KRYTERIA ALGEBRAICZNE STABILNOÅšCI UKA
ADÓW LINIOWYCH
Zadanie 1
Problem:
Zbadać stabilność układu zamkniętego przedstawionego na schemacie według kryterium Hurwitza.
x(t)
y(t)
G2(s)
G1(s)
Rys 1. Schemat układu regulacji
RozwiÄ…zanie:
Transmitancja układu
Transmitancja układu otwartego ma postać :
otwartego (1) powstała z
wymnożenia transmitancji w
6
bloczkach
Go (s)= (1)
s(4 + s)(2s + 1)
Transmitancja układu zamkniętego ma postać:
Go (s)
Gz (s)= (2) Transmitancja układu
1 + Go (s)
zamkniętego ma
postać (2) ponieważ
jest to układ ze
6
Gz (s)= (3)
sztywnym
s(4 + s)(2s + 1)+ 6
sprzężeniem
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma postać:
zwrotnym
s(4+s)(2s+1)+6=0
(4s+s2)(2s+1)+6=0
8s2+4s+2s3+s2+6=0
2s3+9s2+4s+6=0 (4)
Współczynniki wielomianu : a0=6 , a1=4 , a2=9 , a3=2
Liczymy stabilność układu:
Sprawdzamy warunki Hurwitza:
1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomianu dodatnie. W równaniu (4) wszystkie
współczynniki istnieją i są dodatnie , więc układ zamknięty może być stabilny , ale nie jest to pewne.
2)warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości większe od zera.
Stopień wielomianu n=3
Zgodnie z tabelą wyznacznik Hurwitza ma postać:
an-1 an 0 a2 a3 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a an-2 an-1 śł ïÅ‚a a1 a2 śł
" = = (5)
n n-3 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
n-5 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚a an-4 an-3 śł ïÅ‚ 0 0 a0 śł
9 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚6
"3 = 4 9śł = (9 Å" 4 Å" 6 + 0 Å" 2 Å" 9 + 0 Å" 0 Å" 6)-
ïÅ‚ śł
(6)
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 6ûÅ‚
- (0 Å" 0 Å" 4 + 9 Å" 9 Å" 0 + 6 Å" 6 Å" 2)= 216 - 72 =144 > 0
Podwyznacznik drugiego rzędu:
a2 a3 9 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Wyznacznik "2
" = =
2 ïÅ‚a a1 śł ïÅ‚6 4śł = 9 Å" 4 - 6 Å" 2 = 36 _12 = 24 > (7)
powstał przez
ðÅ‚ 0 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
wydzielenie
podwyznacznika z "3
Podwyznacznik pierwszego rzędu:
9 2 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚6
"1=a2=9>0 (8)
"3 = 4 9śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚0 0 0ûÅ‚
Drugi warunek Hurwitza jest spełniony, a zatem układ zamknięty jest stabilny.
Zadanie 2
Problem:
Zbadać stabilność układu regulacji przedstawionego na schemacie stosując kryterium Hurwitza . Sprawdzić
stabilność układu otwartego i zamkniętego.
x(t) y(t)
G1(s)
G2(s)
Rys.1.Schemat układu regulacji
RozwiÄ…zanie:
Transmitancje poszczególnych elementów:
5
G1(s)= (1)
s + 2
4
G2(s)= (2)
5s + 2 Transmitancja układu
otwartego powstała po
Transmitancja układu otwartego:
wymnożeniu
20
G0(s)= (3) transmitancji w
(s + 4)(5s + 2)
bloczkach
czyli wzorów (1) i (2)
Równanie charakterystyczne dla układu otwartego:
Równanie (4) powstaje
(s+4)(5s+2)=0 (4)
poprzez przyrównanie
5s2+22s+8=0 mianownika transmitancji
do zera
Współczynniki wielomianu: a2=5 , a1=22 , a0=8
Liczymy stabilność układu otwartego:
Sprawdzamy warunki Hurwitza:
1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomianu dodatnie. W równaniu (4) wszystkie
współczynniki istnieją i są dodatnie , więc układ zamknięty może być stabilny , ale nie jest to pewne.
2)warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości
Określamy wyznacznik
większe od zera.
Hurwitza (5) i jego
Stopień wielomianu n=2
podwyznacznik (6)
Zgodnie z tabelą wyznacznik "n="2 i ma postać:
an-1 an a1 a2 22 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 = = = 176 > 0 (5)
ïÅ‚a an-2śł = ïÅ‚ śł ïÅ‚
0 a0 0 8śł
ðÅ‚ n-3 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Podwyznacznik pierwszego stopnia:
"1 = an-1 = a1 = 22 > 0 (6)
Drugi warunek Hurwitza jest spełniony ponieważ wyznaczniki (5) i (6) są dodatnie , a zatem układ otwarty
jest stabilny.
Badamy układ zamknięty:
Transmitancja układu zamkniętego wynosi:
Transmitancja układu
zamkniętego ma wzór (7)
ponieważ układ jest ze
G1(s)
sprzężeniem zwrotnym
Gz (s)= (7)
1 + G1(s)G2(s)
Po podstawieniu wzorów (1) i (2) do wzoru (7) i wymnożeniu otrzymujemy:
25s +10
Gz(s) = (8)
5s2 + 22s + 28
Równanie charakterystyczne dla układu zamkniętego ma postać:
5s2+22s+28=0 (9)
Współczynniki wielomianu: a2=5,a1=22,a0=28
Liczymy stabilność układu zamkniętego:
Sprawdzamy warunki Hurwitza:
1)warunek konieczny-wszystkie współczynniki wielomianu dodatnie. W równaniu (9) wszystkie
współczynniki istnieją i są dodatnie , więc układ zamknięty może być stabilny , ale nie jest to pewne.
2)warunek wystarczający-wyznaczniki Hurwitza i jego podwyznaczniki mają wartości większe od zera.
Stopień wielomianu n=2
Zgodnie z tabelą wyznaczników obliczamy wyznacznik Hurwitza "2 i jego
Podwyznacznik pierwszego
podwyznacznik "1:
stopnia powstał z wydzielenia
z wyznacznika Hurwitza "2:
Podwyznacznik pierwszego stopnia:
22 5
îÅ‚ Å‚Å‚
"1 = an-1 = a1 = 22 > 0 (10)
"2 =ïÅ‚
0 28śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Wyznacznik drugiego stopnia:
an-1 an a1 a2 22 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"2 = = =
ïÅ‚a an-2śł = ïÅ‚ śł ïÅ‚
0 a0 0 28śł (11)
ðÅ‚ n-3 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
= 22 Å" 28 - 5 Å" 0 = 616 > 0
Drugi warunek Hurwitza jest spełniony. Wszystkie wyznaczniki (10), (11) są większe od zera więc układ
zamknięty także jest stabilny.
Zadanie 3
Problem: Układ regulacji składa się z obiektu regulacji opisanego równaniem różniczkowym:
ToÅ" dy + y = k Å" x
dt
oraz , regulatora opisanego równaniem różniczkowym:
T1Å" dx + x = T2 Å" de
dt dt
e(t)
yzad(t) x(t)
+
y(t)
R OR
-
Rys.1. Schemat blokowy układu
Zbadać stabilność układu zamkniętego.
Dane:
To = 20 [s], T2 = 10 [s], T1 = 2[s] , k =5, k2 =3, przyjmujÄ…c zerowe warunki poczÄ…tkowe.
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy transmitancje operatorowÄ… obiektu:
dy
20Å" + y = 5Å" x
TransformatÄ™ operatorowa obiektu
dt
można wyznaczyć przez
wyznaczenie transformaty
20sÅ"Y (s) + Y (s) = 5 Å" X (s)
Laplace a .
Y (s)
G(s) =
X (s)
Y (s) 5
G(s) = = (1)
X (s) 20s +1
Wyznaczamy transmitancje operatorowÄ… regulatora:
TransformatÄ™ operatorowa
dx de
regulatora można wyznaczyć przez
2Å" + x = 10 Å"
dt dt wyznaczenie transformaty
Laplace a.
2Å" s Å" X (s) +X(s) = 10 E(s)
X (s) 10s
H(s) = = (2)
E(s) 20s +1
Transmitancja operatorowa układu otwartego:
Transformatę operatorową układu
5 10s
otwartego powstała z wymnożenia
Go(s) = G(s) H(s) = Å"
G0(s) = G(s) * H(s) (3)
2s +1 20s +1
(3)
50s
Go(s) =
(20s +1) Å" (2s +1)
Wyznaczamy równanie charakterystyczne układu:
Równanie charakterystyczne
50s to można obliczyć stosując
1+ = 0 (4)
wzór : 1+Go(s) = 0
(20s +1) Å" (2s +1)
Aby wyznaczyć równanie
charakterystyczne układu
(20s+1)(2s+1) + 50s = 0
należy przyrównać do zera
40s2 + 20s + 2s +1 + 50s = 0
mianownik i wyliczyć
pierwiastki.
40s2 + 72s + 1 = 0
(5)
" = 5024 Obliczamy " oraz pierwiastki
s1,s2 na podstawie wzorów
s1= = -1,785
" = b2  4 a c
s2 = = -0,015
b Ä… "
s1,2 =
2a
W tym przypadku widać bezpośrednio , że układ zamknięty jest stabilny, ponieważ oba pierwiastki
istnieją i mają wartości rzeczywiste mniejsze od zera s1,2 <0.