Funkcje nieliniowe.
Przykłady
Witold Jurek
Przyrost
Niech będzie dana ciągła i różniczkowalna funkcja y=f(x)
Przyrost zmiennej y dla:
dy
nieskończenie małego przyrostu zmiennej x:
dx
skończonego przyrostu zmiennej x: D�y
D�x
Jeżeli x oznacza czas, to w pierwszym przypadku mówimy o
przyroście chwilowym, a w drugim  o okresowym
W zastosowaniach często "x = 1 i dlatego przyrost zmiennej
y, dla skończonego przyrostu zmiennej x wynosi "y
W.J. Charakterystyki funkcji 2
Stopa wzrostu
Zmienna x oznacza czas. Obie stopy (chwilowa, okresowa)
wyrażają stopę wzrostu zmiennej y w czasie
dy
y
Stopa wzrostu chwilowa:
S =� : y
dx
D�y
y
Stopa wzrostu okresowa: S =� : y
D�x
W zastosowaniach często "x = 1 i wówczas okresowa stopa
D�y
y
wzrostu: S =�
y
W.J. Charakterystyki funkcji 3
1
Elastyczność
Dana jest funkcja: w(t) =� f (z(t))
Obie zmienne w, z są funkcjami np. czasu.
Elastycznością zmiennej w względem zmiennej z jest
nazywane wyrażenie:
w z
Ew,z =� S : S
w
w którym S , S z to stopy wzrostu, odpowiednio,
zmiennej w, zmiennej z
W.J. Charakterystyki funkcji 4
Parametry funkcji liniowej
Prosta, funkcja liniowa: y = ax + b
Współczynnik kierunkowy a: przyrost zmiennej y
odpowiadający nieskończenie małemu albo jednostkowemu
przyrostowi zmiennej x
Wyraz wolny b: wartość zmiennej y dla zerowej wartości
zmiennej x. (Współrzędna punktu przecięcia prostej z osią
rzędnych dla x = 0)
W.J. Charakterystyki funkcji 5
Parametry funkcji wykładniczej
Funkcja wykładnicza: albo
y =� aeb�x y =� abx
Parametr b�: stopa wzrostu funkcji (zmiennej y)
Parametr b: wskaz
nik wzrostu (zmiennej y)
Parametr a: wartość zmiennej y dla zerowej wartości
zmiennej x.
Zależność między b� oraz b: 5�R�5�ż� = 5�O� albo b� = ln b
Jeżeli stopa b� jest liczbą małą (w praktyce b� < 0,05), to
1 + b� � b
W.J. Charakterystyki funkcji 6
2
Parametry funkcji potęgowej
Funkcja potęgowa: =� axb
y
Parametr b: elastyczność y względem x.
Parametr a: wartość zmiennej y
dla jednostkowej wartości zmiennej x.
W.J. Charakterystyki funkcji 7
Przykład interpretacji parametrów
Określić typ i podać interpretację parametrów tzw.
dynamicznej funkcji produkcji Cobba - Douglasa
w której: P  produkcja
M  majątek produkcyjny
Z  zatrudnienie
t  czas
Parametry funkcji: 5���0, 5���1, 5���2, 5���3
W.J. Charakterystyki funkcji 8
Funkcja wykładnicza. Przykład
Nakłady inwestycyjne w gospodarce narodowej pewnego
kraju w kolejnych 6 latach wynosiły
lata 1 2 3 4 5 6
inwestycje 227,7 244,8 302,6 378,3 463,7 529,6
MNK oszacować średnią stopę wzrostu nakładów
inwestycyjnych w tym okresie
W.J. Charakterystyki funkcji 9
3
Funkcja wykładnicza. Przykład
Funkcja wykładnicza poddana oszacowaniu
Funkcja po uliniowieniu
Wartości zmiennej czasowej:
x = -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5
W.J. Charakterystyki funkcji 10
Funkcja wykładnicza. Przykład
Oszacowanie
Istotność
df SS MS F F
Regresja 1 0,577875 0,577875 275,1545 7,74E-05
Resztkowy 4 0,008401 0,0021
Razem 5 0,586276
Błąd
Współcz Wartość- Dolne Górne
standard t Stat
ynniki p 95% 95%
owy
Przecięcie 5,831322 0,018709 311,6836 6,36E-10 5,779377 5,883266
Zmienna X 1 0,181718 0,010955 16,58778 7,74E-05 0,151302 0,212134
W.J. Charakterystyki funkcji 11
Funkcja wykładnicza. Przykład
Dopasowanie funkcji uliniowionej do danych
Statystyki regresji
Wielokrotność R 0,99281
R kwadrat 0,98567
Dopasowany R kwadrat 0,98209
Błąd standardowy 0,04583
Obserwacje 6
Oszacowanie funkcji wykładniczej
W.J. Charakterystyki funkcji 12
4
Funkcja wykładnicza. Przykład
Inna postać funkcji wykładniczej
Funkcja wykładnicza, po uliniowieniu
Oszacowanie parametrów funkcji wykładniczej
oszacowanie wyrazu wolnego to samo, co wcześniej
oszacowanie stopy wzrostu: 0,1817
Funkcja uliniowiona:
Oszacowana funkcja wykładnicza:
5�f� = 340,8 � 5�R�0,18175�e�
W.J. Charakterystyki funkcji 13
Funkcja potęgowa. Przykład
W tabeli podano wyposażenie gospodarstw domowych w
motocykle, skutery i motorowery (w szt. na 100 gospodarstw)
oraz przeciętny miesięczny dochód na osobę (w tys. zł) w 7
grupach dochodowych.
Przychód 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0
Wyposażenie 14,79 16,6 16,22 15,85 13,49 11,75 9,55
Oszacować funkcję wyrażającą potęgową hipotezę o
zależności wyposażenia gospodarstw domowych w
motocykle, skutery i motorowery od dochodu na osobę.
W.J. Charakterystyki funkcji 14
Funkcja potęgowa. Przykład
Funkcja potęgowa
Funkcja potęgowa po uliniowieniu
W.J. Charakterystyki funkcji 15
5
Funkcja potęgowa. Przykład
Oszacowanie funkcji uliniowionej
df SS MS F Istotność F
Regresja 1 0,16466 0,16466 10,10876 0,02455
Resztkowy 5 0,08145 0,01629
Razem 6 0,24611
Błąd
Współczynniki standard t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95%
owy
Przecięcie 2,99950 0,12728 23,56637 0,00000 2,67232 3,32668
Zmienna X 1 -0,33178 0,10435 -3,17943 0,02455 -0,60002 -0,06353
W.J. Charakterystyki funkcji 16
Funkcja potęgowa. Przykład
Dopasowanie
Statystyki regresji
Wielokrotność R 0,81796
R kwadrat 0,66907
Dopasowany R kwadrat 0,60288
Błąd standardowy 0,12763
Obserwacje 7
Oszacowanie modelu oryginalnego
- oszacowanie wyrazu wolnego:
- oszacowanie współczynnika kierunkowego (elastyczności) jak
w modelu uliniowionym
W.J. Charakterystyki funkcji 17
Różniczkowanie iloczynu
Przypomnienie
Funkcja
5���1 5���2
5�b�
w której: = 5���05�@�5�a� 5�c� = 5�M�5�a� 5�d� = 5�R�5���35�a�
traktowana jest jako iloczyn:
y = u � v � w
Pochodna iloczynu
y = u � v � w + u � v � w + u � v � w
W.J. Charakterystyki funkcji 18
6
Uliniowienie funkcji produkcji
Cobba - Douglasa
Funkcja produkcji
Pochodna
W.J. Charakterystyki funkcji 19
Uliniowienie funkcji produkcji
Cobba - Douglasa
Stopy wzrostu
Model (liniowy) poddany oszacowaniu
W.J. Charakterystyki funkcji 20
Przykład.
Oszacowanie funkcji Cobba - Douglasa
W 9 kolejnych miesiącach stopa wzrostu nakładów pracy (Z),
majątku produkcyjnego (M) oraz produkcji pewnych
przedsiębiorstw (P) wynosiły
Miesiące 1 2 3 4 5 6 7 8 9
M 1 2 3 0 3 2 1 1 1
Z 2 2 1 1 2 1 0 1 2
P 2,2 2,05 1,8 0,85 2,4 1,05 0,3 1,2 1,7
MNK wyznaczyć parametry funkcji produkcji Cobba-
Douglasa
W.J. Uliniowienie_CD 21
7
Przykład.
Oszacowanie funkcji Cobba - Douglasa
Oszacowanie parametrów funkcji MNK (Excel,
REGLINP)
0,800 0,250 0,050 Oceny
0,111 0,078 0,183 Błędy szacunku
0,928 0,216 #N/D! R2 S
38,649 6 #N/D! F T-K
3,607 0,280 #N/D! RSK SKO
Oszacowanie modelu liniowego (liniowej transformanty)
W.J. Uliniowienie_CD 22
Przykład.
Oszacowanie funkcji Cobba - Douglasa
Oszacowanie funkcji
0,25 0,80
5�C�5�a� = ą05�@�5�a� 5�M�5�a� 5�R�0,055�a�
Uwaga
Na podstawie danych statystycznych w postaci stóp wzrostu
MNK nie zostaje oszacowana stała, ą0
, (wyrażająca
efektywność technologii)
Stałą ą0
należy oszacować na podstawie danych o produkcji
(P), majątku produkcyjnym (M) i nakładach pracy (Z),
po oszacowaniu MNK liniowej transformanty
W.J. Uliniowienie_CD 23
8