MECHANIKA
Spis treści
I. Działanie wagi belkowej..........................................................................................................1
II. Wyznaczanie gęstości ciał......................................................................................................3
III. Siła Coriolisa.........................................................................................................................5
IV. Zderzenie centralne: sprężyste i niesprężyste.......................................................................6
V. Moduły Younga i Kirchoffa, współczynnik Poissona...........................................................8
VI. Moment bezwładności bryły sztywnej...............................................................................10
VII. Åšrodek masy i twierdzenie Steinera..................................................................................11
VIII. Wyznaczanie deformacji, pracy, maksymalnej siły i modułu Younga w czasie zderzenia
sprężystego................................................................................................................................13
IX. Wyznaczanie modułu Kirchoffa podczas drgań harmonicznych pręta..............................15
X. Wyznaczanie transformacji energii mechanicznej w krążku Maxwella..............................17
XI. Wyznaczanie momentu bezwładności ciał za pomocą maszyny Atwooda........................19
XII. Wyznaczenie prędkości lotu ciała.....................................................................................22
I. Działanie wagi belkowej
Analityczne wagi belkowe działają w oparciu o zasadę dz
wigni równoramiennej. Składa się z
belki opartej w środku na ostrzu pryzmatu i szalek zawieszonych na jej końcach również na
precyzyjnych ostrzach. Wahanie wagi odbywa się w jednej płaszczyz
nie. Aby waga
wytrącona z położenia równowagi samodzielnie do niego powracała (stanowiła układ o
równowadze trwałej), belka wagi musi mieć taki kształt, aby jej środek ciężkości był
położony poniżej punktu podparcia.
W zrównoważonej wadze równoramiennej następuje zrównoważenie momentów sił ciężkości
m g l = m g l (I.1)
1 2
co gwarantuje równość mas m = m .
1 2
Wynika stąd, że za pomocą wagi belkowej porównujemy masy dwu ciał: ciała ważonego i
odważników. Najważniejszym parametrem wagi określającym zakres jej stosowalności jest
" m
tzw. czułość wagi. Jeżeli na jednej z szalek umieścimy nadmiarową masę , to belka
odchyli się od poziomego położenia równowagi o pewien kąt ą i zatrzyma się w tym
położeniu, jako w nowym położeniu równowagi (rys 2.1). Warunek równości momentów sił
przyjmie wówczas postać:
G l cos Ä… + mb g S sin Ä… = G l cos Ä… + " m g l cos Ä…
(I.2)
mb
gdzie:  masa belki wagi,
l  długość ramienia belki,
S  odległość środka ciężkości belki od punktu podparcia belki,
G  ciężar szalki z odważnikami w stanie zrównoważonym wagi (patrz rys. I.1).
stÄ…d:
" m Å" l
tgÄ… =
(I.3)
mbS
Jeżeli kąt ą jest mały (co zwykle ma miejsce), możemy zastąpić tgą przez ą , a za miarę
tego kąta przyjąć ilość podziałek a o którą odchyla się wskazówka wagi. Przy tych
uproszczeniach otrzymujemy:
l
(I.3)
a = " m
mbS
Z powyższej uproszczonej zależności
widzimy, że odchylenie wskazówki wagi
jest proporcjonalne do nadmiarowej masy
i długości ramienia belki, a odwrotnie
" m
proporcjonalne do masy belki i odległości
środka ciężkości belki od punktu
zawieszenia belki. Parametry l , S i m sÄ…
b
parametrami konstrukcyjnymi wagi, dlatego
powyższą równość najczęściej zapisuje się
w postaci:
(I.4)
a = C " m
l
gdzie C = nazywamy czułością wagi.
mbS
Jeśli zapiszemy ją w jeszcze innej formie:
Rys. I.2. Odchylenie ciała od pierwotnego toru
a
OA3 w prawo spowodowane siłą Coriolisa. A
uki
, to jasno zobaczymy, że
C =
" m [mg]
A1B1, A2B2, A3B3 są drogami przebytymi przez ciało
czułość wagi podaje o ile działek przesunie
pod wpływem tej siły odpowiednio po czasach "t,
2"t, 3"t.
się wskazówka wagi przy nadwadze 1 mg.
Stosowane w pracowni wagi analityczne
1 podzialka
pozwalają ważyć z dokładnością do 0,2 mg i mają czułość rzędu .
0,1 mg
Rys. I.1. Równowaga belki wagi odchylonej od poziomu.
II. Wyznaczanie gęstości ciał
Jedną z podstawowych metod laboratoryjnych wyznaczania gęstości ciał jest metoda
piknometryczna. Pod pojęciem gęstości ciała rozumiemy masę jednostkowej objętości tego
ciała. Jeśli ciało jest jednorodne, to jego gęstość możemy znalez
ć dzieląc masę ciała m przez
jego objętość V:
m
Á = (II.1)
V
Piknometr jest specjalnym naczyniem gwarantującym stałość objętości wypełniającego go
ośrodka, przy zachowaniu stałości temperatury. Jest to niewielkie naczynie szklane (o
objętości około 50 cm3) na ogół w kształcie kolby z dokładnie doszlifowanym korkiem. Przez
środek korka przechodzi otworek, którym wypływa nadmiar cieczy. Średnica tego kanalika
powinna być jak najmniejsza. Zabezpiecza to zawartą w piknometrze ciecz przed
parowaniem. Przy badaniu cieczy o dużej lotności (jak np. eter) dodatkowo nakłada się
warstwÄ™ ochronnÄ… z oleju na powierzchniÄ™ kanalika. Metoda piknometryczna jest metodÄ…
porównawczą.
W przypadku wyznaczanie gęstości cieczy należy określić następujące masy:
1. m  masÄ™ badanej cieczy umieszczonej w piknometrze
C
2. m  masę cieczy wzorcowej wypełniającej piknometr
W
Á
Znając gęstość cieczy wzorcowej oraz masę m można ustalić z dużą dokładnością
W W
objętość piknometru:
mW
Vp =
(II.2)
Á
W
Jako cieczy wzorcowej najczęściej używa się wody destylowanej, gdyż dobrze znana jest
zależność jej gęstości od temperatury.
Gęstość badanej cieczy znajdujemy z wyrażenia:
mC mC
Á = = Á
(II.3)
C
VP W mW
W praktyce należy wykonać następujące ważenia:
" m  pustego piknometru
P
" m  piknometru wypełnionego cieczą wzorcową
PW
" m  piknometru wypełnionego cieczą o nieznanej gęstości
PC
Wówczas:
" mC = mPC - mP
(II.4)
" mW = mPW - mP
(II.5)
i zgodnie z zależnością (II.3) po podstawieniu powyższych relacji, gęstość cieczy określamy z
wyrażenia:
mPC - mP
Á = Á
(II.6)
C W
mPW - mP
W celu wyznaczenia gęstości ciała stałego należy dodatkowo wykonać ważenie:
" m  ciała stałego
S
" m  piknometru z wodą z zanurzonym w niej ciałem stałym
PWS
Oznaczając przez V objętość ciała stałego, jego masę można wyrazić zależnością:
S
mS = mPWS - ( mPW - VSÁ )
(II.7)
W
VÁ
gdzie jest masą wody wypartej z piknometru przez ciało.
W
Po przekształceniu otrzymujemy wzór na objętość ciała stałego:
mS - mPWS + mPW
VS =
(II.8)
Á
W
Na bazie definicji gęstości możemy ostatecznie napisać:
mS mS
Á = = Á
(II.9)
S
VS W mS - mPWS + mPW
Ponieważ objętość piknometru jest znacznie większa od objętości odważników należy
zastanowić się czy w powyższych rozważaniach nie należałoby uwzględnić siły wyporu,
która powoduje, że masa rzeczywista ciała ważonego m* jest większa niż masa odważników
m :
O
m* = mO + Áp (V - Vodw)
Áp
gdzie: V  objętość ciała ważonego, V  objętość odważników,  gęstość powietrza.
odw
Poddajmy powyższy wzór kilku przekształceniom:
ëÅ‚ Á Á öÅ‚ Á V = m* E" mO ëÅ‚ Á Á öÅ‚
odw C P P
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
m* = mO + Áp ìÅ‚ C V - Vodw ÷Å‚ = E" mO 1 + - ÷Å‚
(II.10)
Á Á Á Vodw = mO ìÅ‚ C odw ÷Å‚
Á Á
íÅ‚ C odw Å‚Å‚ odw íÅ‚ Å‚Å‚
ÁC Áodw
gdzie:  gęstość ciała ważonego,  gęstość odważników.
Wielkość poprawki (wyrażenie w nawiasie) zależy od gÄ™stoÅ›ci ciaÅ‚a ważonego ÁC .
Ze względu na symetrię wzoru (II.7) dwie takie poprawki uwzględnione przy ważeniu cieczy
badanej i cieczy wzorcowej wzajemnie znoszą się, jeśli tylko gęstości obu cieczy nie różnią
się dużo (gdyż we wzorze II.7 występuje stosunek mas obu cieczy). Im ta różnica jest
mniejsza, tym mniejszy jest błąd systematyczny metody piknometrycznej. Powyższy wniosek
można uogólnić na wszystkie metody porównawcze, przy stosowaniu, których zawsze
dążymy do takiej sytuacji, aby wielkości szukana i wzorcowa były możliwie zbliżone
wartościami.
Zastosowanie metody porównawczej do wyznaczenia gęstości cieczy przynosi dwie korzyści:
nie jest potrzebna znajomość dokładnej pojemności piknometru oraz nie zachodzi
konieczność uwzględniania poprawki spowodowanej wyporem powietrza.
W przypadku wyznaczenia gęstości ciała stałego nie ma potrzeby uwzględniania omawianej
poprawki, gdyż jego objętość jest mała (bliska objętości odważników).
Zatem wyprowadzone wcześniej wzory (II.6) i (II.9) są z dobrym przybliżeniem słuszne i
stanowią podstawę do obliczeń.
III. Siła Coriolisa
Wyobraz
my sobie obserwatora siedzącego w środku obracającej się tarczy nadającego piłce
prędkość początkową skierowaną wzdłuż promienia tarczy. Obserwator zewnętrzny
(znajdujący się poza obracającym kołem) nie zobaczy w tym procesie nic szczególnego. Piłka
poruszała się po prostej ruchem jednostajnym (rys. III.1a). Natomiast obserwator siedzący na
tarczy zauważył, że piłka wcale nie poruszała się (względem jego i tarczy) po prostej OD, ale
po Å‚uku OLC (rys. III.1b).
Rys. III.1. Ruch piłki po wirującej tarczy: a) dla obserwatora zewnętrznego,
b) dla obserwatora zwiÄ…zanego z tarczÄ….
W układzie wirującym dla obserwatora związanego z tym układem pojawia się pewna siła
powodująca zakrzywienie toru ruchu ciała poruszającego się po promieniu na zewnątrz
tarczy. Ciało to odchylała się od pierwotnego toru OD w prawo (na tarczy obracającej się
niezgodnie ze wskazówkami zegara), czyli siła działa w prawo, czyli prostopadle do wektora
rð
v
prędkości . Siłę tę od nazwiska odkrywcy nazywamy siłą Coriolisa. Należy jeszcze raz
mocno podkreślić, że nie istnieje ona w układzie nieruchomego (zewnętrznego) obserwatora.
Zajmijmy siÄ™ teraz matematycznym opisem tego zjawiska; niech na tarczy obracajÄ…cej siÄ™
ruchem jednostajnym, piłka znajduje się w jej środku (w punkcie O, rys. III.2.). Nadajmy
rð
vo
piłce prędkość skierowaną ku punktowi A . W układzie nieruchomym torem piłki będzie
3
prosta OA A A , natomiast na obracającej się tarczy piłka zakreśli łuk OB B B , odchylony
1 2 3 1 2 3
od OA w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu tarczy. Jeśli w układzie nieruchomym
3
odcinek OA = "s został przebyty przez piłkę w czasie "t, to w tym samym czasie punkt A
1 1
tarczy przebył drogę A B . Fakt ten pozwala nam napisać dwa równania:
1 1
" s1 = v Å" " t
(III.1)
i
A1B1 = " s1 Å" É " t (III.2)
gdzie É oznacza prÄ™dkość kÄ…towÄ… tarczy.
Podstawiając "s wyrażone pierwszym równaniem do drugiego, otrzymamy
1
A1B1 = v Å" É Å" (" t)2 (III.3)
Z zależności tej widzimy, że w układzie obserwatora związanego z tarczą drogę A B piłka
1 1
przebywa ruchem jednostajnie przyśpieszonym, gdyż droga rośnie z kwadratem czasu. Aby
lepiej to zrozumieć, zauważmy, że odcinki OA , A A i A A są sobie równe, zatem
1 1 2 2 3
przesunięcie piłki w kierunku promienia, pomiędzy sąsiednimi okręgami kół, dokonuje się w
równych czasach "t.
W tym samym czasie "t tarcza zakreÅ›la kÄ…t É "t, co na rys. III.2. pokazano trzy razy. Kolejne
drogi A B , A B , A B pozostają do siebie w stosunku kwadratów kolejnych liczb całkowitych
1 1 2 2 3 3
(1 : 4 : 9 :...). Długość łuku AB = ą r. W tym samym czasie "t, gdy np. ą rośnie dwa razy,
także r rośnie dwa razy, więc długość łuku rośnie czterokrotnie. Fakt taki obserwator
ruchomy może przypisać tylko działaniu stałej siły. W czasie "t ma ona kierunek A B , a
1 1
rð
więc jest prostopadła do wektora prędkości v . Wywołuje ona przyśpieszenie, które
obliczymy ze wzoru na drogÄ™ przebytÄ… w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
1
A1B1 = Å" ac Å" (" t)2
(III.4)
2
Przyrównując do siebie oba ostatnie wzory (III.3) i (III.4) otrzymujemy:
ac = 2 Å" v Å" É
(III.5)
Jest to wzór na tzw. przyśpieszenie Coriolisa. Siła Coriolisa, która działając na ciało
wywołuje to przyśpieszenie, opisana jest wzorem:
Fc = 2 Å" m Å" v Å" É
(III.6)
Wzór ten wyraża tylko wartość siły Coriolisa, brak w nim jakichkolwiek informacji o tym, że
rð
v
siła ta jest prostopadła do osi obrotu i wektora prędkości , oraz jaki jest jej zwrot. Obie te
informacje tkwić będą w samym wzorze, jeśli napiszemy go w symbolice wektorowej.
Przyśpieszenie Coriolisa jest iloczynem wektorowym, ze współczynnikiem 2, wektorów
rð
rð
É
prędkości liniowej v ciała i prędkości kątowej obracającego się układu:
rð rð rð
ac = 2 v × É
(III.7)
Jeśli obie strony tego wzoru pomnożymy przez masę ciała, otrzymamy wzór na siłę Coriolisa
rð
rð rð
Fc = 2 Å" m Å" (v × É ) (III.8)
A
atwo sprawdzić, że kierunek i zwrotrð siÅ‚y Coriolisa w omówionym przez nas wypadku
rð
zgadza siÄ™ z kierunkiem i zwrotem v × É (reguÅ‚a Å›ruby prawoskrÄ™tnej).
Obliczmy odchylenie AB ciała pod wpływem siły Coriolisa. Przez analogię do wzoru (III.4)
można napisać:
1
2
AB = Å" ac Å" t
(III.9)
2
s v
gdzie: t  czas ruchu ciała od środka tarczy wynosi .
Podstawiając tę zależność do (III.9) i korzystając ze wzoru (III.5) otrzymujemy:
É
AB = Å" s2
(III.10)
v
Funkcja AB = f (s2) jest liniowa. Na jej podstawie można wyznaczyć z pomiarów
przyśpieszenie i siłę Coriolisa podczas ruchu piłki po obracającej się tarczy.
IV. Zderzenie centralne: sprężyste i niesprężyste
Dwie jednorodne kule poruszają się w tym samym kierunku ruchem postępowym wzdłuż
m1
prostej wyznaczonej przez ich środki geometryczne. Niech jedna z kul o masie porusza
v1 m2 v2 < v1
się z prędkością , a druga o masie z prędkością (rys. IV.1). Przedstawione
założenia dotyczą zderzenia centralnego kul.
Rys. IV.1. Zderzenie centralne (sytuacja przed zderzeniem).
Jeżeli kule wykonane są z materiału niesprężystego tzn. po zderzeniu odkształcenie będzie
V
trwałe i kule złączone w chwili zderzenia poruszać się będą ze wspólną prędkością (rys.
IV.2). Zjawisko takie nazywamy zderzeniem niesprężystym.
Rys. IV.2. Zderzenie niesprężyste (stan po zderzeniu).
Rozpatrując obydwie kule jako zamknięty układ ciał, można z zasady zachowania pędu
V
wyznaczyć wartość prędkości połączonych kul:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)Å" V
(IV.1)
m1v1 + m2v2
V =
stÄ…d: (IV.2)
m1 + m2
Jeżeli zderzające się kule wykonane są z materiału sprężystego (np. ze stali) to w chwili
V
zderzenia następuje ich odkształcenie, poruszają się przez pewien czas razem z prędkością ,
następnie wskutek działania sił sprężystości wracają do pierwotnej postaci odpychając się od
" "
siebie, co powoduje, że poruszają się z prędkościami i (rys. IV.3) przy czym prędkość
v1 v2
" "
, a prędkość .
v1 < V v2 > V
Rys. IV.3. Zderzenie sprężyste (stan po zderzeniu).
Zderzenie sprężyste charakteryzuje się tym, że oprócz pędu podczas pędu zostaje zachowana
również energia kinetyczna:
2 2 " "
m1 Å" v1 m2v2 m1(v1 )2 m2(v2)2
(IV.3)
+ = +
2 2 2 2
" "
(IV.4)
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2
"
Rozwiązując ten układ równań względem prędkości kulek po zderzeniu i :
v1 "
v2
" " " "
(IV.5)
m1 (v1 - v1 ) (v1 + v1 ) = m2 (v2 - v2 ) (v2 + v2 )
" "
(IV.6)
m1 (v1 - v1 ) = m2 (v2 - v2 )
" "
(IV.7)
v1 + v1 = v2 + v2
" "
(IV.8)
v2 = v1 - v2 + v1
" "
(IV.9)
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v1 - m2 v2 + m2 v1
"
(IV.10)
v1 (m1 + m2 ) = m1v1 + m2v2 + m2v2 - m2v1
otrzymuje się ostatecznie następujące wyrażenia na prędkości obu kulek po zderzeniu:
v1 (m1 - m2 ) + 2 m2 v2
"
v1 = = 2 V - v1
(IV.11)
(m1 + m2 )
"
(IV.12)
v2 = 2 V - v2
W czasie zderzenia sprężystego kulek ich energia kinetyczna zostaje zmieniona na energię
sprężystości kulek, którą po zderzeniu znajdujemy z powrotem w ich energii kinetycznej.
Przekazywanie energii odbywa siÄ™ w czasie T .
V. Moduły Younga i Kirchoffa, współczynnik Poissona
Rozważmy przypadek, gdy siły działające na ciało powodują jego sprężyste odkształcenie
tzn. deformacja zanika po ustąpieniu siły odkształcającej F . W zależności od kąta
utworzonego przez wektory siły działającej z powierzchnią ciała odkształconego rozróżniamy
Fn Fs
siły działające prostopadle do powierzchni (siły normalne)oraz siły działające stycznie
do powierzchni (siły styczne). Siły te przedstawione są na rys. V.1.
Rys. V.1. Działanie na ciało sił stycznych F do powierzchni.
S
Naprężenie normalne à to stosunek siÅ‚y normalnej do pola powierzchni, na którÄ… ta siÅ‚a
działa:
Fn
à =
(V.1)
S
Miarą odkształcenia, jakiego ciało doznaje pod wpływem takiej siły jest wielkość
odksztaÅ‚cenie wzglÄ™dnego µ , bÄ™dÄ…ca stosunkiem zmiany dÅ‚ugoÅ›ci ciaÅ‚a " z w kierunku
z
zgodnym z kierunkiem działania siły do długości początkowej .
" z
µ =
(V.2)
z
MiÄ™dzy wielkoÅ›ciami à i µ zachodzi zwiÄ…zek znany jako prawo Hooke a  Cauchy ego:
à = E Å" µ (V.3)
Współczynnik proporcjonalności E zwany modułem Younga jest równy liczbowo
naprężeniu, które powoduje odkształcenie względem danego ciała równe jedności (dwukrotne
wydłużenie). Jest współczynnikiem materiałowym (charakterystyczny dla danego materiału)
o wymiarze [Nm-2].
Równanie (V.3) to podstawowe prawo teorii sprężystości wiążące odkształcenia mechaniczne
ciała stałego z siłami (naprężeniami), które te odkształcenia wywołują. W najprostszym
(przytoczonym tu) sformułowaniu stwierdza ono, że odkształcenie ciał jest wprost
proporcjonalne do wywołującej je siły. Prawu Hooke a  Cauchy ego podlegają wszystkie
ciała sprężyste w zakresie naprężeń nie przekraczających pewnej wartości zwanej granicą
proporcjonalności.
Fs
S
Naprężenie styczne Ä jest to stosunek siÅ‚y stycznej do powierzchni , na którÄ… ta siÅ‚a
działa. Efekt działania takiego naprężenia nazywamy ścinaniem prostym:
Fs
Ä =
(V.4)
S
Odkształcenie względne mierzy się za pomocą tzw. kąta ścinania ł (kąta pomiędzy
płaszczyzną pierwotną a płaszczyzną odwróconą na skutek ścinania (rys. V.1)). Prawo
Hooke a przyjmuje wówczas postać:
Ä = G Å" Å‚
(V.5)
G
Współczynnik , zwany modułem sprężystości lub modułem Kirchoffa, ma wymiar
[Nm-2rad-1].
Podczas odkształcenia sprężystego następującego pod wpływem działania sił normalnych
zachodzi zmiana wszystkich wymiarów ciała. Względne zwężenie jest proporcjonalne do
względnego wydłużenia ciała:
" y " z
= ½
(V.6)
y z
Wielkość ½ nazywana jest współczynnikiem Poissona. PomiÄ™dzy wprowadzonymi
współczynnikami G , ½ oraz moduÅ‚em Younga zachodzi zwiÄ…zek:
E
E
G =
(V.7)
2Å" (1+ ½ )
VI. Moment bezwładności bryły sztywnej
Zdefiniujmy moment bezwładności bryły sztywnej. Załóżmy, że bryła obraca się wokół osi L
rð
n mi
É
ze stałą prędkością kątową i składa się z mas punktowych (rys. VI.1).
Rys. VI.1. Bryła sztywna w ruchu obrotowym wokół osi L.
vi ri
Każda z tych mas posiada prędkość liniową zależną od jej odległości od osi obrotu :
rð rð rð
vi = É × ri oraz energiÄ™ kinetycznÄ… Eki :
1 1
2
Eki = Å" mi Å" vi2 = Å" mi Å" ri2 Å" É
(VI.1)
2 2
Energia kinetyczna całej bryły jest sumą energii kinetycznych poszczególnych mas
punktowych:
n n
EkO = Eki = Å" É mi Å" ri2
(VI.2)
"= 1 1 2"= 1
2
i i
Z porównania wzoru (VI.2) z wyrażeniem na energię kinetyczną w ruchu postępowym:
1
Ekp = Å" mv2
(VI.3)
2
v É
wynika wniosek, że odpowiednikiem prędkości liniowej jest prędkość kątowa , a masy
m
J
całej bryły wielkość moment bezwładności względem ustalonej osi obrotu zdefiniowany
jako:
n
J = mi Å" ri
(VI.4)
"
i= 1
Uwzględniając wyrażenie (VI.4) wzór na energię kinetyczną w ruchu obrotowym przyjmuje
postać:
1
2
EkO = Å" J Å" É
(VI.5)
2
Moment bezwładności względem wybranej osi obrotu zgodnie ze wzorem (VI.4) zależy od
wyboru osi obrotu oraz od sposobu rozłożenia względem niej masy ciała, czyli od kształtu
ciała. Wychodząc z definicji (VI.4) można teoretycznie obliczyć momenty bezwładności dla
wielu regularnych brył, uzależniając je od całkowitej masy m i od ich rozmiarów
geometrycznych. Na przykład momenty bezwładności względem osi przechodzących przez
środek ciężkości wynoszą dla:
1
J = Å" mÅ" R2
" walca gdzie R  promień walca,
2
2
J = Å" mÅ" R2
" kuli gdzie R  promień kuli,
5
1
2 2
J = Å" mÅ" (R1 + R2 ) R1 R2
" pierścienia gdzie ,  promienie pierścienia.
2
VII. Åšrodek masy i twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera zwane twierdzeniem o osiach równoległych dotyczy związku pomiędzy
momentem bezwładności danej bryły sztywnej względem dowolnej osi równoległej do osi
przechodzącej przez środek masy bryły, a momentem bezwładności tej bryły względem osi
przechodzącej przez środek masy. Dla stosowanie tego twierdzenia niezbędna jest znajomość
położenia środka masy danej bryły sztywnej.
mi
Dla układu dyskretnego składającego się z N mas o wartościach masa całego układu M
mi
jest sumą mas składowych a środek masy układu wyznacza się następująco. Należy obrać
dowolny punkt w przestrzeni, będący punktem odniesienia, względem którego określone
rð
ri = [xi , yi , zi ]
zostanie położenie środka masy. Wektory
opisują położenia poszczególnych
mi
mas względem punktu odniesienia. Odległość środka masy od punktu odniesienia
rð
rc = [xc , yc , zc ]
określona wektorem zgodnie z definicją wyznaczana jest zależności:
N
rð 1 rð
rc =
(VII.1)
"= 1 ri mi
M
i
którą można rozłożyć na trzy następujące wyrażenia:
N
1
xc =
(VII.1a)
"= 1 xi mi
M
i
N
1
yc =
(VII.1b)
"= 1 yi mi
M
i
N
1
zc =
(VII.1c)
"= 1 zi mi
M
i
W przypadku ciała rozciągłego, aby wyznaczyć jego środek masy należy rozłożyć ciało na
nieskończenie wiele mas dm, których położenia względem punktu odniesienia są określa
rð
r = [x , y , z ]
wektor . Wówczas we wzorach (VII.1) sumy przyjmują postać całek po
wszystkich elementach dm, czyli po całej objętości ciała sztywnego:
rð 1
rc =
(VII.2)
+"r dm
M
to znaczy
1
xc =
(VII.2a)
+"x dm
M
1
yc =
(VII.2b)
+"y dm
M
1
zc =
(VII.2c)
+"z dm
M
W szczególnym przypadku, gdy punkt odniesienia pokrywa się ze środkiem masy, wówczas
rð
rC = [0 , 0 , 0 ]
wektor i spełnione są zależności:
(VII.3)
+"x dm = 0 ; +"y dm = 0 ;+"z dm = 0
Wielkość fizyczna zwana momentem bezwładności określa bezwładność ciała sztywnego
podczas wykonywania ruchu obrotowego. Wartość momentu bezwładności zależy od osi,
wokół której odbywa się obrót ciała. Jeżeli znany jest moment bezwładności ciała względem
osi obrotu przechodzącej przez środek masy ciała, to za pomocą twierdzenia Steinera można
wyznaczyć momentem bezwładności tego ciała względem innej osi równoległej do niej.
Dla ciała przedstawionego na powyższym rysunku znany moment bezwładności względem
osi obrotu przechodzącej przez jego środek masy (oś Z) wyraża się całką:
2 2
JZ = x1 + y1 ) dm
(VII.4)
+"(
2 2
Wyrażenie x1 + y1 określa kwadrat odległości elementu dm od osi Z.
Moment bezwładności względem osi obrotu Z* równoległej do osi Z i oddalonej od niej o
2 2
xc yc
, gdzie współrzędne i określają położenie środka masy rozpatrywanego
d = xc + yc
ciała w nowym układzie współrzędnych związanym z osią Z* wyrazić można następująco:
* 2 2
JZ = x2 + y2 ) dm
(VII.5)
+"(
Rys. VII.1. Rysunek do wyprowadzenia twierdzenia Steinera.
2 2
Wyrażenie x2 + y2 określa odległość elementu dm od nowej osi Z*, pomiędzy
współrzędnymi zachodzą następujące związki:
x2 = xc + x1 y2 = yc + y1
(VII.6)
Podstawiając wzory (VII.6) do (VII.5) otrzymuje się wyrażenie:
" 2 2 2 2
J = ( xc + x1)2 + ( yc + y1)2) dm = (xc + 2xcx1 + x1 + yc + 2yc y1 + y1 )dm
(VII.7)
z
+"( +"
dalej grupując wyrażenia
* 2 2 2 2
J = (x1 + y1 )dm + (xc + yc )+"dm + 2xc 1dm + 2yc 1dm
(VII.8)
z
+" +"x +"y
W wyrażeniu (VII.8) pierwsza całka (zgodnie z VII.4) odpowiada momentowi bezwładności
J
względem osi przechodzącej przez środek masy . Z kolei ponieważ spełnione są zależności
z
2 2 2
xC + yC = d
i
+"dm = M druga całka w wyrażeniu (VII.8) przyjmuje postać:
2 2 2
(xC + yC)+"dm = d M
(VII.9)
Natomiast dwie ostatnie całki w wyrażeniu (VII.8) są równe zero, gdyż spełniony jest
warunek (3) tzn. położenie środka masy w układzie odniesienia związanym z osią Z określa
rð
rc = [0 , 0 , 0 ]
wektor . Reasumując równanie (VII.7) przyjmuje ostatecznie postać:
" 2
(VII.10)
J = J + M d
z z
Zależność (VII.10) wyraża twierdzenie Steinera opisujące związek między momentami
"
J
bezwładności i .
J
z
z
VIII. Wyznaczanie deformacji, pracy, maksymalnej siły i modułu Younga w
czasie zderzenia sprężystego
Rozpatrujemy centralne zderzenie sprężyste jednorodnych kul. W czasie zderzenia kule
deformują się. Deformacja polega na wgnieceniu do wnętrza kuli części objętości mającej
r r
h
kształt czaszy o wysokości i promieniu (rys. VIII.1). Promień jest największym
promieniem koła zetknięcia kul.
Rys. VIII.1. Deformacja kuli w czasie zderzenia.
h
Wielkość deformacji kuli można obliczyć zakładając, że od chwili zetknięcia się kul ich
T
t =
ruch jest ruchem jednostajnie opóz
nionym i po czasie prędkość kul maleje do zera:
2
a Å" t2
(VIII.1)
h = vot -
2
Opóz
nienie ruchu jednostajnie opóz
nionego znajduje się z zależności:
0 = vo - a Å" t
(VIII.2)
Wobec tego:
vo Å" t2 vot
(VIII.3)
h = vot - =
2Å" t 2
vo
Prędkość wyznacza się z zasady zachowania energii mechanicznej w polu grawitacyjnym
Ziemi. Rozpatrzmy dwie kule, które w chwili początkowej kule znajdują się o H wyżej od
ich położenia najniższego (rys. VIII.2).
Energia potencjalna kul zostaje w momencie zderzenia zamieniona na energiÄ™ kinetycznÄ…:
2
mÅ" vo
(VIII.4)
mÅ" g Å" h =
2
Stąd można wyznaczyć prędkość kulek w momencie zderzenia:
vo = 2Å" g Å" H (VIII.5)
vo
Wstawiając do wyrażenia (VIII.3) w miejsce wyrażenie określone wzorem (VIII.5), a w
miejsce t połowę czasu trwania zdarzenia otrzymuje się wyrażenie opisujące maksymalną
vot 2Å" g Å" H
T
h
wielkość wgniecenia kuli jako: (VIII.6)
h = = Å"
2 2 2
Rys. VIII.2. Określenie różnicy wysokości położenia kul przed i podczas zderzenia H=H .
1-H
2
Zachodzące odkształcenie kul podczas zderzenia jest przypadkiem złożonym i nie da się w
prosty sposób wyprowadzić z prawa Hooke a  Cauchy ego, ale można dopatrzyć się tu
pewnych analogii. Występujące przy zderzeniu skrócenie promienia kuli o wartość h można
powiązać ze współczynnikami materiałowymi modułem Younga i współczynnikiem Poissona
wówczas:
2
3 (1- µ ) Fh
(VIII.7)
h =
4 E r
Stąd przybliżony moduł Younga w analizowanym przypadku, gdy przyjmiemy, że
rozpatrywane kule wykonane są ze stali (ź=0,26) można wyrazić jako:
mgH
E = 1,389
(VIII.8)
rh2
r
Promień można wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa (rys. VIII.1):
2
Rk = (Rk - h)2 + r2
(VIII.9)
stÄ…d: (VIII.10)
r2 = 2Å" Rk Å" h - h2
h
Ze względu na małą wysokość czaszy kulistej drugi wyraz w powyższym wzorze można
zaniedbać jako bardzo mały w porównaniu z pierwszym i stąd otrzymuje się:
r = 2Å" Rk Å" h
(VIII.11)
F(x) = kx
Zderzające się kule działają na siebie siłą
rosnÄ…co liniowo wraz z deformacjÄ… do
Fh
wartości dla x = h , wykonując przy tym pracę:
h h
1 1
W =
(VIII.12)
+"F(x)dx = +"kx Å" dx = 2 k Å" h2 = 2 Å" Fh Å" h
0 0
Zgodnie z obowiązującą podczas zderzenia sprężystego zasadą zachowania energii praca ta w
chwili zderzenia jest równa energii kinetycznej kulek, a ta energii potencjalnej:
1
mÅ" g Å" h = Fh Å" h
(VIII.13)
2
Stąd otrzymuje się wyrażenie na maksymalną siłę nacisku kul podczas zderzenia:
2Å" m Å" g Å" H
Fh =
(VIII.14)
h
IX. Wyznaczanie modułu Kirchoffa podczas drgań harmonicznych pręta
Jeśli jeden z końców długiego jednorodnego pręta sztywno zamocować, a do drugiego
Ć
przyłożyć skręcający moment sił M , to koniec ten przekręci się o kąt , zgodnie z
zależnością:
M = D Å" Ć
(IX.1)
Dla danego zamocowanego pręta stała wielkość D nosi nazwę modułu skręcenia lub
Ć
momentu kierującego. Liniowa zależność pomiędzy M i wyrażona wzorem (IX.1)
zachodzi tylko dla niewielkich wartości M. W ogólnym przypadku zależność ta może być
nieliniowa lub nawet niejednoznaczna. Wielkość D charakteryzuje badaną konstrukcję, ale
nie właściwości materiału podczas skręcenia. Dla scharakteryzowania właściwości materiału
G
wprowadza się wielkość nazwaną modułem sprężystości (modułem Kirchoffa) .
G
Wprowadzimy teraz zależność wiążącą moduł sprężystości oraz moduł skręcenia . Po
D
odchyleniu ciała o kąt ą od położenia równowagi wytwarza się nowy stan równowagi, w
M
którym reakcja pręta moment M równoważy moment siły zewnętrznej . Po uwolnieniu
z
M
ciała powstają drgania pod wpływem momentu siły :
z
M = - D Å" Ä…
(IX.2)
z
zawsze zwracającego ciało do położenia równowagi. Równanie ruchu ma postać analogiczną
do równania ruchu (drgań) wahadła grawitacyjnego:
2
d Ä…
J = - D Å" Ä… (IX.3)
dt2
Okres drgań dla tego ruchu wyraża się wzorem:
J
T = 2Å" Ä„ (IX.4)
D
gdzie J jest momentem bezwładności drgającej bryły względem zadanej osi obrotu.
Wielkość modułu skręcenia D należy określić w zależności od narzuconych warunków
G
fizycznych. Wielkość może zostać wyznaczona przez wykorzystanie drgań harmonicznych
pręta metalowego zachodzących pod wpływem sił sprężystości. Każdy z elementów
badanego drutu, skręconego przez siłę zewnętrzną, podlega deformacji ścinania prostego.
Jako reakcja na tę siłę pojawia się w pręcie siła sprężystości powodująca powrót do położenia
równowagi i w konsekwencji wywołująca zjawisko drgań. Sposób wyznaczenia zależności
G
między modułem sprężystości a momentem sił działającym na skręcony pręt
przedstawiono poniżej.
r "
Przedmiotem rozważań jest cylindryczny element pręta o promieniu wewnętrznym ,
grubości i długości całego pręta l > >r" (rys. IX.2). Dla pierścienia pokazanego na
dr"
rysunku mamy:
s
Ä = G Å" Å‚ = G Å"
(IX.5)
l
s
r"
s =
gdzie jest elementem łuku, ale ą , a więc spełniony jest związek
Ä = G Ä… .
r" l
Rys. IX.2. Skręcenie pręta
ds
Powierzchnia przekroju pierścienia ograniczonego obwodem o promieniu i
r" r" + dr"
wynosi
2Ą r" dr" . Wartość siły stycznej działającej na taki pierścień wyraża się wzorem:
r"
(IX.6)
dFs = ds Å"Ä = 2Ä„ Å" r" Å" dr" Å" G Å" Ä…
l
a moment tej siły wyrażeniem:
(r" )3
(IX.7)
dM = dFs Å" r" = 2Ä„ Å" Ä… Å" G Å" Å" dr"
l
r
Całkując wyrażenie (IX.7) w granicach od zera do , otrzymuje się wartość momentu siły
działającej na powierzchnię przekroju poprzecznego drutu:
Å‚
(r" )3 Ä„ Å" G Å" r4
M = Å" Ä… Å" G Å" Å" dr" = Å" Ä…
(IX.8)
+"2Ä„
l 2Å" l
0
Drugą zasadę Newtona można dla tego przypadku zapisać w postaci:
2
d Ä… Ä„ Å" G Å" r4
M = J Å" = - Å" Ä… = - DÄ… (IX.9)
2
2Å" l
dt
J 2 Å" l
stÄ…d: T = 2Ä„ Å" = 2Ä„ Å" J (IX.10)
D
Ä„ Å" G Å" r4
G
Mierząc okres T można wyznaczyć wartość modułu sprężystości ze wzoru:
8Å" Ä„ Å" l Å" J
G =
(IX.11)
2
T Å" r4
Zależność między modułem skręcenia a modułem sprężystości wynika z zależności (IX.10) i
jest następująca:
Ä„ G r4
D = (IX.12)
2 l
X. Wyznaczanie transformacji energii mechanicznej w krążku Maxwella
Krążek Maxwella jest to masywne ciało (np. koło zamachowe) osadzone na cienkim pręcie
(ośce). Pręt przechodzi przez środek masy krążka i wystaje z obu jego stron. Do każdej części
pręta (po obu stronach krążka) są umocowane cienkie linki. Pręt może wisieć na dwu linkach
w ten sposób, że zachowuje pozycję poziomą, a linki możemy nawijać na oś podnosząc
krążek do góry. Gdy z górnego położenia puścimy krążek swobodnie, linki zaczynają się
odwijać z osi, a całość opada ku dołowi ruchem jednostajnie przyśpieszonym.
Rys. VIII.1. Przykładowe kształty ciał, których momenty bezwładności można wyznaczyć opisaną metodą:
a) oś obrotu przebija prostopadle walec w środku masy, b) oś obrotu przebija prostopadle trójkątną płytę w
środku masy.
Jednostajnie przyśpieszonemu ruchowi postępowemu ku dołowi towarzyszy jednostajnie
µ
przyśpieszony ruch obrotowy krążka. Przyśpieszenie kątowe ruchu obrotowego związane
a
jest z przyśpieszeniem liniowym ruchu postępowego zależnością:
a
µ =
(X.1)
R
gdzie R  promień osi, na którą nawinięte są linki.
Zastosujmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla krążka Maxwella spadającego z
mgh
wysokości h. Jego początkowa energia potencjalna podczas ruchu w dół zostaje
mv2
całkowicie zamieniona na energię kinetyczną ruchu postępowego oraz na energię
2
JoÉ
2
kinetycznÄ… ruchu obrotowego :
2
2 2
mV J0 É
(X.2)
mgh = +
2 2
gdzie: m  masa krążka razem z osią,
Jo  moment bezwładności krążka z ośką względem osi obrotu,
v
 prędkość liniowa ruchu postępowego,
É
 prędkość liniowa ruchu obrotowego
Następuje więc podział początkowej energii układu (mającej postać energii potencjalnej w
jednorodnym polu grawitacyjnym Ziemi) na dwie postacie energii kinetycznej. W celu
wyznaczenia ich wartości należy w pierwszym kroku wyznaczyć moment bezwładności
Jo
krążka względem centralnej osi obrotu.
v
É =
Wstawiając związek pomiędzy prędkością ruchu postępowego i obrotowego postaci:
R
do zasady zachowania energii (X.2) otrzymujemy:
Jo
öÅ‚
2gh = v2ëÅ‚ 1 +
ìÅ‚ ÷Å‚ (X.3)
íÅ‚ mR2 Å‚Å‚
Jo
i stąd po przekształceniach można obliczyć moment bezwładności :
2gh
ëÅ‚ öÅ‚
Jo = mR2 - 1
ìÅ‚ ÷Å‚
(X.4)
íÅ‚ v2 Å‚Å‚
Moment bezwładności krążka Maxwella można określić też na innej drodze. A mianowicie
rozpatrując jego chwilowy ruch obrotowy względem osi przebiegającej przez punkt
styczności nici z prętem (rys. X.2).
Rys. X.2. Chwilowy ruch obrotowy krążka względem osi przebiegającej przez punkt styczności z nicią
zaznaczony literÄ… A.
StosujÄ…c drugÄ… zasadÄ™ dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy:
mgR
µ =
(X.5)
J
mgR
gdzie:  moment siły obracający ciało względem osi A,
J  moment bezwładności krążka z osią względem osi A.
Jo
J
Na podstawie twierdzenia Steinera o osiach równoległych momenty bezwładności i są
związane ze sobą zależnością:
J = Jo + mR2 (X.6)
w efekcie:
mgR
µ =
(X.7)
Jo + mR2
i stąd po przekształceniach:
g
ëÅ‚ öÅ‚
J = mR - R
ìÅ‚ ÷Å‚
(X.8)
o
µ
íÅ‚ Å‚Å‚
µ Jo
Wyznaczając można zatem znalez
ć moment bezwładności ciała (tu krążka z osią)
względem osi przechodzącej przez jego środek masy. Zaprezentowana metoda dobrze nadaje
się do eksperymentalnego wyznaczania momentów bezwładności względem osi
przechodzących przez środek masy ciała, przy czym nie jest wymagana kołowa symetria
badanego ciała.
XI. Wyznaczanie momentu bezwładności ciał za pomocą maszyny Atwooda
Maszyna Atwooda służy do doświadczalnego sprawdzania praw kinematyki i dynamiki. W
najprostszym wykonaniu składa się ona z bloczka (K) (rys. XI.1) zamocowanego w górnej
części pionowego pręta ze skalą (S). Przez bloczek przechodzi cienka i mocna nić z
zawieszonymi na końcach masami (M). Dodatkowe obciążenie jednego z końców nici jest
realizowane za pomocą jednakowych ciężarków o masie m. Ciężar tych dodatkowych
ciężarków jest przyczyną wprowadzającą układ ciężarki-nić-bloczek w ruch jednostajnie
przyśpieszony.
W maszynie Atwooda mamy do czynienia z dwoma rodzajami ruchu jednostajnie
przyśpieszonego: prostoliniowym ciężarków i obrotowym bloczka.
m
" W ruchu prostoliniowym bezwładność ciała charakteryzowana jest przez jego masę
. Znajduje rð
to odzwierciedlenie w drugiej zasadzie dynamiki dla tego ruchu, zgodnie z
rð
a
którą siła nadaje ciału ruch o przyśpieszeniu wprost proporcjonalnym do tej siły i
F
odwrotnie proporcjonalnym do masy ciaÅ‚a:rð
rð F
a = (XI.1)
m
" W ruchu obrotowym bezwładność ciała charakteryzowana jest przez jego moment
bezwładności J względem osi obrotu. Znajduje to odzwierciedlenie w drugiej
rð
zasadzie dynamiki dla tego ruchu, zgodnie z którą moment siły nadaje ciału ruch o
N
rð
µ
przyśpieszeniu kątowym wprost proporcjonalnym do momentu siły i odwrotnie
proporcjonalnym do momentu bezwładności:
rð
rð N
µ = (XI.2)
J
M Å" g T1
Na ciężarek A działają siły: ciężkości i naprężenia nici . Pod wpływem wypadkowej
tych sił ciężarek porusza się do góry z przyśpieszeniem a. Zgodnie z II prawem Newtona dla
ruchu postępowego (XI.1) otrzymuje się następujące równanie ruchu:
(T1 - M Å" g) = M Å" a
(XI.3)
Ciężarek B porusza się, ale do dołu pod wpływem wypadkowej siły ciężkości równej
(M Å" g + m Å" g) T2
i siły naprężenia nici . Analogicznie zgodnie z II prawem Newtona dla
ruchu postępowego równanie ruchu ciężarka B przyjmuje postać:
(M + m) Å" g - T2 = (M + m)Å" a
(XI.4)
Rys. XI.1. Maszyna Atwooda oraz siły działające na ciężarki i bloczek
a
Przyśpieszenia obu ciężarków są jednakowe i wynoszą (gdyż nić jest nierozciągliwa), ale
majÄ… jednak inne zwroty.
T1 T2 r
Siły naprężenia nici i działają prostopadle do promienia bloczka. Wytwarzają
(T2
wypadkowy moment siÅ‚y równy - T1)Å" r
, który będzie obracał krążek z przyśpieszeniem
µ
kÄ…towym . Zgodnie z II prawem Newtona dla ruchu obrotowego (XI.2) otrzymuje siÄ™
równanie:
(T2 - T1) Å" r = J Å" µ
(XI.5)
Po wstawieniu do wzoru (XI.5) zależności pomiędzy przyspieszeniem liniowym i kątowym w
postaci otrzymuje siÄ™:
J
(T2 - T1) = Å" a
(XI.6)
2
r
T1 T2
Wyliczając i ze wzorów (XI.4), (XI.5) i wstawiając do wzoru (XI.6) otrzymuje się
wyrażenie na przyśpieszenie w ruchu ciężarków w maszynie Atwooda :
mÅ" g
a =
J
(XI.7)
+ 2M + m
r2
a
Z analizy wzoru (XI.7) wynika, że dla m < przyśpieszenie jest znacznie mniejsze od
g
przyśpieszenia ziemskiego . Fakt ten pozwala na łatwiejszy, w stosunku do pomiaru
przyspieszenia przy spadku swobodnym, pomiar przyspieszenia układu przy stosunkowo
niewielkiej wysokości przyrządu Atwooda.
a
Jeżeli dokona się pomiaru przyśpieszenia można wyznaczyć moment bezwładności
bloczka K:
mÅ" g - 2M Å" a - mÅ" a
J = Å" r2
(XI.8)
a
a t
S
Przyśpieszenie wyznaczamy mierząc czas , w którym ciężarki pokonują stałą drogę .
Otrzymanie dokładnych wyników jest uzależnione od dokładnych pomiarów czasu
przeprowadzonych z niewielkimi niepewnościami. Aby to osiągnąć w zastosuje się
elektroniczne mierniki czasu. Ponieważ ciężarki rozpoczynają ruch bez prędkości
a
początkowej, przyśpieszenie wyznaczamy z zależności:
2 Å" S
a =
(XI.9)
2
t
Umieszczając na osi bloczka dodatkowe ciało (metalowy pierścień), korzystając z
Jc
wyprowadzonych zależności, można wyznaczyć moment bezwładności , będący sumą
Ju Jb
momentu bezwładności bloczka i dodatkowego ciała :
Jc = Ju + J
(XI.10)
b
Jc Ju
Dokonując pomiarów momentu bezwładności bloczka bloczka razem z pierścieniem i
Jb
można wyznaczyć momentu bezwładności pierścienia dodatkowo umieszczonego na osi
bloczka:
Jb = Jc - Ju
(XI.11)
XII. Wyznaczenie prędkości lotu ciała
Bezpośredni pomiar prędkości lecącego ciała jest niełatwym zadaniem, jeżeli prędkość ta
osiąga stosunkowo duże wartości lub odbywa się na krótkim odcinku. Dlatego do tego
rodzaju pomiarów stosuje się metody pośrednie. Jedna z takich metod wykorzystuje zjawisko
zderzenia niesprężystego ciał.
Niech lecące ciało zderzy się idealnie niesprężyście z innym ciałem o znacznie większej
masie. Obie połączone masy zaczną się poruszać z prędkością tyle razy mniejszą od prędkości
badanego ciała, ile razy jego masa jest mniejsza od masy ciała większego (co wynika z prawa
zachowania pędu). Tą już znacznie mniejszą prędkość jest już łatwo określić i na podstawie
jej znajomości można obliczyć szukaną prędkość badanego ciała. Przedstawiona pokrótce
idea ma zastosowanie w metodzie wahadła balistycznego.
Schemat wahadła balistycznego przedstawiony jest na rysunku XII.1. Lecąca poziomo z
prędkością v kula o masie m zderza się niesprężyście z wahadłem balistycznym o masie M.
Ponieważ środek ciężkości układu wahadło i kula nie pokrywa się z promieniem zderzenia L,
do wyznaczenia prędkości v kuli należy zastosować zasadę zachowania momentu pędu w
postaci:
L mv = R (M + m) V
(XII.1)
stąd szukana prędkość:
R (M + m)V
v =
(XII.2)
L m
Rys. XII.1 Schematyczny rysunek wahadła balistycznego.
Prędkość V jaką uzyskuje środek ciężkości układu wahadło-kula w chwili tuż po uderzeniu
kuli można wyznaczyć z prawa zachowania energii napisanego dla środka ciężkości. Nabyta
po zderzeniu energia kinetyczna w miarę odchylania się wahadła od pionu przekształca się w
postać potencjalnÄ…, aż przy maksymalnym wychyleniu o kÄ…t Õ proces ten dobiegnie koÅ„ca i
wahadło na moment się zatrzyma. W wyniku środek ciężkości wahadła został uniesiony na
wysokość h . To oznacza, że słuszna jest zależność:
2
(XII.3)
V = 2 g h
Õ
Między wysokością h , a kątem istnieje prosty związek, a mianowicie:
Õ
h = R (1 - cos Õ ) = 2 R sin2
(XII.4)
2
Uwzględniając dwa powyższe związki wzór na szukaną prędkość uzyskuje ostateczną postać:
2 R (M + m) Õ
v = g R sin
(XII.5)
L m 2
Z zasady zachowania energii dla procesu zderzenia wynika, że:
Ek (kulki) = Ek (wahadla) + " E
(XII.6)
gdzie "E jest stratą energii zużytej na odkształcenie się kuli w wyniku zderzenia
niesprężystego. Zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami energia ta wynosi:
mv2
(XII.7)
" E = - (M + m)gh
2
Korzystając z wyznaczonej wartości v (XII.5) i zmierzonej wysokości h (XII.4) można
wyznaczyć energię strat zderzenia niesprężystego.