x x
1 1
1. Pokazać, że limx" 1 + = e oraz limx-" 1 + = e. Wywnioskować stąd,
x x
1
x
że limx0(1 + x) = e.
2. Na podstawie zad. 1 wyliczyć następujące granice:
1
sin2 x
(a) limx0 ln(1+x) (b) limx0(cos x)
x
x2+2
2x-5
x
(c) limx" x2+3x+2 (d) limx" 3x-1
x2+2 3x+1
n
x
(e) limx0(1 + kx) , k, n " R
3. Sprawdzić, w jakich punktach można uzupełnić do ciągłych następujące funkcje:
1
(a) f : R\{0} R, f(x) = sin
x
a
(b) f = : R\A R, gdzie a(x) = x2 - 8x + 15, b(x) = x2 - 3x - 10, oraz
b
A = b-1({0})
Å„Å‚
ôÅ‚ ax + b, x 0,
òÅ‚
[x]
(c) f(x) = gdzie a, b, c " R.
, x " (0, 5),
x
ôÅ‚
ół
Ä„
c sin(Ä„x + ), x " [5, "),
2
4. Niech f, g " C(R) będą funkcjami jednostajnie ciągłymi. Czy wynika stąd
jednostajna ciągłość funkcji
(a) f + g (b) fg
5. Zbadać, które funkcje są jednostajnie ciągłe:
x
(a) f(x) = ex, x " (0, 1) (b) f(x) = , x " R
|x|+1
1
(c) f(x) = sin , x " R (d) f(x) = sin2 x, x " R
x
6. Zbadać ciągłość następujących funkcji:
"
n
(a) f(x) = limn" 4n + x2n, x " R

x2, x " R\Q
(b) f(x) =
x, x " Q
(c) f(x) = limn" ln(en+xn), x 0
n

"
2(x - [x]), x " Q
(d) f(x) =
Ä„
cos x, x " R\Q
2
(e) sup{(t2 - 1) · sgn(sin(Ä„x)), t " [0, x]}
7. Znależć limsup oraz liminf poniższych funkcji w następującuch punktach:

1
(a) sin w pkt. x0 = 0
x
(x-[x])(5x2+3)
(b) , gdy x "
x2-2
1
(c) funkcji z pkt. (b) z poprzedniego zadania w pkt. x0 = 2
Å„Å‚

1
ôÅ‚
ôÅ‚ x2 1 + 2 + . . . + , x " Q+
òÅ‚
x
(d) f(x) =
sin x - 2, x " Q- w x0 = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
1, x " R\Q
8. Podać przykład takich funkcji f, g : R R, że limxa f(x) = A, limxA g(x) = B,
ale limxA g(f(x)) = B, gdzie a, A, B " R.

9. Znalez
ć limn" [P (x)], gdzie P (x) jest wielomianem o dodatnich współczynnikach.
P ([x])
2