PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 1
Ćwiczenia 2  Połączenia śrubowe luz
ne
1) Stan naprężenia połączeń śrubowych
a) RozciÄ…ganie
Qc 4 Å"Qc
Ãr = = d" kr (1)
Ar Ä„ Å" dr2
gdzie:
Ãr  naprężenia normalne w Å›rubie, [MPa]
Ar  pole przekroju poprzecznego śruby, [mm2]
dr  średnica rdzenia śruby, [mm]
kr  naprężenia kryterialne w przypadku rozciągania, [MPa]
Qc  siła osiowa, [N]
1
Qc = Qw + Qp Å" (2)
ck
1 +
cs
gdzie:
Qw  napięcie wstępne, [N]
Qp  obciążenie robocze, [N]
ck  sztywność elementów ściskanych, [N/m]
cs  sztywność śruby, [N/m]
a.1) Wyznaczenie sztywności elementów ściskanych i śruby
Wyznaczenie sztywności elementów złącza jest jednym z etapów konstruowania połączenia. Zależność (3)
przedstawia ogólny wzór na sztywność.
EA
c = (3)
L
gdzie:
E  moduł Young a, [MPa]
A  pole przekroju poprzecznego, [mm2]
L  długość elementu (wymiar elementu wzdłuż działania siły), [mm]
W przypadku złącza śrubowego wyznacza się sztywności poszczególnych jego elementów (bierzemy pod uwagę
te elementu na które działa obciążenie robocze  tzn. rozciągana cześć śruby i ściskana część blach). W
przypadku śruby dzieli się ją na dwie części  gwintowaną i niegwintowaną. Dla każdej części śruby wyznacza
się oddzielnie sztywność. W kolejnym kroku wyznacza się sztywności zastępcze. Sztywność zastępczą można
wyznaczyć na podstawie podatności zastępczej opisanej wzorem (4).
N N
1 1 Li
= = (4)
" "
c ci i =1 Ei Å" Ai
i =1
Stąd podatność zastępczą śruby można wyznaczyć (patrz rys.1a):
1 L1 L2
= + (5)
cs Es Å" A1 Es Å" A2
gdzie:
Ä„ Å" dr2 Ä„ Å" d2
A1 = oraz A2 =
4 4
dr  średnica rdzenia śruby, [mm]
d  średnica śruby w części niegwintowanej, [mm]
Es  moduł Younga tworzywa śruby, [MPa]
L1, L2  długości odpowiednio odcinka gwintowanego i niegwintowanego rozciąganej części śruby (Rys.1a)
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 2
W przypadku elementów ściskanych sytuacja jest bardziej złożona. Wszystkie łączone elementy rozpatruje się
jako pakiet elementów ściskanych. Nie ma tu problemu na ile  części należy podzielić ten pakiet  jest to liczba
blach (każda blacha ma inną sztywność w zależności od grubości i tworzywa). Problem pojawia się przy
określaniu niezbędnych do wyznaczenia sztywności wymiarów geometrycznych blach. Z uwagi na to, że
połączenie śrubowe ma charakter zbliżony do punktowego, na stan odkształcenia/naprężenia złącza wpływ ma
tylko część blachy w jego najbliższym otoczeniu. Rzeczywisty wpływ siły ściskającej blachy na ich stan
odkształcenia nie jest znany. W związku z tym w obliczeniach inżynierski zakłada się przybliżony kształt strefy
naprężeń ściskających w elementach łączonych. Na rysunku 1a przedstawiono przybliżony kształt przyjmowany
w obliczeniach. Strefę naprężeń ściskających stanowią dwa ścięte stożki złączone większymi podstawami. Kąt
wierzchoÅ‚kowy przyjmowany jest okoÅ‚o 90º, wysokość każdego stożka jest równa gruboÅ›ci blachy a mniejsza
średnica jest równa średnicy oporowej łba śruby lub nakrętki (średnica powierzchni oporowej jest jedną z
wielkości podawanych w normach). Średnica otworu osiowego w stożku jest równa średnicy otworu pod śruby
d0. W celu ułatwienia dalszych obliczeń stożki te są zamieniane na walce drążone, których średnica wewnętrzna
pozostaje bez zmian, zaś średnica zewnętrzna jest średnią średnic podstaw stożka (górna blacha  rys. 1 b, c ,
dolna blacha rys. 1 d, e). Rysunek 1f przedstawia model strefy ściskania blach w postaci otrzymanych dwóch
drążonych walców.
D
90°
b)
a)
D+2L3
D+L3
c)
D+2L4
d)
f)
D
e)
D+L4
Rysunek 1. Modelowanie wpływu połączenia śrubowego na łączone elementy.
3
L
L
L
4
2
L
3
L
1
3
L
4
L
4
L
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 3
Sztywność elementów łączonych wyznaczamy przez wyznaczenie sztywności poszczególnych walców drążony
a następnie wyznaczenie sztywności zastępczej analogicznie jak dla śruby. Na podstawie zależności (4) można
wyrazić podatność zastępczą elementów łączonych:
1 L3 L4
= + (6)
ck E1 Å" Aw1 E2 Å" Aw 2
gdzie:
2 2
Ä„ Å"(D + L3 - d0) Ä„ Å"(D + L4 - d0)
Aw1 = oraz Aw1 =
4 4
E1, E2  moduły Younga tworzyw poszczególnych elementów ściskanych,
Aw1, Aw2  pole powierzchni walców drążonych
UWAGA:
Należy zwrócić uwagę studentom, że w przypadku łączenia większej liczby blach liczba składników w
zależności (6) jest zawsze równa liczbie blach (dla każdej blachy rozpatrujemy jeden walec drążony).
b) Rozciąganie i skręcanie
2
ëÅ‚ kr öÅ‚
2 ,c
ìÅ‚ ÷Å‚
à = à + Å"Äs ÷Å‚ d" kr (7)
z r
ìÅ‚
ks Å‚Å‚
íÅ‚
gdzie:
Ãz  naprężenia zredukowane, [MPa]
Äs  naprężenia styczne, [MPa]
kr,c  naprężenie kryterialne w przypadku rozciągania lub ściskania (dla stali kr = kc ), [MPa]
ks  naprężenia kryterialne w przypadku skręcania, [MPa]
c) Obciążenie poprzeczne
Ä„dr2
QT d" T = Qw Å" µ = Å" P Å" µ (8)
4
gdzie:
QT  siła poprzeczna, [N]
T  siła tarcia, [N]
µ  liczba tarcia
P  naciski powierzchniowe, [MPa]
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 4
2) Przykłady zadań
Zad.1.
Dwa pręty wysięgnika promieniowego połączono za pomocą złącza śrubowego ze śrubami luz
nymi jak na
rysunku. Obliczyć i dobrać wymagane wymiary śrub wiedząc, że:
SiÅ‚a wynosi Q=2,5Å"104 N
Liczba śrub wynosi n = 4
Liczba bezpieczeÅ„stwa wynosi ´ = 2,5
Q
Q
Stan naprężenia śruby:
Q
Ãr = d" kr (1.1)
n Å" Ar
W celu określenia własności wytrzymałościowych tworzywa śrub podaje się tzw. klasę własności
mechanicznych śruby. W każdej normie dotyczącej śrub jest wymieniona lista zalecanych klas własności
mechanicznych dla każdej grupy śrub. Zakładamy, że śruby będą klasy 5.6.
Na podstawie klasy własności mechanicznych śruby 5.6 wiadomo, że tworzywo śruby ma następujące własności
wytrzymałościowe:
Rm = 5 Å"100MPa = 500MPa (1.2)
Re = 0.6 Å" Rm = 300MPa (1.3)
stÄ…d:
Re
kr = = 120MPa (1.4)
´
a pole przekroju poprzecznego rdzenia śruby można wyrazić:
Ä„dr2
Ar = (1.5)
4
wówczas:
4 Å"Q
dr e" stÄ…d dr e" 8,143mm (1.6)
Ä„ Å" n Å" kr
Dobrano śrubę M10, dla której średnica rdzenia wynosi dr = 8,160 mm
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 5
Zad.2.
Korpus łożyska ślizgowego przymocowany jest do podstawy stalowej 4 śrubami. Skonstruować połączenie
śrubowe łączące korpus z podstawą, jeżeli obciążenie przenoszone przez łożysko jest równe R = 5000 N.
Tworzywo korpusu Zl300, tworzywo podstawy 45. Zadanie rozwiązać przy założeniach, że:
- między płaszczyznami styku korpusu łożyska i podstawy nie powstanie szczelina podczas
obciążenia zewnętrznego
- płaszczyzny styku nie mogą przemieszczać się względem siebie
- liczba bezpieczeÅ„stwa ´ = 1,5
R
N
z
Dane:
a = 30 mm
Ä…
b = 60 mm
c = 80 mm
S
h = 100 mm
H = 150 mm
Ä… = 30º
h
l = 55 mm
a
µ = 0,3
gk = 25 mm
gp = 20 mm
gk x
A
A
gp
środek ciężkości śrub
l (początek układu wsp.)
A - A
x
b
y
c
H
Rozkład obciążenia R na składowe N i S:
N = R sinÄ… = 2500N
Å„Å‚
(2.1)
òÅ‚
ółS = R cosą = 4330N
gdzie:
N  siła odrywająca korpus
S  siła przesuwająca korpus po powierzchni podstawy
Obciążenie robocze:
Qp = QN + QS (2.2)
gdzie:
QN  siła rozciągająca śrubę wywołana działaniem siły N
N
QN = (2.3)
n
QS  siła rozciągająca śrubę wywołana działaniem siły S. (Należy zwrócić studentom uwagę na fakt, że chociaż
siła S działa prostopadle do osi śrub to w śrubach po lewej stronie powoduje ona zwiększenie a w śrubach po
prawej zmniejszenie siły rozciągającej, co wynika z równania momentów względem środka ciężkości śrub 4.4)
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 6
n
QS Å" Å" l = S Å" h - N Å" a (2.4)
2
stÄ…d:
2(S Å" h - N Å" a)
QS = (2.5)
n Å" l
WstawiajÄ…c (4.3) i (4.5) do (4.2) otrzymujemy:
N 2(S Å" h - N Å" a)
Qp = + = 3880N (2.6)
n n Å" l
Zgodnie z założeniami zadania, aby nie powstała szczelina między powierzchniami styku musi być spełniony
następujący warunek (jest to warunek dla połączeń, od których nie wymaga się szczelności):
Qz e" 0,2 ÷ 0,6Qw (2.7)
gdzie:
Qw  napięcie wstępne śruby
Qz  zacisk resztkowy (w rozpatrywanym przypadku przyjęto )
Qz = 0,2 Å"Qw
Wyrażenie (4.8) określa warunek, jaki musi być spełniony, aby nie następowało wzajemne przemieszczenie
obydwu elementów (założenie drugie):
Qz Å" µ Å" n e" S (2.8)
wówczas na podstawie (4.7) i (4.8) można określić napięcie wstępne śruby:
S
Qw = = 18042N (2.9)
0,2 Å" µ Å" n
Na podstawie (4.6) i (4.9) można określić całkowite obciążenie śruby:
1
Qc = Qw + Qp Å" (2.10)
ck
1+
cs
W celu wyznaczenia obciążenia całkowitego śruby należy określić pozostałe wymiary geometryczne złącza
śrubowego (konieczność wyznaczenia sztywności elementów ściskanych i śrub), a następnie poddać założenia
weryfikacji
W związku z tym zakładamy śrubę: M20 x 1,5 x 80  6.8  B o długości części gwintowanej wynoszącej 46 mm.
Dane dodatkowe:
d0 = 21 mm  średnica otworu
dr = 18,16 mm  średnica rdzenia śruby
D = 27,7 mm  średnica pow. oporowej
Ldr
Ldr = 11 mm  długość rozciąganego odcinka
gk
gwintowanego śruby
Ld = 34 mm  długość niegwintowanego odcinka
Ld
gp
śruby
Es = E45 = 2,1·105 MPa  moduÅ‚ Younga materiałów Å›ruby
i korpusu
EZl300 = 1,1·105 MPa  moduÅ‚ Younga materiaÅ‚u podstawy
Na podstawie powyższych danych można określić sztywności elementów złącza śrubowego:
Podatność śruby:
Ä„ Å" dr2 Ä„ Å" d2
A1 = = 259mm2 oraz A2 = = 314,16mm2
4 4
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 7
1 Ldr Ld mm
= + = 7,18 Å"10-7 (2.11)
cs Es Å" A1 Es Å" A2 N
Podatność elementów ściskanych:
2
Ä„ Å"(D + gp - d0)
Ap = = 560mm2
4
2
Ä„ Å"(D + gk - d0)
Ak = = 789,2mm2
4
gdzie:
Ap, Ak  pola powierzchni przekrojów walców drążonych (patrz zalezność 6 i 7 w rozdz. 1)
gp
1 gk mm
= + = 4,58 Å"10-7 (2.12)
ck E45 Å" Ap EZl 300 Å" Ak N
Na podstawie (4.11) i (4.12) można zapisać:
ck
= 1,57 (2.13)
cs
Na podstawie (4.10) i (4.13) otrzymujemy:
Qc = 19551N (2.14)
Naprężenia kryterialne:
Na podstawie klasy wytrzymałości śrubu i liczby bezpieczeństwa wyznaczamy wartość naprężeń kryterialnych:
klasa śruby  6.8
stÄ…d
Rm = 600 MPa
Re = 480 MPa
wówczas:
Re
kr = = 192MPa (2.15)
´
Stan naprężenia:
4 Å"Qc 4 Å"19551N
Ãr = = = 75,48MPa d" kr (2.16)
Ä„ Å" dr2 3,14 Å" (18,16mm)2
Nośność śrub jest wystarczająca.
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 8
Zad.3.
Płaskowniki o wymiarach przekroju poprzecznego 10 x 100mm połączono śrubami luz
no pasowanymi (jak na
rysunku) i obciążono siłą P = 10 000 N. Kierunek działania siły jest prostopadły do osi śrub. Skonstruować
połączenie wiedząc, że płaskowniki wykonane są ze stali 30. Wielkość zakładki wynosi 100 mm. Liczba
bezpieczeÅ„stwa wynosi ´=2.
Powierzchnia styku (z=2)
0,5P
P
0,5P
Projektowane połączenie śrubowe powinno wytworzyć taką siłę tarcia między płaskownikami, aby po
obciążeniu złącza siłą P płaskowniki nie przesunęły się:
T e" P (3.1)
Siłę tarcia można wyznaczyć następująco:
T = Q Å" z Å" n Å" µ (3.2)
gdzie:
Q  siła rozciągająca jedną śrubę (zsumowane siły ze wszystkich śrub stanowią siłę ściskającą płaskowniki)
z  liczba powierchni styku łączonych elementów (w rozpatrywanym przypadku z=2)
n  liczba śrub w połączeniu
µ - liczba tarcia (stal po stali µ = 0,15)
Dobór cech geometrycznych tego połączenia można przeprowadzić dwoma sposobami:
wariant A:
Zakładamy liczbę śrub n, a następnie na jej podstawie wyliczamy średnicę rdzenia śruby dr co umozliwi dobór
średnicy śruby M.... (Tok rozumowania został już przedstawiony w zadaniu 1 !!!)
wariant B:
Zakładamy średnicę śruby M ..... a na jej podstawie wyznaczamy liczbę śrub n.
Dalsze postępowanie przebiegać będzie wg wariantu B.
Zakładamy śruby M10 klasy 4.8.
dr = 8,466 mm
Na podstawie klasy wytrzymałości śruby i liczby bezpieczeństwa wyznaczamy wartość naprężeń kryterialnych
dla śruby:
klasa śruby  4.8
stÄ…d
Rm = 400 MPa
Re = 320 MPa
wówczas:
Re
(3.3)
kr = = 160MPa
´
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 9
Stan naprężenia jednej śruby:
Q 4 Å"Q
à = = d" kr (3.4)
r
Ar Ä„ Å" dr2
stÄ…d:
Ä„ Å" dr2 Å" kr
Q d" = 9 Å"103N (3.5)
4
Q = 9000 N  maksymalna siła obciążająca jedną śrubę
Na podstawie zależności (2.1) i (2.2) można zapisać:
P
n e" = 3,7 (3.6)
Q Å" z Å" µ
StÄ…d n = 4
Projektowane złącze przedstawia poniższy rysunek:
d0 = 17 mm
Oprócz wyznaczenia niezbędnej liczby śrub należy sprawdzić, nie zostaną przekroczone dopuszczalne
naprężenia rozciągające płaskowniki. Należy zwrócić uwagę, że naprężenia te są wyznaczane w przekroju
płaskownika osłabionym otworami. Dla płaskowników 1 i 3 stan naprężenia opisuje zależność 3.7.
0,5 Å"P
à = = 6,4MPa d" kr (3.7)
(b - 2 Å" d0)Å" g
gdzie:
b  szerokość płaskowników = 100 mm
g  grubość płaskownika = 10 mm
kr  dopuszczalne naprężenia rozciągające płaskowniki  kr = 160 MPa
Dla płaskownika 2 stan naprężenia opisuje zależność 3.8
P
à = = 12,8MPa d" kr (3.8)
(b - 2 Å" d0)Å" g
Połączenie zostało skonstruowane poprawnie.
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 10
Zad. 4.
Obliczyć śruby łączące dwa wały obciążone momentem skręcającym Ms=600 Nm. Sześć śrub założonych z
luzem założono tak, że moment Ms przenoszony jest przez moment tarcia miedzy powierzchniami tarcz
uksztaÅ‚towanych na wale. Liczba tarcia µ = 0,15. Liczba bezpieczeÅ„stwa wynosi ´ = 2.6
Dw = 110 mm
D0 = 115 mm
Dz = 200 mm
n = 6
Ms
dA1
r
Ä
Wariant A  równomierny nacisk na powierzchni styku:
Przy luz
nych Å›rubach przenoszony moment Ms równoważony jest sumÄ… momentów jednostkowych siÅ‚ tarcia Ä
względem środka ciężkości powierzchni styku. Zakładamy, że łączone części są sztywne i nacisk p na
powierzchni styku jest równomierny  siły tarcia we wszystkich punktach powierzchni styku są jednakowe.
Ä = p Å" µ (4.1)
Ms = Å" r Å" dA1 = p Å" µ Å" r Å"dA1 = p Å" µ Å" Å" dA1 = p Å" µ Å"S0 (4.2)
+"Ä +" +"r
A1 A1 A1
gdzie:
S0  biegunowy moment statyczny powierzchni względem jej środka ciężkości
StÄ…d wymagany nacisk:
Ms
p = (4.3)
µ Å" S0
Nacisk ten wywołany jest przez napięcie wstępne śrub:
Q Å" n
p = (4.4)
A
Na podstawie (3.3) i (3.4):
Q Å" n Ms
= (4.5)
A µ Å"S0
stÄ…d:
Ms Å" A
Q = (4.6)
n Å" µ Å"S0
Wyznaczenie S0:
dr
r
rz
dA2 = 2 Å"Ä„ Å" Å" dr (4.7)
dA2
+"r
rw
UWAGA: należy zaznaczyć studentom, że dA1 i dA2 stanowią powierzchnie elementarne tego samego pola A.
Całkowanie po dA1 zostało zastosowane do określenia siły tarcia.
Całkowanie po dA2 zostało zastosowane do wyznaczenia momentu bezwładności S0.
0
Z
W
D
D
D
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 11
rz
rz
3
r 2 Å"Ä„
2 3
S0 = Å" dA2 = 2 Å"Ä„ Å" Å" dr = 2 Å"Ä„ Å" = Å"(rz3 - rw ) (4.8)
+"r +"r
3 3
A2 rw
rw
Pole powierzchni wówczas wynosi:
Ä„
2 2 2
A = Ä„ Å"(rz2 - rw )= (Dz - Dw ) (4.9)
4
wstawiajÄ…c (3.8) i (3.9) do (3.6) otrzymujemy:
Ä„ Ä„
2 2
Ms Å" Å"(Dz - Dw ) 600000 Å" (2002 -1102)
4 4
Q = = = 8367N (4.10)
îÅ‚ëÅ‚ öÅ‚3 ëÅ‚ öÅ‚3
2 Å"Ä„ Dz Dw Å‚Å‚ 6 Å" 0,15 Å" 2 Å"Ä„ 3 3
[(100) - (55) ]
n Å" µ Å" Å"
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚ śł
3
3 2
ïÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ 2 Å‚Å‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Stan naprężenia śruby:
Zakładamy śruby klasy 6.8 (Rm = 600MPa, Re = 480MPa)
4 Å"Q
Ãr = d" Zr (4.11)
Ä„ Å" dr2
gdzie:
Zr  naprężenia kryterialne
Re 480
kr = = = 185MPa (4.12)
´ 2,6
stÄ…d:
4 Å"Q
dr e" = 7,59mm (4.13)
Ä„ Å" kr
Przyjęto śrubę M10 x 1, dla której dr = 8,466 mm
Wariant B  nierównomierny nacisk na powierzchni styku
Jeżeli nacisk jest nierównomierny to między momentem napędowym i momentem tarcia zachodzi zależność:
Ms d" Mt (4.14)
Dm
Mt = T Å" (4.15)
2
gdzie Dm jest średnicą tarczy, na której działa siła T równą:
Dw + Dz
Dm = = 155mm (4.16)
2
stÄ…d:
Dm
Mt = Q Å" µ Å" n Å" (4.17)
2
wówczas:
4 Å"Q Ä„ Å" dr2
Ãr = d" kr Ò! Q d" Å" kr (4.18)
Ä„ Å" dr2 4
Ä„ Å" dr2 Dm
Mt = Å" kr Å" µ Å" n Å" e" Ms (4.19)
4 2
8 Å" Ms 8 Å" 600000
dr e" = = 7,69mm (4.20)
Ä„ Å" Zr Å" µ Å" n Å" Dm Ä„ Å"185 Å" 0,15 Å" 6 Å"155
Przyjęto śrubę M10 x 1, dla której dr = 8,466 mm
PKM  Ćwiczenia nr 2  Połączenia śrubowe luz
ne 12
Lteratura
[1] Dietrich M. et al., Podstawy konstrukcji maszyn. Tom 2, WNT, Warszawa 1995
[2] Garncarz G., Markusik S., Pomoce projektowe w budowie maszyn, Skrypt Pol. Åšl. nr
1817, Gliwice 1995
[3] Jaskóła Z. et al., Podstawy konstrukcji maszyn. Zasada optymalnego doboru
obciążenia, połączenia śrubowe, łożyska toczne, sprzęgło jakośrodek optymalizacji
obciążenia, Skrypt Pol. Śl. nr 1267, Gliwice 1987
[4] Niezgodziński M.E., Niezgodziński T., Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe,
WNT, Warszawa 1996
[5] Podstawy konstrukcji maszyn. Część II. Ditrych J. (red.), Korewa W. (red.), Zygmunt
K. (red.), WNT, Warszawa 1965
[6] Szewczyk K., PKM. Połączenia gwintowe, PWN, Warszawa 1991