Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
Vm3 := 50 Kub := 24 xzew := .00273 ro := 1.2 E := .277
Vkg
Vkg := Vm3Å"ro n :=
roÅ"Kub
d
roÅ"Kub x(t) = VkgÅ"xzew - VkgÅ"x(t) + E
dt
24
"t := 0.25 k := 0..
"t
Vm3 := 75
0.015
20 0.014
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
25 0.012
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
30 0.011
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚0.007998 ÷Å‚
0.01
45
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
48 0.00754
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
xpomiark
Vpom := xpom :=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
50 0.00766
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚0.007113 ÷Å‚
55
0.005
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
75
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚0.005731 ÷Å‚
ìÅ‚100 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0.00487
ìÅ‚120 ÷Å‚ ìÅ‚0.004315 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0
0 10 20
kÅ""t
0.015
0.01
xpom
0.005
0
20 40 60 80 100 120
Vpom
dr inż. Maciej Mijakowski 1/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
b0 := 1 b1 := 1
xest := b0 + b1Å"Vpom
2
Å‚Å‚
err :=
(xpom - xesti)
"îÅ‚ i
ðÅ‚ ûÅ‚
i
4
err = 4.294 × 10
2
errfun(b0, b1) := - + b1Å"Vpomi
Å‚Å‚
(b0 )ûÅ‚ Å‚Å‚
"îÅ‚îÅ‚xpomi
ðÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚
i
bo := 1 b1 := -1
Given
0.013
ëÅ‚ öÅ‚
wsp := Minimize(errfun, b0, b1) wsp =
ìÅ‚ ÷Å‚
- 5
íÅ‚-8.697 × 10 Å‚Å‚
b0_1 := wsp0
b1_1 := wsp1
0.015
0.01
xpom
b0_1+b1_1Å"Vpom
0.005
0
20 40 60 80 100 120
Vpom
B = (XT * X)-1 * XT * Y
dr inż. Maciej Mijakowski 2/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
m := 0.. 9
T
Vpom_m0, m := 1 Vpom_m1, m := Vpomm Vpom_m := Vpom_m
- 1 0.013
ëÅ‚ öÅ‚
T T
( )
B := Vpom_m Å"Vpom_m Å"Vpom_m Å"xpom B =
ìÅ‚ ÷Å‚
- 5
íÅ‚-8.697 × 10 Å‚Å‚
b0_2 := B0
b1_2 := B1
0.015
0.01
xpom
b0_2+b1_2Å"Vpom
0.005
0
20 40 60 80 100 120
Vpom
length(xpom)Å" - îÅ‚
(xpom Å"Vpomi) (Vpom)Å‚Å‚Å"îÅ‚ (xpom )Å‚Å‚
" i " i " i
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
i i i
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
b1_3 :=
2
2
Å‚Å‚
length(xpom)Å" - îÅ‚
(Vpom) (Vpom)Å‚Å‚
"îÅ‚ i " i
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
i i
ðÅ‚ ûÅ‚
- 5
b1_3 = -8.697 × 10
b0_3 := mean(xpom) - b1_3Å"mean(Vpom)
b0_3 = 0.013
dr inż. Maciej Mijakowski 3/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
0.015
0.01
xpom
b0_3+b1_3Å"Vpom
0.005
0
20 40 60 80 100 120
Vpom
b0_4 := intercept(Vpom, xpom)
b0_4 = 0.013
b1_4 := slope(Vpom, xpom)
- 5
b1_4 = -8.697 × 10
0.015
0.01
xpom
b0_4+b1_4Å"Vpom
0.005
0
20 40 60 80 100 120
Vpom
b0 := b0_4
b1 := b1_4
dr inż. Maciej Mijakowski 4/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
2 - 5
MSS := MSS = 7.217 × 10
(b0 + b1Å"Vpomi - mean(xpom))
"
i
MSS
1 max indeks b
MMS :=
1
2 - 5
RSS := - + b1Å"Vpomi RSS = 1.797 × 10
Å‚Å‚
(b0 )ûÅ‚
"îÅ‚xpomi
ðÅ‚
i
RSS
- 6
RMS := RMS = 2.247 × 10
10 - 1 - 1
2 - 5
TSS := TSS = 9.014 × 10 MSS + RSS = 9.014 × 10
(xpom - mean(xpom))
" i
i
TSS
- 5
TMS := TMS = 1.002 × 10
10 - 1
współczynnik R^2
MSS
2
= 0.801 corr(b0 + b1Å"Vpom, xpom) = 0.801
TSS
współczynnik korelacji
(Vpom - mean(Vpom))Å"(xpom - mean(xpom))
" i i
i cvar(xpom, Vpom
= -0.895
stdev(xpom)Å"stdev
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚Å"îÅ‚ Å‚Å‚
(Vpom - mean(Vpom)) (xpom - mean(xpom))
" i " i
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
i i
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
UWAGA na znak
corr(xpom, b0 + b1Å"Vpom) = 0.895
Ä… Ä…
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Ä… := 0.01 tkr := -qt , 10 - 1 - 1 -qt , 10 - 3 - 1 = 3.707
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Rxy
Rxy := corr(xpom, b0 + b1Å"Vpom) stat_t := Å" 10 - 2 stat_t = 5.668
2
1 - Rxy
tkr
Rxy_kr :=
2
10 - 2 + tkr
Rxy_kr = 0.765 Rxy = 0.895
dr inż. Maciej Mijakowski 5/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
0.002
xpom-(b0+b1Å"Vpom)
0
0.002
20 40 60 80 100 120
Vpom
= 0 mean[xpom - (b0 + b1Å"Vpom)] = 0
(b0 + b1Å"Vpomi - xpomi)
"
i
dr inż. Maciej Mijakowski 6/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
b0 := intercept(ln(Vpom) , xpom) b0 = 0.029
- 3
b1 := slope(ln(Vpom) , xpom) b1 = -5.362 × 10
0.015
0.01
xpom
b0+b1Å"ln(Vpom)
0.005
0
20 40 60 80 100 120
Vpom
0.015
0.01
xpom
b0+b1Å"ln(Vpom)
0.005
0
2.5 3 3.5 4 4.5 5
ln(Vpom)
2 - 5
MSS := MSS = 8.654 × 10
(b0 + b1Å"ln(Vpom)i - mean(xpom))
"
i
MSS
1 max indeks b
MMS :=
1
2 - 6
RSS :=
(b0 )
"îÅ‚xpom - + b1Å"ln(Vpom) Å‚Å‚ RSS = 3.604 × 10
dr inż. Maciej Mijakowski 7/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
2 - 6
RSS := - + b1Å"ln(Vpom)i RSS = 3.604 × 10
Å‚Å‚
(b0 )ûÅ‚
"îÅ‚xpomi
ðÅ‚
i
RSS
- 7
RMS := RMS = 4.505 × 10
10 - 1 - 1
2 - 5
TSS := TSS = 9.014 × 10 MSS + RSS = 9.014 × 10
(xpom - mean(xpom))
" i
i
TSS
- 5
TMS := TMS = 1.002 × 10
10 - 1
współczynnik R^2
MSS
2
= 0.96 corr(b0 + b1Å"ln(Vpom) , xpom) = 0.96
TSS
współczynnik korelacji
(ln(Vpom) - mean(ln(Vpom)))Å"(xpom - mean(xpom))
" i i
i
= -0.98
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚Å"îÅ‚ Å‚Å‚
(ln(Vpom) - mean(ln(Vpom))) (xpom - mean(xpom))
" i " i
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
i i
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
UWAGA na znak
corr(xpom, b0 + b1Å"ln(Vpom)) = 0.98
0.001
.10 4
5
xpom-(b0+b1Å"ln(Vpom))
0
.10 4
5
0.001
20 40 60 80 100 120
Vpom
= 0
(b0 + b1Å"ln(Vpom)i - xpomi)
"
i
mean[xpom - (b0 + b1Å"ln(Vpom))] = 0
1
dr inż. Maciej Mijakowski 8/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
1
Vpom_in :=
Vpom
1
- 3
ëÅ‚ öÅ‚
b0 := intercept , xpom b0 = 2.698 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
Vpom
íÅ‚ Å‚Å‚
1
ëÅ‚ öÅ‚
b1 := slope , xpom b1 = 0.234
ìÅ‚ ÷Å‚
Vpom
íÅ‚ Å‚Å‚
0.015
0.01
xpom
1
b0+b1Å"
Vpom
0.005
0
20 40 60 80 100 120
Vpom
0.015
0.01
xpom
1
b0+b1Å"
Vpom
0.005
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
1
Vpom
2
1
- 5
MSS :=
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
"îÅ‚b0 + b1Å"ëÅ‚ öÅ‚ - mean(xpom)Å‚Å‚ MSS = 8.947 × 10
Vpom
íÅ‚ Å‚Å‚i
ðÅ‚ ûÅ‚
i
MSS
dr inż. Maciej Mijakowski 9/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
MSS
1 max indeks b
MMS :=
1
2
1
- 7
îÅ‚b0 ëÅ‚ öÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
RSS := - + b1Å" RSS = 6.767 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
"îÅ‚xpomi
Vpom
íÅ‚ Å‚Å‚iśłśł
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ûÅ‚
i
RSS
- 8
RMS := RMS = 8.458 × 10
10 - 1 - 1
2 - 5
TSS := TSS = 9.014 × 10 MSS + RSS = 9.014 × 10
(xpom - mean(xpom))
" i
i
TSS
- 5
TMS := TMS = 1.002 × 10
10 - 1
współczynnik R^2
2
MSS
ëÅ‚b0 1 öÅ‚
= 0.992 corr + b1Å" , xpom = 0.992
ìÅ‚ ÷Å‚
TSS Vpom
íÅ‚ Å‚Å‚
współczynnik korelacji
1 1
(xpom )
ïÅ‚ìÅ‚ Vpom÷Å‚ ìÅ‚ Vpom÷łśł - mean(xpom)
"îÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ - meanëÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚Å" i
ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚i íÅ‚ Å‚Å‚ûÅ‚
i
= 0.996
2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
2
Å‚Å‚
ïÅ‚
(xpom - mean(xpom))
ïÅ‚ìÅ‚ Vpom÷Å‚ ìÅ‚ Vpom÷łśł śł ïÅ‚
"îÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ - meanëÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚ śłÅ"îÅ‚" i
śł
ïÅ‚
ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚i íÅ‚ Å‚Å‚ûÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ i
i
ðÅ‚ ûÅ‚
1
ëÅ‚xpom, öÅ‚
UWAGA na znak
corr b0 + b1Å" = 0.996
ìÅ‚ ÷Å‚
Vpom
íÅ‚ Å‚Å‚
.10 4
5
ëÅ‚b0+b1Å" 1 öÅ‚
xpom-
ìÅ‚ ÷Å‚
Vpom
íÅ‚ Å‚Å‚
0
.10 4
5
20 40 60 80 100 120
Vpom
1
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚
"îÅ‚b0 + b1Å"ëÅ‚ öÅ‚ - xpomiÅ‚Å‚ = 0 1
îÅ‚xpom îÅ‚b0 ëÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚Å‚Å‚
Vpom
íÅ‚ Å‚Å‚i śł
mean - + b1Å" = 0
ðÅ‚ ûÅ‚ ïÅ‚ ïÅ‚ ìÅ‚ ÷łśłśł
i
Vpom
ðÅ‚ ðÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ûÅ‚ûÅ‚
dr inż. Maciej Mijakowski 10/11
Statystyka - Metody statystyczne w ćw. 5
technice
MMS
3
F := F = 1.058 × 10
RMS
H0 : var(model) < var(reszt) jeśli F > Fkr H0 można odrzucić H0 - regresja nieistotna
Fkr = (Ä… )
Ä… := 0.01 dF , 1, 10 - 1 - 1 = 3.845
3
F = 1.058 × 10
3
Fkr = (Ä… )
Ä… := 0.0000001 dF , 1, 10 - 1 - 1 = 1.223 × 10
dr inż. Maciej Mijakowski 11/11