cyfra w zapisie szesnastkowym. Mo\e to zabrzmiaBo groznie, ale niedBugo powinno si wytBumaczy. Zatem, kolejne liczby w zapisie dwójkowym i szesnastkowym to: Wezmy dla przykBadu wcze[niej ju\ wspomnian liczb 67 w systemie dziesitnym. PrzeksztaBcili[my j na 1000011 w zapisie dwójkowym. Jak teraz z tego otrzyma zapis szesnastkowy? Otó\ bardzo prosto. Dzielimy kod binarny na czterocyfrowe grupy od prawej strony zaczynajc. Je\eli z lewej strony nie bdzie czterech cyfr - dopisujemy z przodu zera. Zatem, otrzymamy dwie grupy. S to: 0100 oraz 0011. Teraz wystarczy zamieni je na odpowiednie cyfry z zapisu szesnastkowego (mo\na si posBu\y powy\sz tabel). W efekcie otrzymamy: 43 w zapisie szesnastkowym. Warto by byBo jeszcze sprawdzi czy wynik si zgadza konwertujc zapis szesnastkowy na dziesitny. Zatem jest to: 3*160 + 4*161, czyli 3 + 64, czyli 67 w zapisie dziesitnym. Jak widzimy, wszystko si zgadza. Konwersja liczby szesnastkowej na dwójkow A wykonuje j si odwrotnie jak dwójkow na szesnastkow. Po prostu kolejne cyfry w zapisie szesnastkowym zapisujesz jako cztery cyfry w zapisie dwójkowym. Pamitaj, \e ka\da cyfra w zapisie szesnastkowym odpowiada jako 4 cyfry w zapisie dwójkowym (nie wicej i nie mniej). Ewentualnie mo\esz pozby si zer znajdujcych si na najbardziej w lewo wysunitej pozycji, a\ znajdziesz tam jedynk, gdy\ mówili[my o tym, \e kod binarny zawsze zaczyna si od 1 (np. je[li wyjdzie 0001100101110 to mo\esz to zapisa jako 1100101110 pozbywajc si zer z pocztku).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
01 06 Systemy liczbowe
Systemy liczbowe i kodowanie
2004 charakterystyka systemow liczbowych
Przeliczanie systemów liczbowych
systemy liczbowe
systemy liczbowe
systemy liczbowe zadania
Systemy liczbowe przeliczanie
systemy liczbowe
Systemy liczbowe1
Systemy Liczbowe
Cwiczenie 2 Systemy liczbowe ZM U1 U2 150319
Systemy liczbowe
wylaczenie aktualizacji systemu XP
EV (Electric Vehicle) and Hybrid Drive Systems

więcej podobnych podstron