Matematyka
Poziom podstawowy
pkt
6
1. Trójkąt prostokątny ma boki o d"ugoĘciach x, 2 x - 2 i 2 x - 4. Oblicz pole tego trójkąta.
pkt
2. Funkcja f kaÅ»dej liczbie naturalnej x przyporzÄ…dkowuje reszt´ z dzielenia tej liczby przez 5. 3
a) Podaj zbiór wartoĘci funkcji f.
b) Dla x ! "2, 3,4, 5, 6,7, naszkicuj wykres funkcji f .
c) Oblicz f ^14h + 3.
pkt
3. W trójkącie ABC kąt przy wierzcho"ku C jest prosty, a miara kąta przy wierzcho"ku B jest rów-
4
na 60c. Dwusieczna kąta przy wierzcho"ku B przecina bok AC w punkcie D takim, Że CD = 6. Ob-
licz d"ugoĘç przeciwprostokÄ…tnej trójkÄ…ta ABC oraz d"ugoĘç odcinka AD.
pkt
4. W nieskoł
czonym, rosnącym ciągu arytmetycznym an suma trzech pierwszych wyrazów jest rów-
_ i
6
na 3, a suma kwadratów tych wyrazów jest równa 21. Wyznacz wzór na wyraz ogólny ciągu an .
_ i
5. Pierwsze trzy wyrazy nieskoł
czonego, malejącego ciągu geometrycznego _ani spe"niają równanie pkt
5
a1+ a2
a3= . Wyznacz iloraz ciÄ…gu _ani.
20
6. Ksi´Å»yce Hipokratesa wielokÄ…ta wpisanego w okrÄ…g O to figury geometryczne ograniczone "ukami pkt
4
okr´gu O i pó"okr´gami opartymi na bokach wielokÄ…ta, niezawierajÄ…cymi innych punktów wielokÄ…ta
poza koł
cami tego boku, na którym sÄ… oparte. Oblicz sum´ pól ksi´Å»yców Hipokratesa zbudowanych
dla kwadratu o boku, którego d"ugoĘç jest równa 8 cm.
pkt
7. Dany jest kwadrat ABCD, którego bok ma d"ugoĘç równÄ… 10 cm. Punkt S jest Ęrodkiem boku BC.
5
Punkt P naleÅ»y do odcinka AS i DP = AS. Wykonaj rysunek ilustrujÄ…cy sytuacj´ opisanÄ… w zadaniu
i oblicz d"ugoĘç odcinka DP.
pkt
8. Punkty A = _4; -1i, B = _3; 6i, C = _-1; 3i są wierzcho"kami trójkąta ABC. 4
a) Wyznacz równanie prostej zawierajÄ…cej wysokoĘç trójkÄ…ta ABC poprowadzonÄ… z wierzcho"ka A.
b) Wyznacz równanie Ęrodkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzcho"ka B.
Mat emat yka. Pozi om podst awowy
ZADANI A TESTOWE. PRÓBNA MATURA Z OPERONEM I  GAZETŃ WYBORCZŃ %
9. W stoŻku tworząca o d"ugoĘci 16 jest nachylona do podstawy pod kątem, którego tangens jest
pkt
5
3
równy
4. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy tego stoŻka.
10. W pude"ku sÄ… 4 kule czarne i n kul bia"ych. Z tego pude"ka b´dziemy kolejno losowaç 2 kule, za kaÅ»- pkt
5
dym razem wk"adajÄ…c wylosowanÄ… kul´ z powrotem do pude"ka. Oblicz, ile co najmniej powinno byç
4
kul bia"ych, by prawdopodobieł
stwo wylosowania dwóch kul bia"ych by"o nie mniejsze niŻ
9.
pkt
11. Do liczby naturalnej k dopisano na koł
cu 28, otrzymujÄ…c liczb´102 razy wi´kszÄ… od poczÄ…tkowej.
4
a) Wyznacz liczb´ k.
b) SprawdÄ™, czy gdy liczb´ 28 zastÄ…pimy innÄ…, dowolnÄ… dwucyfrowÄ… liczbÄ… naturalnÄ…, to zadanie b´-
dzie mia"o rozwiÄ…zanie.
Z
x - 2 dla x ! 0; 8
]
]
1
12. Dana jest funkcja f _xi = x + 10 dla x ! _8; 10i.
pkt
[-
4
]2x2- 15 dla x ! 10; 11
]
\
a) Naszkicuj wykres funkcji f.
b) Podaj najwi´kszÄ… wartoĘç funkcji f . Uzasadnij swojÄ… odpowiedÄ™.
1
pkt
13. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f _xi = x2 - 2.
4
2
Y
f(x)
5
4
3
2
1
D C
X
 4  3  2  1 1 2 3 4
A B
Oblicz wspó"rz´dne wierzcho"ków i pole prostokÄ…ta ABCD.
14. Liczby 10,14, 18, f sÄ… kolejnymi poczÄ…tkowymi wyrazami ciÄ…gu arytmetycznego an . pkt
_ i
7
a) Wyznacz wzór na wyraz ogólny ciągu an .
_ i
b) Oblicz dwudziesty wyraz ciÄ…gu an .
_ i
c) Wyznacz najmniejszÄ… liczb´ n, dla której suma n poczÄ…tkowych wyrazów ciÄ…gu an Sn jest wi´ksza
_ i
od 250.
15. D"ugoĘci boków dzia"ki w kszta"cie trójkąta prostokątnego są kolejnymi wyrazami ciągu arytme-
pkt
5
tycznego o róŻnicy 30 m. W"aĘciciel dzia"ki zamierza obsadziç jej brzeg Å»ywop"otem. ZaczynajÄ…c
od wierzcho"ka kÄ…ta prostego, co pó" metra b´dzie sadzi" po jednej sadzonce Å»ywop"otu. Oblicz, ile
sadzonek potrzeba do obsadzenia brzegu ca"ej dzia"ki.
16. Bok rombu ma d"ugoĘç równÄ… 5, a suma d"ugoĘci jego przekÄ…tnych jest równa14. Oblicz d"ugoĘç
pkt
6
wysokoĘci tego rombu.
Mat emat yka. Pozi om podst awowy
ZADANI A TESTOWE. PRÓBNA MATURA Z OPERONEM I  GAZETŃ WYBORCZŃ %
17. Punkty A = _2; -4i, B = _1; 3i i C = _-1; 2i są wierzcho"kami trójkąta. pkt
4
a) Uzasadnij, Że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym.
b) Oblicz pole trójkąta ABC.
18. Ze zbioru Z = #1,2, 3, 4, 5, 6, 7- b´dziesz losowaç jednoczeĘnie trzy liczby. Zapisz symbolicznie
pkt
4
zbiór wszystkich wyników tego doĘwiadczenia. Oblicz prawdopodobieł
stwo zdarzenia, Że suma wy-
losowanych liczb b´dzie parzysta.
19. Dany jest ostros"up prawid"owy czworokÄ…tny ABCDS o podstawie ABCD i wierzcho"ku S. Pole
pkt
6
trójkąta ABS wynosi 6, a cosinus kąta nachylenia Ęciany bocznej ostros"upa do p"aszczyzny podstawy
3
tego ostros"upa jest równy
4. Oblicz obj´toĘç ostros"upa ABCDS.
4
3
5 $ 25-1 3 6 $ 36
20. Porównaj liczby x i y, jeĘli x = i y = . pkt
2 4
100
3
125
21. Do ciasta na biszkopt potrzeba 12 jajek, 4 szklanki mÄ…ki i 3 szklanki cukru. Zamierzamy upiec mniej-
pkt
4
szy biszkopt z uÅ»yciem 5 jajek. Ile musimy zuÅ»yç mÄ…ki i cukru?
22. Zabudowania zajmujÄ… 16% terenu zamkni´tego naleŻącego do pewnej firmy. ¸Ä…czna powierzch-
pkt
5
nia tych zabudował
wynosi 800m2. Jaka "ączna powierzchnia naleŻy do tej firmy? Jaki procent te-
renu niezabudowanego stanowi teren zabudowany? Wynik podaj z dok"adnoĘcią do 001%.
,
23. Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 12. JeĘli na koł
cu tej liczby dopiszemy 0 i 1, to otrzymamy
pkt
5
liczb´ o 7426 wi´kszÄ… od danej. ZnajdÄ™ t´ liczb´.
pkt
24. Dana jest funkcja f _xi = bm2 - 4l x - 6.
4
a) Dla jakich wartoĘci m miejscem zerowym funkcji jest liczba 2?
b) Wyznacz parametr, tak aby wykres funkcji by" równoleg"y do wykresu funkcji f _xi = 12x + 4.
25. Dana jest funkcja f _xi = ax2. Wyznacz parametr a, jeĘli wiadomo, Że do wykresu tej funkcji na-
pkt
4
leÅ»y punkt A = _2; 1i. Dla jakich argumentów wartoĘci tej funkcji sÄ… wi´ksze od wartoĘci funkcji
g_xi = x + 2?
1
26. Drugi wyraz ciÄ…gu geometrycznego wynosi
pkt
5
27, a piÄ…ty 8. Oblicz sum´ poczÄ…tkowych 12 wyrazów.
27. Pał
stwo Malinowscy mają troje dzieci, których suma lat wynosi 19. Lata dzieci tworzą ciąg geom-
pkt
5
etryczny. W jakim wieku są dzieci pał
stwa Malinowskich, jeĘli najm"odsze ma 4 lata?
28. ZnajdÄ™ boki trójkÄ…ta prostokÄ…tnego, wiedzÄ…c, Å»e jeden z kÄ…tów ma miar´ 60c, a promieÅ‚
okr´gu
pkt
5
wpisanego w trójkÄ…t ma d"ugoĘç 4.
29. Oblicz prawdopodobieł
stwo zdarzenia, Że przestawiając w sposób losowy cyfry w licz-
pkt
3
bie 6574302, otrzymamy wielokrotnoĘç liczby 5.
30. W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 10 i przyprostokątnej 8 poprowadzono
pkt
6
wysokoĘç z wierzcho"ka kÄ…ta prostego. Oblicz stosunek odcinków, na które ta wysokoĘç podzieli"a
przeciwprostokÄ…tnÄ….
Mat emat yka. Pozi om podst awowy
ZADANI A TESTOWE. PRÓBNA MATURA Z OPERONEM I  GAZETŃ WYBORCZŃ %
31. Napisz równanie prostej, w której zawiera si´ wysokoĘç trójkÄ…ta ABC poprowadzona z wierz-
pkt
6
cho"ka B oraz równanie symetralnej boku AC, jeĘli A = _-3; 5i, B = _7; 0i, C = _1; -5i.
32. Dane sÄ… wspó"rz´dne trzech wierzcho"ków równoleg"oboku ABCD: A = _0; 2i, B = _4; 6i,
pkt
5
C = _7; -3i. Wyznacz wspó"rz´dne wierzcho"ka D.
33. W partii 50000 Żarówek, 4% to Żarówki uszkodzone. Ile uszkodzonych Żarówek naleŻa"oby usu-
pkt
5
nÄ…ç, aby wĘród pozosta"ych Å»arówek by"o mniej niÅ» 1% Å»arówek uszkodzonych?
34. Wyznacz parametr m, tak aby proste l, k by"y prostopad"e, jeĘli l:_-m + 1i x - y = 8,
pkt
4
k:_3m + 4i x + 2y = 0.
35. Dla jakich wartoĘci parametru m punkt wspólny prostych y = 2x + 4 i y = x - m naleŻy do II
pkt
4
çwiartki uk"adu wspó"rz´dnych.
36. Dany jest ostros"up prawid"owy trójkÄ…tny o kÄ…cie nachylenia kraw´dzi bocznej do podstawy 60c.
pkt
5
WysokoĘç ostros"upa ma d"ugoĘç 10. Oblicz sinus kÄ…ta nachylenia Ęciany bocznej do p"aszczyzny pod-
stawy tego ostros"upa.
37. Przekątne Ęcian bocznych graniastos"upa prawid"owego trójkątnego wychodzące z jednego pkt
4
wierzcho"ka tworzÄ… kÄ…t a. Kraw´dÄ™ podstawy ma d"ugoĘç a. Oblicz sinus kÄ…ta, jaki tworzy przekÄ…tna
Ęciany bocznej z kraw´dziÄ… podstawy graniastos"upa.
22
38. Porównaj liczby x i y, jeĘli: x = 1 - 2 3 + 2 + 3 - ` - 2 3 3 + 2 - 9, pkt
3 3
` j ` j j` j
5
1
y = 11 - 4 $ 6 +
2.
2
-
3 2 1 3
0
3
pkt
39. Jakim procentem liczby 452 jest liczba x, jeĘli x =252 -64 +0,0081- 4 -c27m +3- 2 +_3, 2i ?
5
8
40. Dana jest funkcja f(x) = _2m - 1i x - 6.
pkt
4
a) Dla jakich wartoĘci m do wykresu funkcji naleŻy punkt A = _-4, 1i?
b) Wyznacz tak parametr, aby wykres funkcji by" prostopad"y do wykresu funkcji f (x) =-3x + 4.
Mat emat yka. Pozi om podst awowy