Analiza Matematyczna 1
zaliczenie  zestaw przyk adowy (D)
cz. 1
1. (a) Obliczyć granice ciag w:
"
1 + (3)n
2
an = n2 - n - n, bn = " .
n
4n + 3n + 5
(-1)n
(b) Wykazać, że nie istnieje granica ciagu (cn), jeśli cn = (1 + )2n.
n
2n
(c) Zbadać monotoniczność ciagu (dn), jeśli dn =
(2n)!
2. Zbadać ciaglość funkcji f określonej wzorem:
Å„Å‚
sin(2x)
ôÅ‚
ôÅ‚
, x < 0,
ôÅ‚
òÅ‚
sin(3x)
2
f(x) =
, x = 0,
3
ôÅ‚
ôÅ‚ Ä„
ôÅ‚
ół
, x > 0.
arctg x
2x
3. Wyznaczyć dziedzine i asymptoty wykresu funkcji f(x) = ex+3 .
cz. 2
"
1. Obliczyć pochodna funkcji: f(x) = x3 arcsin 2x - 1) - cos2 3x.
2. Obliczyć granice (H): (a) lim (x2 - e2x), (b) lim xsin x.
x+"
x0+
ex
3. (a) Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedzialy monotoniczności funkcji f(x) = .
x2
(b) Wyznaczyć punkty przegiecia, przedzialy wypuklości i wkleslości funkcji f(x) = ln(4 + x2).
(c) Wyznaczyć max f(x) oraz min f(x), jeśli f(x) = ln(4 + x2).
x"[-1,2] x"[-1,2]
4. Naszkicować wykres funkcji f : , jeśli
f (x) > 0 dla x " (0, 4), f (x) < 0 dla x < 2, x1 = 2  ekstremum lokalne,
x2 = 0  punkt przegiecia, lim f(x) = 3, limf(x) = ", lim (f(x) + x) = 0.
x-" x4 x"
cz. 3
1. Obliczyć calki:
x2 cos x
(a) dx, (b) dx, (c) xe2xdx, (d) sin(ln x)dx.
x2 + 4x + 4
sin2 x + 3 sin x
2. Obliczyć dlugość luku krzywej opisanej parametrycznie:
x(t) = sin3 t, y(t) = cos3 t, t " [0, Ä„].
3. Wyznaczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi o r wnaniach:
1
y = ln x, y = 1 - x, x = .
e