Rozdział I Liczby zespolone
ż 1. Wprowadzenie, (dodawanie liczb zespolonych)
[6]
Definicja 1.
Niech C = R × R = {(a,b): a, b " R}.
W zbiorze C wprowadzimy działanie + ,
(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d).
[6]
Twierdzenie 1.
Działanie + jest łączne tj. ((a,b) + (c,d )) + (e,f ) = (a,b) + ((c,d ) + (e,f ))
dla każdego (a,b), (c,d ), (e,f )" C .
Dowód.
L = ((a,b) + (c,d )) + (e,f ) = (a + c,b + d ) + (e,f )
= (a + (c + e),b + (d + f )) = (a,b) + ((c,d ) + (e,f )) = P .
[6]
Twierdzenie 2.
Para uporządkowana (0,0) jest elementem neutralnym działania + ,
(a,b) + (0,0) = (0,0) + (a,b) = (a,b) dla każdego (a,b)" C .
Dowód.
(a, b) + (0,0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).
[6]
Twierdzenie 3.
Elementem przeciwnym w sensie działania + , do elementu
(a,b)" C jest (- a, - b).
http://chomikuj.pl/aligatorro 5
Dowód.
(a,b) + (- a,-b) = (a + (- a), b + (- b)) = (0,0).
[6]
Definicja 2.
Parę (- a, - b) będziemy nazywać elementem przeciwnym do elementu
(a,b) i będziemy oznaczać przez - (a,b).
[6]
Twierdzenie 4.
Działanie + jest przemienne, (a, b) + (c, d ) = (c, d) + (a, b)
dla (a, b), (c, d) " C .
Dowód.
(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ) = (c + a, d + b) = (c, d ) + (a, b).
[3]
Wniosek 5.
Zbiór C wraz z działaniem + jest grupą przemienną.
ż 2. Mnożenie
W zbiorze C wprowadzamy działanie o określone wzorem
(a, b)o (c, d ) = (ac - bd, ad + bc) dla (a, b), (c, d) " C .
W celu ułatwienia, znak o , będziemy zapisywać tylko dla mnożenia
przez liczby rzeczywiste zapisane za pomocÄ… cyfr oraz wyjÄ…tkowo
w twierdzeniu 21 i wniosku 51. W pozostałych przypadkach symbol ten
będziemy opuszczać.
[6]
Twierdzenie 6.
Działanie mnożenia jest łączne, (a, b)((c, d)(e, f )) = ((a, b)(c, d))(e, f ).
http://chomikuj.pl/aligatorro 6
Dowód.
L = (a, b)((c, d )(e, f )) = (a, b)(ce - df , cf + de) =
= (a(ce - df ) - b(cf + de), a(cf + de) + b(ce - df )) =
= (ace - adf - bcf - bde, acf + ade + bce - bdf )
oraz
P = ((a, b)(c, d ))(e, f ) = (ac - bd, ad + bc)(e, f ) =
= ((ac - bd)e - (ad + bc)f , (ad + bc)e + (ac - bd)f ) =
= (ace - bde - adf - bcf , ade + bce + acf - bdf ) =
= (ace - adf - bcf - bde, acf + ade + bce - bdf ),
L = P , więc twierdzenie zostało udowodnione.
[6]
Twierdzenie 7.
Element (1,0) jest elementem neutralnym (działania mnożenia) o ,
(a, b)(1,0) = (1,0)(a, b) = (a, b) dla każdego (a, b) " C .
Dowód.
(a, b)(1,0) = (a o 1 - b o 0, a o 0 + b o 1) = (a, b).
[6]
Twierdzenie 8.
Elementem odwrotnym w sensie działania o do elementu (a, b) " C ,
a - b
ëÅ‚ öÅ‚
gdzie (a, b) `" (0,0) jest , .
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ a2 + b2 a2 + b2 Å‚Å‚
Dowód.
- b
öÅ‚
(a, b)ëÅ‚ a , =
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ a2 + b2 a2 + b2 Å‚Å‚
a - b - b a
ëÅ‚ öÅ‚
= a - b , a + b =
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
a2 + b2 - ab + ab
ìÅ‚ ÷Å‚
= , = (1,0).
ìÅ‚
a2 + b2 a2 + b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
http://chomikuj.pl/aligatorro 7
 [6]
Twierdzenie 9.
Działanie o jest przemienne, (a, b)(c, d) = (c, d )(a, b)
dla (a, b), (c, d) " C .
Dowód.
(a, b)(c, d ) = (ac - bd, ad + bc) = (ca - db, da + cb) =
= (ca - db, cb + da) = (c, d )(a, b).
Wniosek 10. [3]
Para (C \ {(0,0)},o) jest grupÄ… przemiennÄ….
ż 3. Rozdzielność mnożenia względem dodawania
[6]
Twierdzenie 11.
Działanie o jest rozdzielne względem + ,
(a, b)((c, d ) + (e, f )) = ((a, b)(c, d)) + ((a, b)(e, f ))
dla (a,b), (c,d), (e, f )"C .
Dowód.
(a, b)((c, d ) + (e, f )) = (a, b)(c + e, d + f ) =
= (a(c + e)- b(d + f ),a(d + f )+ b(c + e))=
= (ac + ae - bd - bf ,ad + af + bc + be)
oraz
((a,b)(c,d))+ ((a,b)(e, f ))= (ac - bd,ad + bc)+ (ae - bf ,af + be)=
= (ac - bd + ae - bf ,ad + bc + af + be) =
= (ac + ae - bd - bf ,ad + af + bc + be).
Wniosek 12. [3]
Układ (C, +, o, (0,0), (1,0)) jest ciałem.
http://chomikuj.pl/aligatorro 8
Definicja 3.
Ciało (C, +, o, (0,0), (1,0)) nazywamy ciałem liczb zespolonych.
Elementy tego ciała nazywamy liczbami zespolonymi.
ż 4. Ciało liczb rzeczywistych jako podciało
ciała liczb zespolonych
Twierdzenie 13.
Dla dowolnych a,b" R mamy
(a,0)+ (b,0)= (a + b,0), (a,0)(b,0) = (ab,0).
Dowód.
(a,0)+ (b,0)= (a + b,0 + 0)= (a + b,0),
(a,0)(b,0)= (ab - 0 o 0,a o 0 + b o 0)= (ab,0).
Z twierdzenia 13 wynikają dwa ważne wnioski.
Wniosek 14. [3]
~
Zbiór R = {(a,0): a " R} jest podciałem ciała C ze względu na działania
+ , o dziedziczone z C .
Wniosek 15. [3]
~
Ciało R liczb rzeczywistych i ciało R są izomorficzne. Izomorfizmem
~
f : R R jest odwzorowanie określone wzorem f (a)= (a,0) dla a " R .
Dowód.
f (a + b)= (a + b,0)= (a,0)+ (b,0)= f (a)+ f (b),
f (ab)= (ab,0)= (a,0)(b,0)= f (a)f (b) dla dowolnych a , b" R .
http://chomikuj.pl/aligatorro 9
Ponadto f (1)= (1,0), f (0)= (0,0).
Uwaga. Odpowiadające sobie przy izomorfizmie elementy ciał
~
R i R będziemy identyfikować.
ż 5. Liczba i
[6]
Twierdzenie 16.
Element i = (0,1), nazywamy jednostką urojoną, spełniającą warunki:
1. i2 = -1,
2. i = -1 ,
3. (- i)2 = -1.
Dowód.
i2 = (0,1)(0,1) = (0 o 0 - 1 o 1,0 o 1 + 1 o 0) = (- 1,0) = -1,
(- i)2 = (0,-1)(0,-1) = (0 o 0 - (- 1) o (- 1),0 o (- 1) + (- 1) o 0) =
= (- 1,0) = -1.
Wniosek 17. [6]
Dla dowolnej liczby zespolonej (a,b)"C zachodzi równość
(a,b)= a + bi .
Dowód.
(a, b) = (a,0) + (0, b) = (a,0) + (b,0)(0,1) = a + bi .
http://chomikuj.pl/aligatorro 10
ż 6. Moduł, część rzeczywista i część urojona
liczby zespolonej
[6]
Definicja 4.
Modułem liczby zespolonej a + bi , nazywamy liczbę rzeczywistą
nieujemnÄ… a2 + b2 i oznaczamy jÄ… przez a + bi .
[6]
Definicja 5.
Niech re (a + bi)= a , im (a + bi)= b. Wówczas a nazywamy częścią
rzeczywistą zaś b częścią urojoną liczby zespolonej a + bi .
Wniosek 18. [6]
Dla każdego z = (a + bi) mamy re z d" z , im z d" z .
Dowód.
re z = a d" a d" a2 + b2 = z ,
im z = b d" b d" a2 + b2 = z .
[6]
Twierdzenie 19.
Dla dowolnych z1, z2 "C mamy z1z2 = z1 z2 .
Dowód.
Niech z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i .
Wtedy
z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i - b1b2 =
= (a1a2 - b1b2)+ (a1b2 + a2b1) i = (a1a2 - b1b2)2 + (a1b2 + a2b1)2 =
= a12a22 - 2a1a2b1b2 + b12b22 + a12b22 + 2a1b2a2b1 + a22b12 =
http://chomikuj.pl/aligatorro 11
= a12(a22 + b22)+ b12(a22 + b22)= (a12 + b12)(a22 + b22)=
= a12 + b12 a22 + b22 = z1 z2 .
[6]
Twierdzenie 20.
Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 , gdzie z2 `" 0, mamy
z1
z1
= .
z2 z2
Dowód.
z1
z1 = z2 .
z2
z1 z1
z1 = z2 = z2 .
z2 z2
z1
z1
StÄ…d = .
z2 z2
Z twierdzenia 20 wynika
[6]
Twierdzenie 21.
Dla dowolnych liczb zespolonych z1,..., zn , z1 o ... o zn = z1 o ... o zn .
[6]
Twierdzenie 22.
re (z1 + z2)= re z1 + re z2 , im (z1 + z2)= im z1 + im z2 .
Dowód.
Niech z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i .
Wtedy re (z1 + z2)= re (a1 + b1i + a2 + b2i)= re ((a1 + a2 )+ (b1 + b2)i)=
= a1 + a2 = re z1 + re z2 ,
http://chomikuj.pl/aligatorro 12
im (z1 + z2) = im (a1 + b1i + a2 + b2i) = im ((a1 + a2) + (b1 + b2)i) =
= b1 + b2 = im z1 + im z2 .
[6]
Twierdzenie 23.
Dla dowolnej liczby zespolonej z mamy re z d" z i im z d" z .
[6]
Twierdzenie 24.
Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 mamy z1 + z2 e" z1 + z2 .
Dowód.
Możemy założyć, że z1 + z2 `" 0.
z1 + z2 z1 z2
Wtedy 1 = = + , więc zgodnie z twierdzeniem 22
z1 + z2 z1 + z2 z1 + z2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
z1 z2 z1 z2
ìÅ‚ = re ìÅ‚ + re ìÅ‚
1 = re ìÅ‚ + ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
z1 + z2 z1 + z2 ÷Å‚ íÅ‚ z1 + z2 ÷Å‚ íÅ‚ z1 + z2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
z1 z2
ìÅ‚ + re ìÅ‚
i na mocy wniosku 18 re ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ d"
z1 + z2 ÷Å‚ íÅ‚ z1 + z2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
z1 z2
z1 z2
d" + = + ,
z1 + z2 z1 + z2 z1 + z2 z1 + z2
z1 z2
1d" + ,
z1 + z2 z1 + z2
z1 + z2 d" z1 + z2 .
[6]
Twierdzenie 25.
Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 mamy z1 - z2 d" z1 + z2 .
Dowód.
z1 = (z1 + z2) - z2 d" (z1 + z2) + z2 . Na mocy twierdzenia 24 mamy
http://chomikuj.pl/aligatorro 13
(z1 + z2) + z2 d" z1 + z2 + z2 .
StÄ…d z1 d" z1 + z2 + z2 ,
z1 - z2 d" z1 + z2 .
Podobnie z2 = (z1 + z2) - z1 d" (z1 + z2) + z1 d" z1 + z2 + z1 ,
z2 - z1 d" z1 + z2 ,
- (z1 - z2 )d" z1 + z2 ,
z1 + z2 e" z1 - z2 .
ż 7. Sprzężenie liczby zespolonej
[6]
Definicja 6.
Niech z = a + bi . Liczbę z = a - bi nazywamy liczbą sprzężoną do z .
Wniosek 26. [6]
z1 z1z2
Jeżeli z1, z2 " C i z2 `" 0, to = .
z2 z2 2
Dowód.
z1 z1z2 z1z2
= = dla z2 `" 0.
z2 z2z2 z2 2
[1]
Przykład 1.
Dane sÄ… liczby z1 = 2 + 3i , z2 = 1 - i .
z1
Obliczymy z1 + z2, z1 - z2 , z1z2 , .
z2
Mamy z1 + z2 = (2 + 3i)+ (1 - i)= 2 + 1 + 3i - i = 3 + 2i ;
z1 - z2 = (2 + 3i)- (1- i)= (2 -1+ 3i + i)=1+ 4i ;
http://chomikuj.pl/aligatorro 14
z1z2 = (2 + 3i)(1 - i)= 2 o1 - 2i + 3i o1 + 3 = 5 + i ;
z1 z1z2 (2 + 3i)(1 + i) - 1 + 5i 1 5
= = = = - + i .
z2 z2z2 (1 - i)(1 + i) 2 2 2
[6]
Twierdzenie 27.
Dla dowolnej liczby zespolonej z spełnione jest równanie z = z .
Dowód.
z = a - bi = a + (- b)i = a2 + b2 = z .
[6]
Twierdzenie 28.
Dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi równość (z) = z .
Dowód.
(z)= (a - bi)= a - (- b) i = a + bi = z .
[6]
Twierdzenie 29.
Dla dowolnych liczb zespolonych z1, z2 mamy:
1. (z1 + z2) = z1 + z2 .
2. (z1z2) = z1z2 .
3. (z1 - z2) = z1 - z2 .
Dowód.
Niech z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i .
1. z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i =
= (a1 + a2) - (b1 + b2)i = a1 + a2 - b1i - b2i =
= a1 - b1i + a2 - b2i = z1 + z2 .
2. z1z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i - b1b2 =
= (a1a2 - b1b2 )- (a1b2 + a2b1) i = (a1a2 - b1b2)- (b1a2 + a1b2) i =
http://chomikuj.pl/aligatorro 15
= (a1 - b1i)(a2 - b2i)= z1z2 .
3. z1 - z2 = (a1 + b1i)- (a2 + b2i)= (a1 - a2)+ (b1 - b2)i =
= (a1 - a2)- (b1 - b2)i = a1 - a2 - b1i + b2i =
= a1 - b1i - a2 + b2i = (a1 - b1i)- (a2 - b2i)= z1 - z2 .
http://chomikuj.pl/aligatorro 16