Przeliczanie systemów liczbowych...
Przeliczanie systemów liczbowych, to cenna umiejętność, którą powinien posiadać średnio
zaawansowany użytkownik komputera. Przedstawię jakie są systemy zapisywania liczb, czym się
charakteryzują oraz jak je przeliczać w prosty sposób.
Systemy liczbowe:
" - dziesiętny np. 102
" - ósemkówy np. 256
" - heksadecymalny ( szestnastkowy ) np. 3B
" - binarny ( dwójkowy ) np. 101001
Te cztery systemy liczbowe możemy swobodnie między sobą przeliczać. Na co dzień w
matematyce posługujemy się systemem dziesiętnym. Natomiast  ulubionym systemem komputera
jest system binarny. Bierzmy się do roboty !
Przykład 1.
Na początek prosty przykład. Liczba w systemie dziesiętnym ( 50 ) ma odpowiednik w systemie
binarnym ( 110010 ). Jak to obliczyłem ? W bardzo prosty sposób, są dwie metody.
Metoda pierwsza :
Dzielimy liczbę 50 przez 2. Wynikiem będzie 25, reszty 0. Następnie dzielimy 25:2, reszty 1.
Odejmujemy resztę od wyniku, czyli 25-4 = 24 i ponownie wykonujemy operację dzielenia przez
dwa. 24:2 to 12, reszty 0, 12:2 to 6, reszty 0, 6:2 to 3, reszty 0, 3:2, reszta 1, dalej 1.
To dość skomplikowane, jeżeli ktoś pierwszy raz widzi taki obliczenia, ale na kartce można to
rozwiązać metodą, która będzie bardziej zrozumiała, spróbuję to tak prowizorycznie narysować.
Liczby Reszta
50:2 | 0
25:2 | 1
12:2 | 0
6:2 | 0
3:2 | 1
1 | 1
Naszym zapisem liczby w systemie binarnym będzie reszta przepisywana od dołu : 110010
Przykład drugi :
Liczby Reszta
127:2 | 1
63:2 | 1
31:2 | 1
15:2 | 1
7:2 | 1
3:2 | 1
1 | 1
Odpowiednikiem liczby 127 (w systemie dziesiętnym) w systemie binarnym jest liczba : 1111111
Druga metoda :
Rozpisujemy sobie kolejne potęgi liczby dwa. Kończąc na 2^0.
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
1
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
(górna granica potęg nie jest skończona, rozpisujemy tak dużo ile nam potrzeba).
Załóżmy, że chcemy zamienić liczbę 127, na system binarny. Robimy to w ten sposób.
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
Skąd to wiem? Liczbę 127 muszę tak rozpisać pod potęgami, by ich suma dala nam początkową
liczbę, w naszym przypadku 127.
Sprawdz
my, 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127.
Sprawdz
my tą metodę na drugim przykładzie, zamieńmy liczbę 215 :
2^10 2^9 2^8 2^7 2^6 2^5 2^4 2^3 2^2 2^1 2^0
1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1
Sprawdz
my : 128 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1 = 215.
Technikę zamieniania liczb dziesiętnych na binarne mamy opanowane, ale co jeśli mamy liczbę
podaną w systmie dwójkowym ? Jak ją zamienić na system dziesiętny ? Już tłumaczę.
Załóżmy, że mamy zamienić liczbę 1010010 na system dziesiętny. Spróbujmy sobie wyobraz
ić
tabelkę z potęgami dwójek z w/w przykładów. Mam nadzieję, że to wyjaśni się na pierwszym
przykładzie.
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
1 0 1 0 0 1 0
Ważne jest by zacząć podporządkowywanie od prawej strony, zaczynami od dwójki z indeksem
zerowym. W miejsach gdzie jest jedynka, obliczamy potęgi, a następnie je do siebię dodajemy.
2^6 to 64, 2^4 to 16, 2^1 to 2
Obliczenie : 64 + 16 + 2 =82
Liczbie 1010010 w systemie binarnym, odpowiada liczba 82 w systemie dziesiętnym.
Kolejny przykład:
Zamieniamy liczbę 11000111 na system dziesiętny.
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 1
1 1 0 0 0 1 1 1
dodajemy, 128 + 64 + 4 + 2 + 1 = 199
Liczbie 11000111 w systemie binarnym, odpowiada liczba 199 w systemie dziesiętnym.
Zajmijmy się teraz systemem ósemkowym i szestnastkowym.
Dwóch poprzednich systemów liczbowych nie objaśniałem bo wydaje mi się, że przeciętny
użytkownik komputera ma pojęcie o binarnym i dziesiętnym systemie liczbowym.
System ósemkowy - jak nazwa wskazuję, w tym systemie jest osiem cyfr, są to : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Obecnie ten system wychodzi z użytku.
System szestnastkowy - w tym systemie jest szesnaście cyfr, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,
F. Litera A odpowiada liczbie 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15. System ten jest powszechnie
używany w informatyce.
Do przeliczania tych systemów bardzo przydatna będzie tabelka :
Więc do dzieła ! Zamieńmy liczbę 010101110 na liczbę w systemie ósemkowym.
Pierwszym krokiem będzie podzielenie 010101110 po trzy cyfry, zaczynając od prawej strony,
2
będzie to wyglądało tak :
010 | 101 | 110
Patrzymy na naszą tabelkę, zawężając wyszukiwania do 7 rzędu (111) i obcinając pierwsze cyfry.
Rozjaśni się to na przykładzie.
010 to trzeci rząd, czyli jeżeli zaczynamy liczyć od indeksu 0, będzie to 2
101 to szósty rząd, czyli jeżeli zaczynamy liczyć od indeksu 0, będzie to 5
110 to siódmy rząd, czyli jeżeli zaczynamy liczyć od indeksu 0, będzie to 6
Liczbie 010101110 odpowiada liczba 256 w systemie ósemkowym.
Przykład drugi :
Zamieńmy liczbę 101111011 na system ósemkowy.
101 | 111 | 011
101 - 5
111 - 7
011 - 3
Liczbie 101111011 odpowiada liczba 573 w systemie ósemkowym.
Podsumowanie, dzielimy liczbę po trzy cyfry (od prawej strony), odczytujemy wartość z tabelki,
spisujemy wynik.
Zamieńmy teraz liczbe w systemie ósemkowym, na liczbę w systemie dziesiętnym. Wez
my
przykładową liczbę 265. Sposób jest niemalże identyczny jak przy zamianie liczb w systemie
binarnym na dziesiętne, z tym wyjątkiem, że podstawą potęgi nie będzie dwójka, a ósemka.
265 - 5 * 80 + 6* 81+2*82= 5 + 42 + 128 = 177
Liczbie 265 odpowiada liczba 177 w systemie dziesiętnym
Ten sposób był prosty, więc idz
my dalej.
Jak zamienić liczbę w systemie dziesiętnym na liczbę w ósemkowym ? Na pewno pierwszym
krokiem będzie zamienienie, tej liczby na postać binarną. Kolejnie dzielimy po trzy cyfry, od
prawej strony, patrzymy w tabelke i spisujemy wynik. Wszystko zostalo wyżej opisane, należy to
tylko połączyć. Jeżeli uważnie czytasz, nie będziesz miał z tym problemu.
System ósemkowy na binarny ? Hmmmm. To prostsze niż myślicie.
Przykład :
726 (system ósemkowy) -> 111010110, jak to zamieniłem ?
Brałem kolejno cyfry i porównywałem w tabelce.
6 - 110
2 - 010
7 - 111
Podsumowanie
Każdy musi sobie zdawać sprawę, że nie łatwo jest wytłumaczyć komuś matematykę/informatykę,
szczególnie siedząc po dwóch stronach monitora. Mam nadzieje, że objaśniłem to w miarę łatwo i
zrozumiale. Przeliczanie systemu szestnastkowego będzie w kolejnej części artykułu. Jeżeli masz
problem z przeliczeniem jakiejś liczby na inny system, użyj kalkulatora, w systemie Linux
(dystrybucja obojętna), taki kalkulator ma możliwość przeliczania liczb pomiędzy systemami :
binarnym, dziesiętnym, ósemkowym i szestnastkowym, ale z tego co pamiętam, kalkulator pod
Windowsem, z tego co pamiętam ma mozliwość przeliczania liczb binarnym i dziesiętnych
(przepraszam jak sie pomyliłem). W razie problemów można przecież sciągnąć jeden z miliona
programów, służących do przeliczania systemów liczbowych.
Dziękuję za uwagę.
3