Analiza Rzeczywista
Literatura
[1] M. Balcerzak, Wykłady z teorii miary, Wydawnictwo PA
, A
ódz
, 2011.
[2] W. Kołodziej, Analiza Matematyczna, WNT, Warszawa, 1979.
[3] A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa, 1986.
[4] R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2001.
[5] F.M. Filipczak, Teoria miary i całki. Skrypt ze zbiorem zadań, Wydawnictwo UA
, A
ódz
, 1997.
[6] P. Halmos, Measure Theory, Van Nostrand, New York, 1950.
[7] V. Bogachev, Measure Theory, Vol. 1, Springer, Berlin, 2007.
[8] S. A
ojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa, 1976.
Krótki opis literatury
[1] Podstawowy podręcznik (skrypt) zawierający materiał zbieżny z treścią wykładu.
[2]  [4] Współczesne podręczniki z Analizy matematycznej zawierające wprowadzenie do teorii miary i
całki Lebesgue a. Zarówno wykład jak i skrypt [1] opierają się na ujęciu tematu z tych
podręczników.
[5]  [7] Podręczniki z teorii miary i całki wykraczające (znacznie) poza materiał wykładu. W wielu
miejscach prezentowane jest w nich podejście do niektórych zagadnień inne niż będzie na
wykładzie. Podręczniki te zawierają dużą ilość zadań różnej trudności. Podręcznik [7] jest trudny.
[8] Podręcznik z Funkcji rzeczywistych zawierający materiał omawiany na wykładzie i tematy z nim
powiązane. Książka napisana zwięz
le i przez to dość trudna do czytania.
Program wykładu
Miara na sigma-ciele, przykłady i własności.
Miara zewnętrzna, twierdzenie Caratheodory'ego.
Konstrukcja miary Lebesgue'a w przestrzeni euklidesowej.
Własności miary Lebesgue'a. Zbiory niemierzalne
Funkcje mierzalne i ich własności.
Całka Lebesgue'a funkcji mierzalnej.
Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki. Zbieżność według miary i prawie wszędzie.
Związek całki Lebesgue a z całką Riemanna.
Miara i całka na produkcie kartezjańskim. Twierdzenie Fubiniego.
Dyfeomorfizmy. Zamiana zmiennych w całce Lebesgue a.