W O J S K O W A A K A D E M I A T E C H N I C Z N A
ZAKA
AD GEODEZJI I TOPOGRAFII
dr inż. & .
GEODEZYJNE POMIARY SZCZEGÓA
OWE
SEMESTR VI
Warszawa 2003 r.
SPIS TREÅšCI
 2
CZ
ŚĆ I.
1. TRANSFORMACJA SIECI LOKALNEJ DO UKA
ADU PAC
STWOWEGO...............3
1.1. Sieci lokalne (niezależne) i ich zastosowanie................3
1.2. Ogólne pojęcie transformacji...............4
1.3. Krótki przegląd metod transformacji................5
1.3.1. Transformacja za pomocą wzorów odwzorowawczych..............5
1.3.2. Transformacja współrzędnych płaskich metodą afiniczną...............5
1.3.3. Graficzna interpolacja poprawek do współrzędnych (transformacja graficzna).............7
1.3.4. Transformacja współrzędnych płaskich metodą dostosowań..............7
1.3.5. Transformacja współrzędnych metodą Weigla  Morpurgo...............8
1.4. Automatyzacja obliczeń transformacyjnych.............9
2. NIWELACJA TRYGONOMETRYCZNA...............9
2.1. KrÄ…g pionowy teodolitu i jego teoria...............9
2.2. Wyznaczenie błędu indeksu (miejsca zera)..............11
2.3. Sprawdzenie i usunięcie błędu indeksu (miejsca zera)...............12
2.4. Pomiar i obliczenie wysokości................11
2.5. Wpływ krzywizny Ziemi i refrakcji na pomiar kątów pionowych..............15
2.6. Dokładność niwelacji trygonometrycznej..................17
2.7. Wyznaczanie współczynnika refrakcji dla celów praktycznych...............18
3. POMIAR K
TÓW PIONOWYCH..............19
CZ
ŚĆ II.
1. WYZNACZANIE PUNKTÓW OSNÓW SZCZEGÓA
OWYCH...............21
2. METODA WCI
Ć...............22
2.1. Rodzaje wcięć geodezyjnych................23
2.1.1. Wyznaczanie współrzędnych wcięciem w przód..............24
2.1.2. Wyznaczanie współrzędnych wcięciem wstecz..............28
2.1.3. Wyznaczanie współrzędnych wcięciem liniowym..............31
2.1.4. Wyznaczanie współrzędnych wcięciem kombinowanym................32
2.1.5. Wyznaczanie współrzędnych sposobem Hansena...............32
2.2. Zasady wyrównywania wcięcia wielokrotnego................34
3. ANALIZA DOKA
ADNOŚCI WYZNACZENIA POJEDYNCZYCH PUNKTÓW.............36
3.1. Wstęgi wahań..............36
3.1.1. Ocena poprawności konstrukcji geodezyjnych za pomocą wstęg wahań.............37
3.1.2. Skrócona analiza dokładności wyznaczenia współrzędnych za pomocą wzorów..............40
4. PUNKTY PRZENIESIENIA.................42
4.1. Przeniesienie współrzędnych za pomocą bezpośredniego pomiaru elementów przeniesienia................42
4.2. Przeniesienie współrzędnych z pośrednim wyznaczeniem elementów przeniesienia...............43
LITERATURA..................44
 3
CZ
ŚĆ I.
1. TRANSFORMACJA SIECI LOKALNEJ DO UKA
ADU PAC
STWOWEGO.
2. NIWELACJA TRYGONOMETRYCZNA. 3. POMIAR K
TÓW PIONOWYCH.
1. TRANSFORMACJA SIECI LOKALNEJ DO UKA
ADU PAC
STWOWEGO.
1.1 SIECI LOKALNE (NIEZALEŻNE) I ICH STOSOWANIE.
Pomiary geodezyjne, na podstawie których określane jest położenie punktów w
terenie powinny być odniesione do jednolitego, państwowego układu współrzędnych i
przedstawione w takiej formie, która pozwoli na umieszczenie ich w banku informacji o
terenie. Dlatego też, zakładane sieci nawiązane tworzą osnowę państwową, na której
oparte sÄ… pomiary zwiÄ…zane z szeroko rozumianym wykonawstwem geodezyjnym, a
przede wszystkim opracowanie map topograficznych i wielkoskalowych.
Jednakże, do realizacji wielu zadań specjalnych z dziedziny geodezji, między innymi
do obsługi geodezyjnej niektórych inwestycji, wymagających dużej dokładności wyniesienia
projektu na grunt zakłada się niezależne konstrukcje geodezyjne. Okazuje się bowiem, że
istniejąca w danym terenie sieć punktów nie spełnia kryteriów dokładnościowych.
Powodem tego mogą być zniekształcenia liniowe odwzorowania kartograficznego,
które w wypadku odwzorowania Gaussa-Krügera na skraju trzystopniowych pasów mogÄ…
sięgać około 15 cm na 1 kilometr, co daje błąd względny 1:6700, zaś na skrajach strefy
sześciostopniowej dochodzą one do 56 cm.
W tych przypadkach, kiedy dokładność osnowy państwowej jest niewystarczająca,
albo jej rozmieszczenie i zagęszczenie nie jest dostosowane do konkretnych potrzeb,
zakłada się sieć niezależną (lokalną), czyli nie dowiązaną do punktów osnowy
państwowej wyższej klasy.
Stosowanie układów lokalnych jest preferowane dla osnów miejskich. Najczęściej
jeden z punktów przyjmuje się jako początek układu ( x=0; y=0 ); a azymut jednego z
boków jest przyjęty dowolnie, lub określony metodą przybliżoną. Skala sieci jest nadana
przez pomiar jednego z boków.
Sieci niezależne dzieli się na sieci podstawowe i sieci zagęszczające. Sieci
podstawowe są to przeważnie wielopunktowe grupy o odległościach między punktami
rzędu kilku kilometrów. Mogą to być układy centralne, czworoboki geodezyjne, pojedyncze,
lub podwójne łańcuchy trójkątów triangulacyjnych albo logiczne kombinacje tych figur.
Kształt tych sieci zależy od zadań do jakich są tworzone, od kształtu powierzchni zabudowy
miasta itd.
Obecnie obowiązujące przepisy zalecają likwidację istniejących lokalnych układów
współrzędnych i zastępowanie ich obowiązującym układem państwowym. Dotyczy to
przede wszystkim dużych układów założonych dla miast, kopalń i wielkich zakładów
przemysłowych. Pod słowem  likwidacja rozumieć należy nie fizyczne zniszczenie
stabilizacji i współrzędnych lub operatów pomiarowych, lecz przeliczenie współrzędnych
punktów układu lokalnego do układu państwowego. Wydaje się, że praca ta została na
terytorium Polski wykonana. Jednakże, zawsze tam, gdzie będzie uzasadnienie do
wykonania sieci w lokalnym układzie współrzędnych, należy takie prace zaprojektować i
przeprowadzić, lecz po zakończeniu robót wszelkie dane geodezyjne należy
przetransformować do układu państwowego. Jest to typowe, często występujące zadanie
obliczeniowe i dotyczyć może zarówno transformacji płaszczyznowej, tzn. punktów
położonych na niewielkich obszarach, jak i fragmentów dużych sieci położonych na
 4
znacznych połaciach kraju, obliczonych z zastosowaniem różnych odwzorowań, opartych
na różnych elipsoidach odniesienia itd.
1.2. OGÓLNE POJ
CIE TRANSFORMACJI.
Transformacją układów lub transformacją współrzędnych nazywamy zadanie
obliczenia współrzędnych w jednym (nowym) układzie, gdy dane są współrzędne w
układzie innym (starym), oraz gdy dana jest oprócz tego odpowiednia liczba punktów
wspólnych.
Rozróżnić tu trzeba szereg różnych przypadków. Po pierwsze - oba układy mogą
być jednakowe w sensie tego samego odwzorowania, np. oba układy nowy i stary są
układami soldnerowskimi, lub oba układami gaussowskimi. W tym przypadku możemy
mieć do czynienia z układami w pasach 3- lub 6-stopniowych. Po drugie  układy
współrzędnych są zdefiniowane za pomocą różnych odwzorowań, np. układ stary jest
układem soldnerowskim, zaś układ nowy układem gaussowskim lub odwrotnie. Po
trzecie- jeden z układów współrzędnych np. stary, nie jest nam znany, tzn. że nie jest
znane odwzorowanie, w którym podane są współrzędne punktów, natomiast znany jest
układ nowy. Współrzędne płaskie tego samego punktu różnią się między sobą, jeśli zostały
otrzymane przez różne odwzorowania, ale mogą też różnić się wskutek przynależności do
różnych pasów, podczas gdy rodzaj odwzorowania jest ten sam. Oprócz tego układy
współrzędnych mogą być założone na różnych elipsoidach.
Należy jeszcze rozróżnić transformację układów obejmującą niewielkie obszary i
transformację na obszarach dużych, a w związku z tym  transformację współrzędnych
prostokątnych płaskich oraz transformację współrzędnych geograficznych.
Na terenie naszego kraju spotykamy siÄ™ z rozmaitymi zagadnieniami
transformacyjnymi. Spotyka się tu bowiem dość często dawne układy soldnerowskie w
sieciach poniemieckich, głównie w różnych sieciach lokalnych. Układy te odniesione
zostały do elipsoidy Bessela, z różnymi punktami przyłożenia, z różnymi południkami
centralnymi i punktami poczÄ…tkowymi.
Na terenach byłego zaboru austriackiego spotykamy układy katastralne austriackie,
mianowicie: lwowski z początkiem układu na kopcu Unii Lubelskiej we Lwowie, wiedeński
(na terenie Śląska Cieszyńskiego) z początkiem na Hermanskogel (kościół św. Stefana w
Wiedniu) oraz układ węgierski na Spiszu i Orawie.
Na terenach byłego zaboru rosyjskiego spotykamy układy rosyjskie z początkiem w
punkcie triangulacyjnym Dorpat I oraz w punkcie Dorpat II, następnie układ rosyjski z
początkiem w Niemieżu na elipsoidzie Walbecka, oraz inny układ rosyjski z początkiem
Warszawa-Obserwatorium na tzw. elipsoidzie wyrównującej.
W okresie międzywojennym w Polsce dla służby cywilnej istniało 5 układów 2-
stopniowych Gaussa-Krügera. Także w poczÄ…tkowym okresie po drugiej wojnie Å›wiatowej
przyjęte były układy gaussowskie na elipsoidzie Bessela z punktem przyłożenia Borowa
Góra. Dla celów topograficznych i wojskowych w okresie międzywojennym został przyjęty
układ Roussilhe a-Grabowskiego, również na elipsoidzie Bessela z punktem przyłożenia
okreÅ›lonym współrzÄ™dnymi  = 22°, Ć = 52°. W tym okresie zaÅ‚ożono szereg ukÅ‚adów dla
miast, dużych okręgów przemysłowych. Również w czasie wojny, na terenach
okupowanych ziem polskich założono szereg układów gaussowskich na elipsoidzie
Bessela, z punktem poczÄ…tkowym w Rauenberg oraz punktem poczÄ…tkowym w
Helmertsturm w Poczdamie. Wobec takiej różnorodności układów, które wzajemnie
przeplatały się na dość znacznych niekiedy obszarach, trudne, lub nawet niemożliwe było
ustalenie przynależności istniejącego w terenie i utrwalonego punktu triangulacyjnego do
jakiegoś układu.
 5
W 1947 roku w Polsce przyjÄ™to odwzorowanie Gaussa-Krügera w czterech
południkowych pasach 3-stopniowych z punktem początkowym Borowa Góra, a w roku
1952 zostały przyjęte 6-stopniowe układy gaussowskie na elipsoidzie Krasowskiego
1942, z punktem przyłożenia w Pułkowie. Jest to tzw. układ państwowy 1942. Dla punktów
triangulacyjnych sieci astronomiczno-geodezyjnej zostały wyznaczone i obliczone najpierw
elipsoidalne współrzędne B i L na elipsoidzie Krasowskiego, potem obliczono gaussowskie
współrzędne prostokątne x, y w odpowiednich strefach. W 1965 roku dla potrzeb cywilnej
służby geodezyjnej założono w Polsce 5 lokalnych układów, pokrywających obszar całego
kraju, których współrzędne określono klauzulą  poufne .
Na tle powyższej informacji o różnorodności układów na naszych terenach, rola
transformacji staje się widoczna. Ponieważ na przestrzeni lat nieprzerwanie doskonalono i
wzbogacano sieć państwową poprzez wykorzystywanie obserwacji wykonanych w latach
dawnych i transformację obliczonych wcześniej współrzędnych, rola transformacji w
odniesieniu do dużych sieci niemal zupełnie zanikła. Dlatego też, problem transformacji w
chwili obecnej dla geodetów-praktyków sprowadza się do przeliczenia współrzędnych z
jednego układu na układ inny dla stosunkowo niewielkiej grupy punktów, położonych na
niewielkich obszarach.
1.3. KRÓTKI PRZEGL
D METOD TRANSFORMACJI.
1.3.1. Transformacja za pomocą wzorów odwzorowawczych.
Metoda ta stosowana jest wówczas, gdy znane są i określone odwzorowania w dwu
dowolnych układach, które mają być poddane transformacji. Jest to dokładna, aczkolwiek
pracochłonna metoda transformacji bazująca na związkach odwzorowawczych, w których
dane współrzędne prostokątne w układzie starym zamienia się na współrzędne
geograficzne za pomocą wzorów odpowiednich dla danego odwzorowania, po czym za
pomocą innych wzorów, odpowiednich dla odwzorowania nowego układu zamienia się je
na współrzędne płaskie w nowym układzie. Inaczej mówiąc, na podstawie danych x , y
(układ stary) obliczamy B, L (również w starym układzie) które z kolei zamieniamy na x, y w
układzie nowym.
Sposób ten można stosować na dość dużych obszarach i jest on typowym dla
przejścia z układu soldnerowskiego na układ gaussowski. W przeszłości stosowano go
tylko dla niewielkiej liczby punktów ze względu na duża pracochłonność. Przeliczone w ten
sposób punkty służyły jako punkty wspólne do transformacji inną metodą. Problem ten
przestał istnieć z chwilą szerokiego upowszechnienia nowych, komputerowych technik
obliczeniowych.
1.3.2. Transformacja współrzędnych płaskich metodą afiniczną.
W celu wykonania transformacji współrzędnych płaskich z układu jednego na inny,
można zastosować transformację afiniczną, która polega na założeniu liniowej zależności
między współrzędnymi w obu układach. Takie założenie w ogólnym przypadku nie jest ani
ścisłe, ani słuszne , toteż metodę tę należy uważać za przybliżoną i stosować ją można dla
małych obszarów, a także wówczas, gdy nie są znane rodzaje odwzorowań obu układów.
Zazwyczaj znane jest odwzorowanie przynajmniej jednego z tych układów, tj. nowego,
najczęściej państwowego, na który transformujemy współrzędne w układzie starym
(pierwotnym), lecz znajomość ta nie jest konieczna.
Oznaczmy przez x, y współrzędne w układzie nowym, a przez x , y w układzie
starym. Zależność liniową między tymi współrzędnymi możemy napisać w postaci:
 6
x = a1x + b1 y + c1;
y = a2x + b2y + c2;
Współczynniki a1, a2, b1, b2, c1, c2 tych równań, charakteryzujące daną
transformację, nie są znane. Dla ich wyznaczenia musimy mieć 6 równań, a więc musimy
mieć 3 punkty łączne , wspólne w obu układach.
Zazwyczaj przyjmuje się nieco inną formę zależności liniowej:
xi = (1 + A) x i + By i + C; *)
yi = Pxi + (1 + Q) y i + R; i = 1, 2, 3.
Współczynniki transformacji A, B, C, P, Q, R oblicza się na podstawie następujących
wzorów:
A = "1 /" ; B ="2 /" ; C = dxi  Ax i  By i; gdzie: dxi = xi  x i;
P = "3 /"; Q = "4 /"; R = dyi  Px i  Qy i ; gdzie: dyi = yi  y i;
dx2 - dx1 y 2  y 1 x 2  x 1 dx2  dx1
"1 = ; "2 = ;
dx3  dx2 y 3  y 2 x 3  x 2 dx3  dx2
dy2  dy1 y 2  y 1 x 2  x 1 dy2  dy1
"3 = ; "4 = ;
dy3  dy2 y 3  y 2 x 3  x 2 dy3  dy2
x 2 x 1 y 2 y 1
" = ;
x 3-x 2 y 3-y 2
Współrzędne x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3 w układzie starym oraz x1, y1, x2, y2, x3, y3 w
układzie nowym są oczywiście znane. Po obliczeniu współczynników A, B, P, Q oblicza się
dla kontroli trzykrotnie wyrazy stałe C i R.
Trzy punkty wspólne tworzą tzw. trójkąt afiniczny. Po wyznaczeniu 6
współczynników można wykonać transformację współrzędnych ( x , y ) dowolnego punktu
układu starego na współrzędne ( x, y ) w układzie nowym, z tym jednak zastrzeżeniem, że
transformowane punkty powinny leżeć wewnątrz trójkąta afinicznego. Stosujemy przy tym
wzory oznaczone *). Tę samą metodę transformacji zastosować można do sąsiednich
trójkątów, pokrywając w ten sposób większy obszar.
Jako wyjściowe dane dla punktów wspólnych mogą służyć także współrzędne
geograficzne, które można zamienić na współrzędne prostokątne płaskie, jeżeli tylko znane
są związki odwzorowawcze dla obu układów.
Ten sposób transformacji jest, jak się wydaje, najbardziej rozpowszechnionym w
przypadku konieczności przeliczenia współrzędnych z układu lokalnego na państwowy,
ponieważ przeliczeń dokonuje się według nadzwyczaj prostych wzorów, a objętość prac
obliczeniowych jest - nawet w przypadku konieczności wykonywania  ręcznych obliczeń -
niewielka.
 7
1.3.3. Graficzna interpolacja poprawek współrzędnych (transformacja graficzna).
W transformacji afinicznej przyjmuje się liniową zależność między współrzędnymi w
obu układach, co z kolei prowadzi do wniosku, że poprawki współrzędnych dx i dy w celu
przejścia z jednego układu do drugiego zmieniają się od punktu do punktu w sposób
liniowy. Jeżeli tak, to poprawki w punktach pośrednich możemy otrzymać poprzez
Rys. 1.
interpolację graficzną (rys. 1). Przypuśćmy, że dla wierzchołków trójkąta P1P2P3
wspomniane poprawki współrzędnych wynoszą jak zaznaczono na rysunku.
A
ącząc odpowiednio wycechowane punkty kolejnych wartości dla dx otrzymamy
linie równych poprawek. Tak więc, dla dowolnego punktu (terenowego), położonego we
wnętrzu trójkąta, możemy otrzymać poprawkę dx. Podobnie można wykreślić linie
jednakowych poprawek dy. Postępowanie takie można następnie zastosować do
sąsiednich trójkątów, a więc w ten sposób pokryć liniami jednakowych poprawek większy
obszar. Sposób graficzny można stosować wszędzie tam, gdzie wysoka dokładność nie
jest wymagana, np. do celów topograficznych.
1.3.4 Transformacja współrzędnych płaskich metodą dostosowania.
Transformacja tą metodą dotyczy płaskich układów na niewielkich obszarach, gdy
nie jest znany charakter odwzorowań. Zakłada się, że istnieje kilka punktów wspólnych,
których współrzędne w układzie starym oznaczono x , y , zaś w układzie nowym
(państwowym) oznaczono x, y. Liczbę punktów wspólnych oznaczono literą n. Oblicza się
najpierw średnie wartości współrzędnych, które są współrzędnymi środka ciężkości
odpowiednio w obu układach:
x m = [ x ] / n; y m = [ y ] / n; xm = [ x ] / n; ym = [ y ] / n. ( 1 )
Następnie obliczamy dla każdego punktu wspólnego różnice:
"x = x  xm; "y = y - y m; "x = x  xm; " y = y  ym; ( 2 )
które są współrzędnymi tych punktów, odniesionymi do środka ciężkości, oraz obliczamy
różnice:
¾ = x  x ; · = y - y .
KontrolÄ… tych obliczeÅ„ jest to, że sumy ["x] = ["y] = [" x ] = [" y ] = [ ¾ ] = [ · ] = 0.
 8
Z kolei tworzymy nastÄ™pujÄ…ce sumy iloczynów [ "x " · ], [ "y " ¾ ], [ "x " ¾ ], [ " y " · ],
["x 2], ["y 2] oraz obliczamy skręt według wzoru:
Ä = ([" x · · ¾] ) : ([" x 2] + [" y 2] ) ;
· ·] - [" y ·
· ·
· ·
i zmianÄ™ skali:
z = ([" x · · ·] ) : ([ " x 2] + [" y 2] ).
· ¾] + [" y ·
· ·
· ·
Przesunięcie początku (środka ciężkości) określają wzory:
"xm = xm  x m + y mÄ - x m z;
"ym = ym  y m  x mÄ  y m z;
Następnie można przystąpić do obliczenia współrzędnych dostosowanych xd, yd w
układzie nowym, gdy dane są współrzędne x , y dowolnych punktów w układzie
pierwotnym (starym). Służą do tego wzory:
xd = x  y Ä + x z +" xm;
yd = y + x Ä + y z +" ym.
W celu kontroli oblicza się xd i yd dla punktów wspólnych, których x i y są znane.
Dla tych punktów oblicza się odchyłki "xd = xd  x oraz "yd = yd  y, przy czym spełniać
się powinien warunek [ " xd ] = [ " yd ] = 0. Średnie błędy odchyłek otrzymamy ze wzoru:
m2 = [" "] : (2n  4);
1.3.5. Transformacja współrzędnych metodą Weigla-Morpurgo.
Metoda ta jest pewnym przekształceniem metody dostosowania i jest przeznaczona
dla małych obszarów, na przykład lokalnych sieci triangulacyjnych.
Obliczenia prowadzi siÄ™ poczÄ…tkowo identycznie jak w metodzie dostosowania
według wzorów ( 1 ) i ( 2 ). Oznaczenia współrzędnych układu pierwotnego (starego) i
nowego (państwowego), są w tej i poprzedniej metodzie takie same.
Przeprowadzamy kontrole [ " x ] = [ " y ] = [ " x ] = [ " y ] = 0, a następnie
tworzymy iloczyny oraz ich sumy [ "y "x ], [ "x "y ], [ "y "y ], [ "x "x ].
Obliczamy z kolei skręt starego układu względem nowego z wzoru:
tg Ć = ( "y " x  "x "y ) : ( "y "y + "x "x ).
.
Następnie obliczamy współrzędne początku starego układu w układzie nowym:
¾ = xm  x mk cosĆ + y m k sin Ć;
· = ym  x mk sinĆ  y mk cosĆ ;
Współrzędne xd, yd dowolnego punktu leżącego w granicach transformowanego
obszaru przeliczamy na współrzędne w układzie nowym za pomocą wzorów:
xd = ¾ + x k cos Ć - y k sinĆ ;
yd = · + x k sin Ć + y k cosĆ ; ( 3 )
 9
Poprzez wprowadzenie współczynnika k uwzględnia się zmianę skali. Otrzymuje się
go na podstawie stosunku odległości s znanych punktów w układzie nowym do ich
odległości w układzie starym, czyli
k = s / s ;
Przy pomocy wzorów ( 3 ) oblicza się również współrzędne punktów wspólnych (łącznych),
a następnie dla kontroli oblicza się różnice "x = xd  x, oraz "y = yd  y.
1.4. AUTOMATYZACJA OBLICZEC
TRANSFORMACYJNYCH.
Współcześnie nie prowadzi się obliczeń  ręcznych , lecz korzysta się w
zdecydowanej większości z istniejących programów komputerowych. Do najczęściej
używanych należą: WinKalk, C-Geo, Geo, Geo 89, Olga 1t oraz Spog.
W większości tych programów nie są podane algorytmy transformujące, jednakże
prawie wszystkie generują obliczoną dokładność przeprowadzonej transformacji, co daje
możliwość właściwego doboru programu w zależności od satysfakcjonującej użytkownika
dokładności. Pewnego rodzaju wskazówką dotyczącą jakości metody transformacji,
zastosowanej w kodzie z
ródłowym programu może być postać generowanego wyniku, tj.
liczba cyfr dziesiętnych.
2. NIWELACJA TRYGONOMETRYCZNA.
Niwelacja trygonometryczna jest metodą wyznaczania różnic wysokości na
podstawie zmierzonego kÄ…ta pionowego (kÄ…ta pochylenia lub kÄ…ta zenitalnego) i
zmierzonej lub wyznaczonej odległości.
2.1. KR
G PIONOWY TEODOLITU I JEGO TEORIA.
Pomiary kątów pionowych wykonujemy teodolitem za pomocą kręgu pionowego
(KV), z naniesionym podziałem kątowym. Jest on na stałe połączony z lunetą i przy
pochylaniu lub podnoszeniu lunety obraca się wraz z nią. Indeksy odczytowe, służące do
odczytywania kręgu pionowego są nieruchome. Sposób podziału koła pionowego i
usytuowanie tzw. odczytów zerowych, odpowiadających średnicy kręgu, leżącej w tej samej
płaszczyz
nie co oÅ› celowa, przedstawia rys. 2.
a) b) c)
Rys. 2.
Najczęściej spotykane są następujące trzy opisy podziału kręgu pionowego (rys.2):
a) podziaÅ‚ ciÄ…gÅ‚y (bieżący) od 0° do 360° , prawy, czyli zgodny z ruchem
wskazówek zegara;
b) podziaÅ‚ ćwiartkowy (czterokierunkowy) od 0° do 90°;
c) podziaÅ‚ ciÄ…gÅ‚y (bieżący) od 0° do 360° lewy, czyli w kierunku
przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
 10
Indeksy alidady kręgu pionowego są zwykle oznaczone numerami I i II lub literami A
i B. Odczyt całkowity KV wykonujemy zawsze względem indeksu I, a z odczytu indeksu II
zapisujemy tylko końcówkę (minuty i sekundy), zgodność zaś stopni z odczytem indeksu I
sprawdzamy bez notowania w dzienniku.
Krąg pionowy może zajmować dwa położenia względem kierunku osi celowej okular-
-obiektyw, tj. może znajdować się z prawej strony lunety (KP), lub z lewej, co oznaczamy
jako krąg lewy (KL). Jako pierwsze ( I ), wyjściowe, przyjmujemy zwykle to położenie kręgu
pionowego, przy którym odczyt z noniusza I (indeksu) jest równy mierzonemu kątowi
pionowemu. Zmiana położenia KV następuje po przerzuceniu lunety przez zenit i obróceniu
lunety o 180°.
Krąg pionowy pozwala wyznaczyć kąt pionowy zawarty pomiędzy dowolnym
kierunkiem osi celowej a prostą poziomą przechodzącą przez oś obrotu lunety i leżącą w
płaszczyz
nie kolimacyjnej. OÅ› celowa skierowana do danego punktu wyznacza jedno ramiÄ™
tego kÄ…ta. RamiÄ™ drugie mierzonego kÄ…ta wyznacza w teodolicie oÅ› specjalnej libeli.
Jest to tzw. libela kolimacyjna, umieszczona na nieruchomych indeksach, pod które w
czasie nachylania lunety podsunie się odczyt odpowiadający mierzonemu kątowi. Jeżeli od
odczytu tego odejmiemy wartość odczytu przy poziomym położeniu lunety (libela
kolimacyjna w górowaniu), otrzymamy pomierzoną wartość kąta pionowego.
Omówmy zasady odczytu i obliczenia wartości kąta pionowego dla trzech
wymienionych wcześniej sposobach opisu koła.
PodziaÅ‚ ciÄ…gÅ‚y, prawy 0°  360° (rys. 2a). Przy poziomym poÅ‚ożeniu lunety odczyt
koÅ‚a wzglÄ™dem indeksu I wynosi przy KP 0°, a przy KL 180°. PodnoszÄ…c obiektyw lunety w
górę od horyzontu, otrzymujemy kąt wysokości dodatni przy KP bezpośrednio z odczytu
indeksu I, zaÅ› przy KL jako dopeÅ‚nienie odczytu indeksu I do 180° (rys. 3).
Rys. 3.
Jeżeli natomiast pochylamy lunetę poniżej horyzontu, to wyznaczamy kąt wysokości
ujemny (kąt depresji), którego wartość bezwzględna przy KP jest dopełnieniem odczytu
indeksu I do 360°, zaÅ› przy KL  jest odczytem indeksu I zmniejszonym o180° (rys. 4).
Rys. 4.
Odczyty indeksu II dadzÄ… w obydwu przypadkach wartość różnÄ… o 180° w stosunku
do odczytów indeksu I.
 11
PodziaÅ‚ ćwiartkowy, 0°  90° (rys. 2b). Przy obydwu poÅ‚ożeniach koÅ‚a pionowego
KP i KL i przy poziomej lunecie odczyty obu indeksów wynoszÄ… 0°. PochylajÄ…c lunetÄ™
powyżej lub poniżej horyzontu, wyznaczamy kąty wysokości dodatnie lub ujemne, których
wartości bezwzględne podają bezpośrednio odczyty KV względem obu indeksów (rys. 5).
Rys. 5.
Znak kąta ustalamy według znaków  + lub    podanych przy podziale koła dla
położenia KP oraz sprawdzamy na podstawie nachylenia lunety względem horyzontu.
PodziaÅ‚ ciÄ…gÅ‚y, lewy 0° 360° (rys. 2c). Przy poziomym poÅ‚ożeniu lunety i przy KP
odczyt koÅ‚a wzglÄ™dem indeksu I wynosi 90°, a przy KL  270°. PochylajÄ…c lunetÄ™ powyżej
lub poniżej horyzontu, otrzymujemy odczyty koła względem indeksu I przy KP równe
wartoÅ›ci kÄ…ta zenitalnego, zaÅ› przy KL -równe dopeÅ‚nieniu kÄ…ta zenitalnego do 360°(rys. 6).
Rys. 6.
Odczyty indeksu II dadzÄ… przy KP wartoÅ›ci zwiÄ™kszone o 180° , przy KL zaÅ›
zmniejszone o 180° w porównaniu z odczytami indeksu I.
Podziały kół zgodne z rys. 2a i 2b dostosowane są do pomiaru kątów wysokości
(pochylenia) i dlatego można je nazwać podziałami wysokościowymi lub
horyzontalnymi, służą bowiem do pomiaru kątów pionowych, liczonych od linii horyzontu.
Podział zgodny z rys. 2c służy do pomiaru kątów zenitalnych.
2. 2. WYZNACZENIE BA

DU INDEKSU (MIEJSCA ZERA).
Prawidłowy pomiar kątów pionowych zależny jest od dwóch warunków
konstrukcyjnych teodolitu:
1). Oś celowa powinna być równoległa do osi libeli niwelacyjnej;
2). Przy pionowej osi instrumentu, poziomej osi celowej i poziomej osi libeli
kolimacyjnej, odczyty indeksów kręgu pionowego powinny wynosić
0° 180°, 0° 0° lub 90°- 270°, zależnie od opisu podziaÅ‚u krÄ™gu.
Odczyty indeksów w tym położeniu lunety nazywamy odczytami zerowymi. Jeżeli
drugi z wymienionych warunków nie jest spełniony, to indeksy kręgu pionowego nie wskażą
odczytów zerowych, lecz inne odczyty. Odchylenie każdego indeksu od odczytu zerowego
nazywamy błędem indeksu lub błędem położenia miejsca zera. Ma on charakter błędu
systematycznego.
Wpływ błędu indeksu można wyeliminować mierząc kąt w dwóch położeniach lunety
i wyznaczyć równocześnie jego wartość. Jeżeli natomiast kąty pionowe mierzymy w jednym
 12
położeniu lunety, jak to się dzieje np. w tachimetrii, to należy błąd ten wyznaczyć, usunąć
poprzez rektyfikację lub wprowadzić poprawki do wyników pomiarów.
Sposób postępowania przy tej metodzie nie zależy od sposobu podziału kręgu
pionowego i jest zawsze ten sam. Zmienia się sposób obliczania wartości mierzonego kąta
i miejsca zera.
a). W podziale ciÄ…gÅ‚ym prawym 0° ° (rys. 2a) wartość kÄ…ta wynosi:
° 360°
° °
° °
Ä… °; a bÅ‚Ä…d indeksu i = (KP + KL) / 2  90°
Ä…= (KP  KL) / 2 Ä… 90° °;
Ä… ° °
Ä… ° °
b). W podziale ćwiartkowym 0°  90° (rys. 2b):
ą= KP  i; przy kręgu prawym, lub ą = KL + i; przy kręgu lewym,
czyli ą= (KP + KL) / 2; a błąd indeksu i = (KP - KL) / 2;
c). W podziale ciÄ…gÅ‚ym 0°  360° lewym, zenitalnym (rys. 2c):
z = KP  i; przy kręgu prawym, lub z = (KP  KL) / 2; przy kręgu lewym.
BÅ‚Ä…d indeksu i = (KP + KL) / 2;
a kÄ…t wysokoÅ›ci Ä… = 90°  z;
2. 3. SPRAWDZENIE I USUNI
CIE BA

DU INDEKSU (MIEJSCA ZERA).
Sprawdzenie, czy występuje błąd indeksu, można wykonać w sposób następujący:
a) celujemy na wyraz
ny punkt przy dwóch położeniach lunety i odczytujemy
położenie indeksów na kręgu pionowym;
b) obliczamy sumy odczytów indeksów I i II przy KP i KL, które powinny wynosić:
- przy opisie podziaÅ‚u koÅ‚a ( a )  180°;
- przy opisie podziaÅ‚u koÅ‚a ( c )  360°;
- przy opisie ( b ) różnica odczytów KL i KP powinna dać 0.
Otrzymana odchyłka, jeśli wystąpi, będzie podwójnym błędem indeksu. Jej
usunięcie, czyli rektyfikację koła pionowego ze względu na błąd indeksu wykonuje się za
pomocą pomiaru kąta pionowego lub odczytów na łacie przy dwóch położeniach lunety.
Sposób pierwszy polega na celowaniu do wybranego punktu w dwóch położeniach
kręgu, oraz obliczeniu na podstawie odczytów wartości kąta pionowego wolnego od błędu
indeksu, oraz wartość błędu indeksu na podstawie przytoczonych wcześniej wzorów.
Następnie celujemy do tego samego punktu przy położeniu KP i nastawiamy śrubą
elewacyjną indeks na odczyt poprawiony o błąd indeksu, Pęcherzyk libeli kolimacyjnej
sprowadzamy do górowania śrubkami rektyfikacyjnymi libeli. Dla kontroli należy ponownie
pomierzyć ten sam kąt pionowy przy dwóch położeniach lunety i sprawdzić, czy otrzymane
odczyty są równe odczytom poprawionym o błąd indeksu.
Sposób drugi polega na celowaniu na pionowo ustawioną łatę w odległości
mniejszej niż 100 m, doprowadzeniu pęcherzyka libeli kolimacyjnej do górowania śrubą
elewacyjną, a następnie na doprowadzeniu ruchem śruby leniwej do wskazania przez
indeks odczytu zerowego. Odczytujemy wówczas położenie poziomej kreski krzyża nitek na
łacie. Czynności te powtarzamy przy dwóch położeniach lunety, otrzymując odczyty L1 i L2.
Jeżeli występuje błąd indeksu, to L1 `" L2. Odczytowi wolnemu od błędu indeksu
odpowiadać bÄ™dzie odczyt na Å‚acie Ls = ½ (L1 + L2). Na ten odczyt Ls naprowadzamy
 13
poziomą kreskę krzyża nitek za pomocą leniwki lunety, a następnie naprowadzamy indeks
koÅ‚a pionowego na odczyt zerowy (0° lub 90° przy KP oraz 180°, 0° lub 270° przy KL) Å›rubÄ…
elewacyjną. Wskutek obrotu śruby pęcherzyk libeli kolimacyjnej wychyli się. Śrubkami
rektyfikacyjnymi doprowadzamy pęcherzyk do górowania i dla sprawdzenia czynność tę
powtarzamy od poczÄ…tku.
2. 4. POMIAR I OBLICZENIA WYSOKOÅšCI.
Niwelacja trygonometryczna jest metodą wyznaczania wysokości punktów
terenowych i należy do działu geodezji, w którym rozwiązuje się zagadnienia związane z
niwelacją. Metoda ta opracowana jest w podstawowych założeniach dla warunków, w
których innych metod niwelacji stosować nie można, np. ze względu na warunki terenowe.
Wymienić tu można pomiar wysokości wież, kominów, punktów triangulacyjnych, budynków
i innych obiektów stojących pionowo, jak również określenie wysokości szczytów górskich,
głębokości rozpadlin itp.
Dane te uzyskuje siÄ™ na podstawie pomiaru
kąta pionowego oraz odległości d (rys.7).
Zakładając że poziom odniesienia jest płaszczyzną
i nie uwzględniając wpływu refrakcji dla niewielkich
odległości d, wysokość punktu P oblicza się
ze wzoru:
Rys. 7. Hp = Hs + i + h = Hs + i + d tgÄ… ;
w którym:
Hs + i  wysokość stanowiska + wysokość osi obrotu lunety nad punktem S
nazywa się wysokością horyzontu lub horyzontem:
h = d tg ą = d ctg z - jest wysokością punktu nad horyzontem;
Hp - wysokość punktu P wyznaczana metodą trygonometryczną.
W celu wyznaczenia Hp należy pomierzyć teodolitem kąt pionowy w dwóch
położeniach lunety, co najmniej w jednej serii, następnie należy zmierzyć łatą lub ruletką
wielkość i, oraz pomierzyć lub obliczyć odległość d. Po podstawieniu do wzoru
otrzymujemy obliczoną wysokość Hp
Teodolit, którym wykonujemy pomiar, powinien być starannie zrektyfikowany, a ze
szczególną starannością przeprowadza rektyfikację koła pionowego (błąd indeksu), oraz
poziomowanie. Przed każdym odczytem koła pionowego należy doprowadzić pęcherzyk
libeli kolimacyjnej do górowania.
Rozpatrzmy przypadek, gdy określeniu podlega oprócz wysokości budowli, np.
komina, wieży (sygnału) triangulacyjnej lub innej wysmukłej konstrukcji (rys. 8), również
wysokość jej najwyższego elementu oraz wysokość podstawy. Przyjmując, jak poprzednio,
płaszczyznę jako poziom odniesienia, wyznacza się interesujące nas wysokości na
podstawie pomiaru kątów pionowych ze wzorów:
W = h1 + h2;
h1 = d tg Ä…1 ;
h2 = d tg Ä…2 ;
W = d (tg Ä…1 + tg Ä…2 ) - "h;
 14
"h= "d tg Ä…2;
Hp = Hs + i+ d tg Ä…1
Hp = Hp  W.
Rys. 8.
Wartość "d można łatwo wyznaczyć na podstawie wymiarów i kształtu podstawy
budowli. Gdy odcinek d nie jest znany i nie można go wyznaczyć z pomiarów
bezpośrednich, wówczas pomiar trygonometryczny przeprowadza się z dwóch co najmniej
stanowisk. Stanowiska te obiera się tak, aby odległość pomiędzy nimi można było
pomierzyć. Będzie to baza do obliczenia odległości teodolitu od punktu P, którego
wysokość należy określić. W jednej płaszczyz
nie pionowej z punktem P obiera siÄ™ dwa
stanowiska S1 i S2 w znanej (pomierzonej) odległości b (rys. 9), mierzy kąty pionowe i
wykonuje obliczenia według podanych wzorów:
Hp = Hs1 + i1 + h1;
h1 = (b + a) tg Ä… 1;
h2 = a tg Ä… 2;
h2-h1 = (Hs1 Hs2)+(i1  i2)= "Hs +" i;
h2-h1 = a(tg Ä… 2 tg Ä…1)  b tg Ä…1;
" Hs + " i + b tgÄ… 1
a=
tg Ä… 2  tg Ä… 1 ;
Rys. 9.
Inny przykład zastosowania trygonometrycznego pomiaru wysokości z
jednoczesnym pośrednim wyznaczeniem odcinka d z dwóch stanowisk przedstawia rys. 10.
Punkty S1 i S2 wybiera się w terenie tak, aby trójkąt S1S2P był zbliżony do trójkąta
równobocznego i aby odległość S1S2 = b
dogodna była do pomiaru. Na stanowiskach
S1 i S2 mierzy się oprócz kątów pionowych
Ä…1 i Ä…2 również kÄ…ty poziome ²1 i ²2
płaskiego trójkąta S1 S1 P . Wysokość
stanowisk Hs1 i Hs2 oraz i1 i i2 sÄ… znane.
Pozioma płaszczyzna trójkąta S1 S2 P jest
płaszczyzną odniesienia, na którą
odrzutowano punkty terenowe S1, S2 i P.
RozwiÄ…zanie zadania sprowadza siÄ™ do
rozwiązania trójkąta S1 S2 P za pomocą
twierdzenia sinusowego (dane: b, ² 1, ²2).
Rys. 10. Otrzymuje się stąd d1 i d2, obliczone według
wzorów:
b
d1= " sin ²2 = m sin ²2 ;
sin ( ²1+²2 )
=
b
d2= " sin ²1 = m sin ²1 ;
 15
sin ( ²1+²2 )
a następnie
Hp = Hs1 + i1 + h1 = Hs1 + i1 + d1 tg Ä… 1;
Hp = Hs2 + i2 + h2 = Hs2 + i2 + d2 tg Ä… 2;
Z otrzymanych dwóch wartości Hp, gdy różnią się w granicach dopuszczalnych
(jednoczesna kontrola rachunku i pomiaru), przyjmuje się wartość średnią Hpśr.
Ten sposób rozwiązania można stosować dla większej liczby punktów P mając dla
nich założoną bazę b. Położenie poziome punktów Pi otrzymuje się wtedy tak, jak wcięciem
w przód, położenie pionowe przez pomiar dwóch kątów pionowych, po jednym z obu
stanowisk pomiarowych. Dla punktów, które znacznie mogą zniekształcić geometrię trójkąta
S1S2P, należy założyć nową, odpowiednią bazę b.
Pomiar kątów pionowych może być również wykorzystany do obliczenia długości
poziomych odcinków. W celu określenia d (rys. 11) ustawia się w punkcie S teodolit, w
punkcie A łatę i na niej obiera się odcinek l (podział, znaki lub tarcze celownicze).
Następnie mierzy się kąty ą 1 i ą 2.
l+ a = d tg Ä…1;
a = d tg Ä…2;
odejmujÄ…c drugie od pierwszego
otrzymamy:
l = d (tg Ä…1 - tg Ä…2);
skÄ…d ostatecznie:
l
;
=
d=
tg Ä… 1  tg Ä…2
Rys. 11.
Dla długich odcinków d można obrać mniej więcej w połowie tego odcinka i
obliczone w powyższy sposób dwie długości, które należy do siebie dodać. Jeżeli kąty są
mierzone poniżej horyzontu i gdy wartość a znajduje się częściowo na odcinku l, wtedy ą i
a majÄ… znaki ujemne.
Powyższe zadania nie wyczerpują wszystkich licznych zastosowań niwelacji
trygonometrycznej i sÄ… tylko zadaniami podstawowymi.
2. 5. WPA
YW KRZYWIZNY ZIEMI I REFRAKCJI NA POMIAR K
TÓW PIONOWYCH.
W przedstawionych powyżej zadaniach i wzorach przyjęliśmy płaszczyznę poziomą
jako powierzchniÄ™ odniesienia oraz prostolinijny przebieg osi celowej instrumentu. Jest to
dopuszczalne dla niewielkich odległości, dla których wpływ krzywizny Ziemi i refrakcji jest
niewielki i mieści się w granicach dopuszczalnych błędów pomiaru.
Im większa jest odległość stanowiska pomiarowego od punktu, którego wysokość
jest wyznaczana, tym większy jest błąd wysokości wywołany takim uproszczeniem.
Jeżeli odległość pomiędzy stanowiskiem a celem nie przekracza 300  400 m, to
różnicę wysokości h z wystarczającą dla celów praktycznych dokładnością obliczamy na
podstawie wcześniej podanego wzoru:
h = d tg Ä… ;
 16
Dla odległości większych niż 300  400m należy przy obliczaniu wartości h
uwzględnić wpływ kulistości Ziemi i refrakcji ziemskiej. W tym przypadku h obliczamy
najczęściej ze wzoru: d2
h = d tg Ä… +     (1  k) = d tg Ä… + s; ( 4 )
2R
w którym: R  średni promień ziemski, zależny od szerokości geograficznej i
azymutu obserwowanego kierunku ( około 6 370 km)
k  współczynnik refrakcji (około 0,13  0,14 dla pomiarów nad lądami
i 0,16 nad wodami), którego wahania w ciągu dnia wynoszą do
25% k i więcej.
Wartości liczbowe poprawki s w podanym wyżej wzorze zawarte są w tabeli 1.
Tabela 1.
Długość celowej ( w metrach )
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Poprawka s ( w metrach )
0,017 0,068 0,153 0,273 0,43 0,61 0,84 1,09 1,38 1,70
Dla odległości krótszych niż 500 m poprawki są znikome i można je zaniedbać. Na
przykład dla celowej 200 m wynosi ona 2,7 mm i jest dużo mniejsza od innych błędów
wpływających na dokładność metody trygonometrycznej określania wysokości. Uwzględnia
siÄ™ je w niwelacji geometrycznej poprzez stosowanie odpowiedniej technologii pomiaru
niwelacyjnego, tj. niwelację ze środka, w której wpływ błędów refrakcji jest wyeliminowany
przy równych odległościach do łat niwelacyjnych, lub znacznie jest osłabiony.
Interpretację poszczególnych elementów wzoru na obliczenie różnicy wysokości
pomiędzy stanowiskiem instrumentu A i punktem B, na którym znajduje się sygnał o znanej
wysokości w przedstawiono graficznie na rys. 12 i rys. 13.
Przewyższenie obliczamy ze wzoru:
do2
HB  HA = iA + d0 tg Ä… + ----- (1  k)  wB ;
2R
W przypadku ujemnego kÄ…ta pochylenia
(rys. 13) do wzoru podstawić należy tg(-ą ).
Rys. 12.
Wzór ten wykorzystywany jest również do określania
wysokości celowej ponad charakterystycznymi
punktami terenu przy projektowaniu triangulacji
na mapie (rys.14). Po odpowiednim przekształceniu
wzoru podstawowego otrzymamy:
Rys. 13. H =HA+(dA/d0)(HB -HA) ( dA · dB /2R)(1  k);
 17
Wysokości HA i HB określa się na podstawie
mapy topograficznej dodajÄ…c do
odczytanych na niej rzędnych terenu
wysokość instrumentu lub, w drugim
przypadku, wysokość wieży. Również z
Rys. 14. mapy odczytuje się odległości dA i dB .
2. 6. DOKA
ADNOŚĆ NIWELACJI TRYGONOMETRYCZNEJ.
Podany na stronie 14 wzór ( 4 ) na obliczenie przewyższenia metodą
trygonometryczną nie jest wzorem ścisłym, ponieważ przy jego wyprowadzaniu
opuszczono dwa składniki, których łączna wartość, przy celowej długości około 6 km nie
przekracza 2,5 mm. Przytoczmy zatem, bez wyprowadzenia wzór ogólny, który jest wzorem
ścisłym: Hśr do2 1 - k
h = HB - HA + d0 ( 1 + 1
1
) tg Ä… + 1
1
" 1
1
1
1
; (5)
R 2R cos 2Ä…
W warunkach triangulacji klas niższych na terenie większości państw (krótsze
odległości, mniejsze wysokości punktów ponad poziom odniesienia oraz mniejsze kąty
nachylenia), wzór ten przyjmie postać przybliżoną:
d02
h = HB  HA = do tg Ä… + 1
1
(1  k ) ; (6)
2R
W tachimetrii stosowana jest jeszcze bardziej uproszczona forma tego wzoru, który
ograniczony został do pierwszego członu, bez uwzględniania wpływu kulistości Ziemi i
refrakcji:
h = d0 tg Ä… ;
Ponieważ w tachimetrii mierzone odległości są stosunkowo małe, błąd wynikający z
uproszczenia wzoru ścisłego jest znikomy i nie ma praktycznie wpływu na dokładność
określenia wysokości punktów pomiarowych.
Obliczenie średniego błędu różnicy wysokości mh polega na obliczeniu średniego
błędu funkcji, określonej np. wzorem (6):
"2h "2h "2h
mh = çÅ‚çÅ‚ m2d + çÅ‚çÅ‚ m2 + çÅ‚çÅ‚ m2k ;
Ä…
"2d "2Ä… "2k
Średnie błędy różnic wysokości h w centymetrach, obliczone na podstawie wzoru
(6) podane są w poniższej tabeli nr 2 (wg T. Lazzarini, Wykłady geodezji II).
Tabela 2.
Wartość
Odległość d0 Kąta pionowego
w metrach 1o 5o 10o 15o
500 1 cm 1 cm 1 cm
Ä… 1 cm
1000 3 3 3
2
2000 5 6 6
5
3000 8 9 10
8
4000 12 13 13
12
5000 16 16 18
16
Wzór (5) jest dokładniejszy w porównaniu z wzorem (6). Różnice "h = /h(5) - h(6)/
 18
zestawione są w tabeli nr 3 i ilustrują potrzebę stosowania wzoru ścisłego względnie
przybliżonego, w zależności od odległości do mierzonych celów.
Tabela 3.
Średnia wysokość stanowiska i celu
Odległość
Hśr = 500 m Hśr = 1000 m Hśr = 2000 m
celu
w metrach
KÄ…t pionowy
1o 5o 10o 15o 1o 10o 15o 1o 5o 10o 15o
5o
500 0 0 1 1 0 1 1 2 0 1 3 4
1000 0 1 2 3 0 1 3 5 1 3 6 9
2000 0 2 4 6 1 3 6 10 1 6 12 19
3000 0 3 6 11 1 5 10 17 2 9 18 30
4000 1 4 9 16 1 6 14 25 2 12 26 42
5000 1 5 12 23 1 8 19 33 3 15 33 54
Kolorem czerwonym podano różnice wyników obliczenia wysokości h jakie
uzyskano z wzorów (5) i (6). Tak więc, w przypadku pomiaru przewyższenia przy
odpowiednio długich celowych i stosunkowo dużych kątach pochylenia lunety, należy
stosować wzór (5), jako bardziej dokładny.
Dokładność określenia wysokości punktów metodą trygonometryczną zależy od
szeregu czynników, które ogólnie podzielić można na instrumentalne i związane z błędami
obserwatora. Podstawowym warunkiem dobrych wyników jest staranna rektyfikacja
teodolitu. Szczególną uwagę należy zwrócić na urządzenia służące do pomiaru kątów
pionowych. W teodolitach starszego typu niezbędne jest staranne zrektyfikowanie libeli
kolimacyjnej. Nie jest to wymagane w teodolitach z samopoziomującym się kołem
pionowym, w których jego indeks ustawia się automatycznie w położeniu właściwym,
niezależnie od odchylenia osi teodolitu od pionu.
Dokładność określenia kąta pionowego zależy głównie od trzech czynników: od
błędu celowania mc, dokładności spoziomowania libeli kolimacyjnej ml oraz błędu odczytu
koła pionowego m0. Stąd błąd pomiaru kąta pionowego określany jest wzorem:
mÄ… = Ä… mc2 + ml2 + m02 ;
Jednocześnie na błąd pomiaru kąta wpływać będą: szczątkowe błędy teodolitu nie
wyeliminowane przez rektyfikacjÄ™ i zastosowana metoda pomiaru kÄ…ta pionowego.
Wyznaczenie błędów średnich (mą, mc, ml, m0) opiera się na kilkakrotnym (n 
krotnym) pomiarze, z którego oblicza się błędy średnie.
2.7. WYZNACZANIE WSPÓA
CZYNNIKA REFRAKCJI DLA POTRZEB
PRAKTYCZNYCH.
Zdarza się niekiedy, że przy pomiarach wysoko dokładnych należy wyznaczyć
współczynnik refrakcji, który będzie bardziej odpowiedni dla miejscowych warunków
obserwacji. Podawany w literaturze współczynnik k = 0,13 jest pewną wartością średnią i
nie uwzględnia lokalnych warunków obserwacji, wynikających z chwilowego stanu
atmosfery. Rzutują one na wielkość tego współczynnika, który ulega znacznym wahaniom,
nawet w ciągu doby. Podany poniżej sposób jest prosty, polega bowiem na wykorzystaniu
znanego wzoru (6), z którego po przekształceniu obliczamy k:
 19
2R
k = 1    (h  i  d0 tg Ä… + w);
d02
w którym: i  wysokość instrumentu; w  wysokość sygnału lub celu.
Podany sposób polega na pomiarze tylko na jednym stanowisku pomiarowym.
Zakłada się ponadto znajomość różnicy wysokości punktów stanowiących stanowisko i cel,
którą uzyskuje się z niwelacji geometrycznej. Odległość należy wyliczyć ze współrzędnych,
pomierzyć lub, w ostateczności, odczytać za pomocą podziałki transwersalnej z mapy, z
uwzględnieniem skurczu papieru.
Sposób drugi polega na jednoczesnej obserwacji dwoma tej samej klasy teodolitami
tarcz celowniczych, lub wierzchołków wież (sygnałów), stanowiących przeciwległe końce
wybranej linii. Współczynnik refrakcji obliczamy ze wzoru:
k = 1 + [1800  (zA + zB)] r/d0 ·1/Á0 ;
3. POMIAR K
TÓW PIONOWYCH.
W podrozdziale 2.1 opisano dokładnie różne sposoby opisu podziału kół pionowych
w teodolitach, przeznaczonych do wykonywania różnorakich zadań obserwacyjnych,
prowadzonych w dużych programach pomiarowych. Przypomnijmy jedynie, że opis
podziałki kątowej koła pionowego jest na ogół bieżący od 0o do 360o. Jeżeli średnica 0-180
jest pozioma, to opis nazywamy horyzontalnym, jeżeli zaś jest pionowa, to opis jest
zenitalny.
Opis horyzontalny nadaje się do pomiaru kątów pionowych (od płaszczyzny
horyzontu do zenitu) i oznaczanych przeważnie jako ą. Wartości mierzonych kątów
Ä…
Ä…
Ä…
wzrastają w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a wtedy w pierwszym
położeniu lunety wskaz
nik od strony okularu daje odczyt 0o.
Opis zenitalny jest zgodny z ruchem wskazówek zegara. Przy poziomej osi obrotu
lunety odczyt wynosi 90o.
Koło pionowe z podanym opisem horyzontalnym lub zenitalnym nazywamy kołem
lewym oznaczając je przez KVL lub KL. W niektórych typach teodolitów są tzw. koła prawe
(KVP). Koła te w opisie horyzontalnym mają kierunek wzrostu podziału koła zgodny z
ruchem wskazówek zegara, a w opisie zenitalnym przeciwny. W celu otrzymania opisu
zerowego na kole pionowym od strony okularu należy tak obrócić lunetę, aby koło pionowe
znalazło się po jej prawej stronie i wtedy jest to pierwsze położenie lunety.
Tok postępowania przy pomiarze kąta pionowego ze stanowiska S do punktu A ująć
można w następujące punkty:
1. Teodolit ustawiamy centrycznie i pionowo nad stanowiskiem S.
2. Celujemy na punkt A w pierwszym położeniu lunety.
3. Sprawdzamy libelę kolimacyjną i doprowadzamy pęcherzyk libeli do
górowania.
4. Wykonujemy odczyt, który zapisujemy jako pierwszy ( I ).
5. Obracamy lunetÄ™ przez zenit i celujemy ponownie na punkt A.
6. Po sprawdzeniu libeli kolimacyjnej wykonujemy odczyt drugi ( II ).
Tak wykonany pomiar nazywamy pomiarem w dwóch położeniach lunety.
Obliczanie wartości kątów pionowych jest zależne od sposobu opisu koła
pionowego. Przy podziale ćwiartkowym, jak wiemy, opis wykonany jest od 0o do 90o w
każdej ćwiartce limbusa. Odczyt poziomo ustawionej lunety powinien wynosić 0o w obydwu
 20
położeniach koła pionowego. W tym opisie wartościami kątów pionowych są bezpośrednio
wykonane odczyty, po uwzględnieniu właściwego znaku kąta i błędu indeksu.
Zależność między odczytami w dwóch położeniach lunety, błędem indeksu i kątem
pionowym w przypadku różnych sposobów opisów podziału koła, a także sposób obliczenia
wartości kąta podano w punkcie 2.2. podczas omawiania błędu indeksu koła pionowego. W
celu pełniejszego zrozumienia sposobów obliczenia wartości kąta z pomiarów zestawmy
ilustracje rodzajów kręgów pionowych i odpowiadających im wzorów na obliczenie kąta
pionowego i błędu indeksu:
Rys. 15.
Podział ćwiartkowy (rys. 15).
Koło lewe: ą = KL + Mo ; Koło prawe: ą = KP  Mo ;
Dodajemy stronami:
2Ä… = KP  Mo + KL + Mo
2Ä… KP+ KL
Ä… = (KP+KL) / 2;
BÅ‚Ä…d indeksu:
KP  KL - Mo - Mo = 0o
Mo = (KP-KL) / 2.
---------------------------------------------------------------------------------------
Rys. 16.
Opis horyzontalny (rys. 16).
Koło lewe ą = 360o - KL+ Mo; Koło prawe ą = KP  Mo;
Dodajemy stronami:
2Ä… = KP - Mo + 360o - KL+ Mo;
Ä… = (KP + 360o - KL) / 2;
BÅ‚Ä…d indeksu:
KP - Mo - 360o + KL - Mo = 0o;
Mo = (KP+KL-360o)/2.
----------------------------------------------------------------------------------
 21
Rys. 17.
Opis zenitalny (rys. 17).
Koło lewe: ą = 90o - KL+ Mo: Koło prawe: ą = KP - 270o - Mo;
Dodajemy stronami:
2Ä… = KP  KL - 180o;
Ä… = (KP  KL - 180o) / 2;
BÅ‚Ä…d indeksu:
2Mo = KP + KL - 360o;
Mo = (KP + KL - 360o) / 2.
CZ
ŚĆ II.
1. WYZNACZANIE PUNKTÓW OSNÓW SZCZEGÓA
OWYCH.
2. METODA WCI
Ć. 3. ANALIZA DOA
ADNOŚCI WYZNACZANIA PUNKTÓW.
4. PUNKTY PRZENIESIENIA.
1. WYZNACZANIE PUNKTÓW OSNÓW SZCZEGÓA
OWYCH.
Osnowa szczegółowa, jak wiemy, jest zbiorem punktów II i III klasy, której średni
błąd położenia punktów po wyrównaniu powinien być mniejszy od 10 cm. Jest ona
rozwinięciem osnowy I klasy z takim nasyceniem, aby jeden punkt przypadał na 0,8 km2 na
terenach o wysokim stopniu zurbanizowania, na 1,5 km2 na terenach rolnych oraz 12 km2
na obszarach dużych kompleksów leśnych.
Osnowę szczegółową II klasy tworzą punkty sieci triangulacji powierzchniowej,
pojedyncze punkty wcięte lub grupy takich punktów, punkty sieci trilateracyjnych, punkty
sieci poligonotriangulacyjnych oraz sieci powierzchniowych kątowo-liniowych. Średni błąd
położenia punktu po wyrównaniu powinien być mniejszy od 5 cm.
Szczegółowa osnowa III klasy, jako dalsze rozwinięcie osnowy klasy II może być
rozwijana zarówno bezpośrednimi pomiarami terenowymi, jak również metodami
fotogrametrycznymi. Gęstość tych punktów powinna wynosić nie mniej niż 1 punkt na 15 ha
w terenach o intensywnej zabudowie i 30 ha na terenach rolnych, a średni błąd położenia
punktów nie powinien przekraczać 10 cm.
Punktami nawiązania punktów sieci tworzących osnowę szczegółową są punkty
osnowy podstawowej dla rozwijania sieci II klasy, oraz punkty I i II klasy w przypadku
dalszego jej zagęszczania do gęstości odpowiadającej osnowie klasy III.
Przypomnienie niektórych charakterystyk osnów szczegółowych ma związek z
metodami ich określania i zasadami nawiązywania tak, aby współrzędne sieci nowo
 22
utworzonej zostały wyznaczone w takim samym jak punkty nawiązania układzie
współrzędnych. Zapewnia to spełnienie podstawowego wymogu jednolitości wszystkich
opracowań geodezyjno-kartograficznych na obszarze całego kraju.
Nawiązanie jest realizowane poprzez włączenie punktów osnowy podstawowej do
sieci szczegółowej. Warunki nawiązania wynikają z tego, że punkty nawiązania są
jednocześnie punktami osnowy podstawowej i szczegółowej, lecz zachowują przy tym
swoje nie zmienione współrzędne i dokładność ich określenia. Przyjmując za bezbłędne
współrzędne punktów osnowy wyższej klasy, do której nawiązywane są nowo tworzone
sieci, zachowuje się stałą aktualność katalogów współrzędnych punktów osnów wszystkich
klas na danym obszarze.
Szczegółowe sieci poziome, zależnie od potrzeb, mogą być kilkupunktowymi
związkami punktów, wyznaczanymi metodą wcięć pojedynczych lub grupowych, albo
sieciami powierzchniowymi, kątowo-liniowymi, tylko kątowymi lub tylko liniowymi. Niektóre,
przykładowe konstrukcje takich sieci podane są na rys. 18 a, b, c.
Wcięcia kątowe: w przód, wstecz i wcięcie liniowe są podstawowymi konstrukcjami
geodezyjnymi, bez znajomości których nie można projektować i zakładać sieci
powierzchniowych. Konstrukcja wcięcia jest ponadto wykorzystywana do rozwiązywania
większości zadań z zakresu geodezyjnej obsługi budownictwa jak i wielu innych
problemów, związanych ze specjalnymi zastosowaniami geodezji. Konstrukcjom tym
poświęca się najwięcej uwagi we współczesnym wykonawstwie geodezyjnym chociażby z
tego względu, że zwiększyła się dostępność do dokładnych pomiarów dalmierczych,
powodująca zwiększenie niezawodności i dokładności tych prostych, łatwych w pomiarze i
a). SIEĆ K
TOWA b). SIEĆ K
TOWO-LINIOWA c). CI
G POLIGONOTRIANGULACJI
Punkt nawiÄ…zania
punkt kierunkowy
punkt wyznaczany celowa kÄ…towa jednostronna
celowa kÄ…towa dwustronna
Rys. 18.
obliczeniach metodach określenia współrzędnych punktów sieci szczegółowych.
2. METODA WCI
Ć.
Wcięciem nazywa się zadanie geodezyjne, polegające na wyznaczeniu
współrzędnych jednego punktu za pomocą obserwacji kątowych, kątowo-liniowych lub tylko
liniowych, w nawiązaniu do istniejących w terenie punktów o znanych współrzędnych.
Punktem wciętym nazywa się punkt, którego współrzędne określono za pomocą
wcięcia jedną z podanych metod obserwacji. Punkty o znanych współrzędnych, do których
nawiązujemy wcięcie, podobnie jak przy nawiązaniu wszelkiego rodzaju konstrukcji
geodezyjnych, nazywamy punktami nawiÄ…zania.
 23
2.1. RODZAJE WCI
Ć GEODEZYJNYCH.
Położenie nowego punktu na płaszczyz
nie odniesienia jest określone za pomocą
dwóch wielkości: współrzędnych x i y. Do ich wyznaczenia niezbędne jest wykonanie
dwóch obserwacji: dwóch kątów lub dwóch odległości, albo jednego kąta i jednej
odległości. W zależności od tego, jakie wielkości podlegają pomiarowi, wcięcia dzielą się
na:
a) wcięcia w przód  w przypadku pomiaru dwóch kątów o wierzchołkach na
punktach nawiÄ…zania (rys. 19);
Rys. 19.
b) wcięcia wstecz  w przypadku pomiaru przylegających do siebie kątów o
wierzchołkach w punkcie wyznaczanym i ramionach skierowanych do trzech
punktów nawiązania (rys. 20);
Rys. 20.
c) wcięcia kombinowane (złożone)  w przypadku pomiaru jednego kąta w
punkcie nawiÄ…zania, a drugiego w punkcie wyznaczanym (rys. 21);
Rys. 21.
d) wcięcia liniowe  w przypadku pomiaru odległości do punktu wyznaczanego,
wykonanego z dwóch punktów nawiązania (rys. 22).
Rys. 22.
 24
Każde z wymienionych wcięć ma kilka sposobów wyznaczenia współrzędnych
punktu określanego, zaproponowanych przez Gaussa, Delambre a i innych. Rachunkowe
metody obliczeń, oparte na wzorach trygonometrycznych, odpowiednich dla
poszczególnych zadań i dostosowane do możliwości arytmometrów mechanicznych
opracowane były przez S. Hausbrandta. Są one rozpowszechnione w postaci tzw. form
Hausbrandta i zawarte są w licznych formularzach, dostosowanych do obliczeń
elektronicznymi kalkulatorami czterodziałaniowymi. W dobie szerokiego stosowania
elektronicznych stacji pomiarowych, tj. teodolitów sprzężonych z programowanymi
rejestratorami ich znaczenie maleje w dość szybkim tempie, lecz w określonych,
szczególnych przypadkach mogą być one jeszcze przydatne.
2.1.1. Wyznaczanie współrzędnych punktu wcięciem w przód.
Najprostszym zagadnieniem, które
występuje przy zagęszczaniu sieci
szczegółowej, jest pojedyncze wcięcie w przód.
Najczęściej sprowadza się ono do rozwiązania
trójkąta (rys. 23), w którym dane są
współrzędne punktów A i B oraz pomierzone
dwa kÄ…ty przylegÅ‚e Ä… i ² . Obliczenie
Ä… ²
Ä… ²
Ä… ²
przeprowadza się w następującej kolejności:
1. Obliczenie azymutu boku AB:
Rys. 23. tg Ä…AB = (yB  yA)/(xB  xA)= "y / "x;
wzór kontrolny:
tg ( Ä…AB+450) = ( "x + "y)/( "x  "y);
2. Obliczenie długości boku:
AB= (yB  yA)2 + (xB  xA)2; lub AB = " y / sin Ä… AB = " x / cos Ä…AB;
3. Obliczenie boków AP i BP:
AP = (AB sin ² )/ sin ( Ä… + ² ); BP = (AB sin Ä… )/ sin ( Ä…+ ² );
lub:
AP = m sin ² ; BP = m sin Ä…; gdzie: m = (AB) / sin ( Ä… + ² );
4. Obliczenie azymutów boków AP i BP:
Ä…AP = Ä…AB + Ä… ; Ä…BP = Ä…BA - ² ;
5. Obliczenie przyrostów dla punktu P:
"xAP = AP cos Ä…AP; "yAP = AP sin Ä…AP;
"xBP = BP cos Ä…BP; "yBP = BP sin Ä…BP;
6. Obliczenie współrzędnych punktu P:
xP = xA + "xAP; yP = yA + "yAP;
obliczenie kontrolne:
xP = xB + "xBP; yP = yB + "yBP;
 25
Zdarza się często, że pomiędzy punktami A i B brak jest bezpośredniej widoczności
ze stanowisk naziemnych, lecz widoczne są inne punkty o znanych współrzędnych, które
wykorzystać można do wykonania wcięcia w przód. W takim przypadku pomierzyć należy
kÄ…ty wcinajÄ…ce Ć i ¨ (rys. 24), a nastÄ™pnie obliczyć ze współrzÄ™dnych wartoÅ›ci kÄ…tów
BAC i DBA i odjąć je od kątów pomierzonych:
Ä… = Ć - BAC; ² = ¨ - DBA;
Rys. 24.
W ten sposób zadanie określenia współrzędnych tym sposobem zostało
sprowadzone do zadania poprzedniego.
Prof. S. Hausbrandt opracował wzory do obliczenia
wcięcia w przód bez potrzeby obliczania azymutów
(rys. 25).
Rys. 25.
Na rys. 25 A i B sÄ… punktami danymi, punkt P jest punktem wyznaczanym.
Wykreślając z punktu P prostą prostopadłą do AB otrzymujemy punkt F. Współrzędne
punktu P możemy zapisać jako:
xP = xF +"x; yP = yF + "y;
Z podobieństwa trójkątów FCP, FDA, BEF wynika, że
cos Ć = "x / d = (yA  yF) / p = (yF  yB) / q;
skÄ…d:
yF = yA  ( p "x) / d; oraz dla kontroli: yF = yB + (q "x) / d;
Ponieważ p / d = ctg Ä… ; q / d = ctg ²; wobec tego:
yF = yA - x ctg Ä…; lub: yF = yB + x ctg ²;
Podobnie mamy:
sin Ć = "y / d = (xF  xA) / p = (xB  xF) / q;
xF = xA + (p "y ) / d = xA + "y ctg Ä… ; lub xF = xB  (q "y) / d = xB - "y ctg ² ;
 26
Niewiadome "x i "y określić możemy na podstawie podobieństwa trójkątów FCP i ABG:
cos Ć = "x / d = (yA  yB) / (p + q); sin Ć = "y / d = (xB  xA) / (p + q);
"x = d (xB  xA) / (p + q) = (yA  yB) / (ctg Ä… + ctg ²);
"y = d (xB  xA) / (p + q) = (xB  xA) / (ctgÄ… + ctg ²);
Po podstawieniu tych wartości i wartości na xF i yF do wzorów wyjściowych otrzymamy:
XP = xA ctg ² + xB ctg Ä… - (yB  yA) / (ctg Ä… + ctg ²);
YP = yA ctg ² + yB ctg Ä… + (xB  xA) / (ctg Ä… + ctg ²);
Otrzymane wzory ujęte w tzw. formy Hausbrandta mają następującą postać:
xP = F(1); yP = F(2);
gdzie:
XA yA xB yB
F = ;
-1 ctg ² 1 ctg Ä…
Wzór ten jest słuszny dla oznaczeń zgodnych z rys. 25 tzn. stojąc na punkcie A i celując na
punkt B, punkt P powinien być po prawej stronie.
Po obliczeniu współrzędnych oblicza się dla kontroli kąt :
" xA " yA
tg Å‚ = ;
" xB " yB 0
Formy rachunkowe Hausbrandta:
a1 b1 a2 b2 an bn
F = ...... ;
c1 d1 c2 d2 cn dn
F1 = a1d1  b1c1 + a2d2  b2c2 + ...& + andn  bncn ;
F2 = a1c1 + b1d1 + a2c2 + b2d2 +& & + ancn + bndn ;
F0 = F1 : F2; F(1) = F1 / ([ c] + [ d]); F(2) = F2 / ([ c] + [ d]);
Wcięcie w przód rozwiązać można przy pomocy tzw. zorientowanych kierunków ą AP
i ąBP (rys. 23). Jest to sposób polegający na obliczeniu współrzędnych przecięcia się
dwóch prostych (celowych), których równania są dane.
Równanie celowej AP: yP  yA = tg ąAP (xP  xA);
Równanie celowej BP: yP  yB = tg ąBP (xP  xB);
Poprzez odjęcie równania drugiego od pierwszego oblicza się xP:
xP = (yB  yA + xA tg Ä…AP  xB tg Ä…BP) / (tg Ä…AP  tg Ä…BP);
 27
Dla obliczenia yP należy zestawić następujące dwa równania:
xP  xA = ctg Ä…AP (yP  yA);
xP  xB = ctg Ä…BP (yP - yB);
StÄ…d analogicznie:
yP = (xB  xA + yA ctg Ä…AP  yB ctg Ä…BP) / (ctg Ä…AP  ctg Ä…BP);
Wzory te, przedstawione w postaci form Hausbrandta przedstawiają się następująco:
xA yA xB yB
xP =
1 tg Ä…AP -1 tg Ä…BP (1)
xA yA xB yB
yP =
-1 ctg Ä…AP 1 -ctg Ä…BP (2)
Obliczenia kontrolne sÄ… takie same, jak w poprzednim przypadku.
Ocena dokładności wcięcia w przód polega na analizie i przekształceniach wzorów
na obliczenie współrzędnych punktu P (rys. 23):
xP = xB + a cos ( Ä…BP - ² );
yP = yB + a sin ( Ä…BP - ² );
Wyrażając a za pośrednictwem c i pomierzonych kątów otrzymamy:
xP = xB + c sin Ä… cos ( Ä…BP - ² ) / sin ( Ä…+ ² );
yP = yB + c sin Ä… sin ( Ä…BP - ² ) / sin ( Ä…+ ² );
Zgodnie z ogólnym wzorem na błąd funkcji należy znalez
ć pochodne cząstkowe
względem poszczególnych zmiennych, tzn. należy znalez
ć:
"xP "yP "xP "yP
; ; ; ;
"Ä… "Ä… "² "²
Po przeprowadzeniu tych obliczeń otrzymamy średnie kwadratowe błędy
współrzędnych :
cos2( Ä…BP  Ä… ) cos2(Ä…BP - ²)
m2²+b2
m2xp = a2 m2Ä… ;
sin2( Ä… + ²) sin2( Ä… + ²)
sin2( Ä… BP +²) sin2(Ä…BP - ²)
m2yp = a2 m2² +b2 m2Ä… ;
sin2( Ä… + ²) sin2( Ä… + ²)
Po zsumowaniu otrzymujemy średni kwadratowy błąd położenia punktu wcinanego:
a2 b2
m2p = m2² + m2Ä… ;
sin2( Ä… + ²) sin2( Ä… + ²)
 28
ZakÅ‚adajÄ…c, że mÄ… = m ² = m, poprzedni wzór przyjmie postać nastÄ™pujÄ…cÄ…:
m2
m2p = (a2 + b2);
sin2( Ä… + ²)
lub - po pierwiastkowaniu:
m
mp = Ä… ( a2 + b2 ) ;
sin ( Ä… +² )
Jeżeli celowe przecinać się będą pod kątem
prostym, wówczas:
mp = Ä… m " c ;
2.1.2. Określenie współrzędnych wcięciem wstecz.
OkreÅ›lenie poÅ‚ożenia nowego punktu P uzyskuje siÄ™ poprzez pomiar kÄ…tów Ä… i ²
zawartych pomiędzy kierunkami do trzech punktów A, B, C o znanych współrzędnych
(rys. 26). Klasyczny sposób rozwiązania tego zadania znany jest pod nazwą zagadnienia
Pothenota i polega na znalezieniu wartoÅ›ci kÄ…tów pomocniczych Õ i ¨ po czym problem
sprowadza się do wcięcia w przód punktu P z dwóch podstaw AB i BC.
Obliczenia prowadzi się w następującej
kolejności:
Na podstawie współrzędnych punktów A, B, i C
oblicza siÄ™ azymuty Ä…BA i Ä…BC oraz kÄ…t
ł = ąBA - ąBC, a następnie długości boków AB=a,
BC=b. RozpatrujÄ…c czworobok ABCP mamy
następującą zależność kątową:
Ä…+ ² + Õ + ¨ + Å‚ = 3600 ;
a stÄ…d
Ć + ¨ 3600  (Ä… + ²+Å‚ )
Rys. 26. 2 2
Dalszy ciąg obliczeń ma doprowadzić do znalezienia różnicy kątów pomocniczych
Õ - ¨, a tym samym ich wartoÅ›ci. W tym celu wyrażamy dÅ‚ugość boku BP dwukrotnie z
dwóch trójkątów ABP i BCP:
BP = a sin Õ / sin Ä… = b sin ¨ / sin ² ;
Stąd można utworzyć następującą proporcję:
sin Õ : sin ¨ = (b / sin ²) : (a / sin Ä…);
Prawa strona tego równania składa się z wielkości znanych, więc można ją obliczyć.
Oznaczamy jÄ… poprzez:
 29
a sin ²
tg µ = ;
b sin Ä…
Wobec tego stosunek sinusów kątów pomocniczych jest znany:
sin Õ 1
sin ¨ tg µ
Stosując do tego typu równania prawo proporcji:
a c a - b c - d
gdy to
b d a + b c + d ;
otrzymamy:
sin Õ - sin ¨ 1  tg µ
sin Õ + sin ¨ 1 + tg µ
Jak wiadomo
1  tg µ
tg (450 - µ );
1 + tg µ
wobec czego
sin Õ - sin ¨
tg (450 - µ );
sin Õ - sin ¨
Wprowadzając wzory połówkowe
Õ - ¨ Õ + ¨
sin cos
2 2
tg (450 - µ ) ;
Õ + ¨ Õ - ¨
sin cos
2 2
czyli
tg (Õ - ¨) / 2 ctg (Õ +¨) / 2 = tg (450 - µ );
a stÄ…d
tg (Õ - ¨) / 2 = tg (Õ + ¨) / 2 tg (450 - µ );
Tak wiÄ™c, po obliczeniu kÄ…ta µ i ( Õ + ¨ ) / 2 wedÅ‚ug poprzednio podanych zależnoÅ›ci
obliczyć możemy Õ - ¨ i nastÄ™pnie kÄ…ty Õ i È .
(Õ + ¨)/2 + (Õ - ¨)/2 = Õ , (Õ + ¨)/2 - ( Õ - ¨)/2 = ¨.
Na podstawie tych kątów znajdujemy azymuty AP, BP, i CP oraz długości AP,
BP, i CP. Szukane współrzędne punktu P możemy określić (dla kontroli rachunku) trzema
drogami rachunkowymi:
 30
1) xp = xA + AP cos Ä…AP; yp = yA + AP sin Ä…AP;
2) xp = xB + BP cos Ä…BP; yp = yB + BP sin Ä…BP;
3) xp = xC + CP cos Ä…CP; yp = yC + CP sin Ä…CP.
Określenie położenia punktu wcięciem wstecz może być wykonane tylko przy
zachowaniu pewnych warunków geometrycznych. Rozwiązanie nieoznaczone otrzymujemy
wówczas, jeżeli trzy punkty dane i punkt wyznaczany leża na jednym okręgu koła.
Wówczas Ä… + ² + Å‚ = 1800 Õ+ ¨ = 3600  ( Ä… + ² + Å‚ ) = 1800. PodstawiajÄ…c te wartoÅ›ci
do podanego wcześniej wzoru:
sin Õ / sin ¨ = 1 / tg µ ;
otrzymamy:
sin Õ / sin ¨ = sin Õ / sin (1800 - Õ ) = 1;
czyli
tg µ = 1, a stÄ…d µ = 450 ;
Jeżeli wartość tę podstawimy do wzoru:
tg(Õ - ¨) / 2 = tg(Õ + ¨) / 2 tg (450 - µ),
to otrzymamy wówczas rozwiązanie nieoznaczone.
Z rys. 27 wynika wprost, że każdy
punkt leżący na obwodzie koła,
przechodzÄ…cego przez trzy punkty dane i
punkt wyznaczany, tworzy z pozostałymi
trzema punktami kÄ…ty Ä… i ² . WybierajÄ…c
więc punkty A, B, C, za pomocą których
chcemy określić położenie punktu P, musimy
tak je dobierać, aby one wraz z punktem
wyznaczanym nie leżały na obwodzie lub w
pobliżu jednego koła. Nosi ono nazwę koła
niebezpiecznego.
Rys. 27.
Jednym z bardziej znanych sposobów obliczenia wcięcia wstecz jest sposób Collinsa.
Zasada tego sposobu opiera siÄ™ na konstrukcji geometrycznej, pokazanej na rys. 28. Przez
skrajne punkty dane A i B oraz punkt wyznaczany prowadzi się koło. Półprosta
wychodzÄ…ca z punktu P i przechodzÄ…ca przez punkt C przecina okrÄ…g w punkcie Q,
zwanym punktem Collinsa. Na rys. 28, pokazujÄ…cym dwa warianty takiej konstrukcji sÄ… pary
równych sobie kątów, jako opartych na wspólnych cięciwach. Kąty te oznaczono
jednakowymi symbolami Ä…, ², Å‚, lub ´ .
Rys. 28.
Z tego wynika, że współrzędne punktu Q możemy obliczyć za pomocą wcięcia w
przód z punktów A i B znajÄ…c pomierzone kÄ…ty Ä… i ² . KÄ…ty poÅ‚ożone przy wierzchoÅ‚ku Q
możemy obliczyć na podstawie współrzędnych punktów A, Q, B, C. Następnie
wykorzystamy te kąty do obliczenia współrzędnych wyznaczanego punkty P za pomocą
 31
wcięcia w przód z punktów A i B. Widzimy więc, że sposób Collinsa polega na
dwukrotnym zastosowaniu wcięcia w przód.
Dokładność wyznaczenia położenia punktu Q zależy między innymi od długości
odcinka CQ. Przy malejącej odległości CQ będzie wzrastał błąd azymutu odcinka CQ, a
tym samym i bÅ‚Ä™dy wyznaczenia kÄ…tów Å‚ i ´ . Gdy punkt C znajdzie siÄ™ na okrÄ™gu,
zadanie staje siÄ™ niewyznaczalne.
2.1.3. Określenie współrzędnych wcięciem liniowym.
Wyznaczanie współrzędnych punkt wcięciem liniowym sprowadza się, podobnie jak
to miało miejsce przy wcięciu wstecz, do rozwiązania wcięcia w przód. Stosunkowo duża
ilość dalmierzy, którymi wykonuje się pomiary odległościowe o wysokiej precyzji pomiaru
preferuje ten sposób określania położenia punktów. Jest to sposób szybki, który eliminuje
znaczną część błędów, charakterystycznych dla pomiarów kątowych. W trójkącie ABP (rys.
29) znane są długości boków a i b z pomiaru oraz boku c ze znanych współrzędnych
punktów nawiązania A i B. Na podstawie długości boków a, b, c trójkąta ABP oraz
znanych z trygonometrii zależności otrzymamy:
a2  b2 + c2
cos ² =
;
2ac
b2  a2 + c2
cos Ä… = ;
2bc
Rys. 29.
a2 + b2  c2
cos Å‚ = ;
2ab
Zależności te podstawimy do wzoru:
cos ²
ctg ²=
;
1- cos2 ²
i po przekształceniach otrzymamy:
1 1
ctg Ä…=
ctg ²= ; ;
2ac 2 2bc 2 -1
-1
a2  b2 + c2 b2  a2 + c2
1
tg Å‚ =
;
2ab 2
-1
a2 + b2  c2
Współrzędne punktu P wyznaczamy posługując się wzorami przytoczonymi dla
wcięcia w przód, sposobem bez pomocy azymutu. Korzystać można zarówno ze wzorów
bezpośrednich, jak również z form Hausbrandta. Wartość tg ł obliczoną ostatnim z
przytoczonych powyżej wzorów wykorzystuje się do kontroli poprawności obliczeń
prowadzonych tymi formami.
2.1.4 Określenie współrzędnych wcięciem kombinowanym.
 32
Wcięcie kombinowane (rys. 30) polega na określeniu położenia punktu P względem
dwóch punktów danych A i B.
Rys. 30.
W obu przypadkach znane są trzy elementy trójkąta ABP. Na ich podstawie obliczamy
wielkoÅ›ci kÄ…tów Ä… i ² o wierzchoÅ‚kach w punktach nawiÄ…zania A i B. WspółrzÄ™dne
punktu P wyznaczamy wciÄ™ciem w przód z bazy AB za pomocÄ… kÄ…tów Ä… i ².
2. 1. 5. Określanie współrzędnych sposobem Hansena.
Sposób Hansena polega na wyznaczeniu współrzędnych dwóch nowych punktów P
i Q na podstawie dwóch punktów A i B których współrzędne są znane (rys. 31).
Warunkiem koniecznym jest, aby na
każdym wyznaczanym punkcie był możliwy
pomiar kierunków do obu punktów danych i do
drugiego punktu określanego. Różne wzajemne
położenie punktów danych i określanych
powoduje różny rodzaj konstrukcji
geometrycznych (rys. 32). Aby można było
zastosować te same wzory dla każdej sytuacji,
należy oznaczyć kąty w następujący sposób:
przez Ä…1 i ²1 pomierzone kÄ…ty zawarte pomiÄ™dzy
Rys. 31. celową PQ i celowymi do punktów A i B,
analogicznie przez Ä…2 i ²2 pomierzone kÄ…ty zawarte pomiÄ™dzy celowÄ… QP a celowymi do
punktów A i B. Jako regułę przyjmuje się liczenie kątów od kierunków PQ lub QP zgodnie
z ruchem wskazówek zegara.
Rys. 32.
Przy oznaczeniu pozostałych kątów (obliczanych) należy zachować tę samą zasadę
do wszystkich przypadków.
Z rys. 31 wynika, że znajomość kÄ…tów Å‚ i ´ oraz ¾ i · sprowadza zagadnienie
Hansena do dwóch wcięć w przód, wykonanych z bazy AB. Podobnie jak przy wcięciu
 33
wstecz metodÄ… klasycznÄ… i tutaj dochodzimy do tego poprzez wprowadzenie tangensa kÄ…ta
pomocniczego (tg µ ). W tym celu po obliczeniu
Å‚ + ´ = 1800  ( ²1 - Ä…1 )
należy znalez
ć drugie równanie na ( Å‚ - ´ ), które pozwoliÅ‚oby obliczyć kÄ…ty Å‚ i ´ .
Pomiędzy funkcjami kątów zachodzą następujące związki:
sin Å‚ PB
;
sin ´ PA
sin ²2 PB sin (Ä…2 - Ä…1) PQ
oraz ;
sin (²2 - ²1) PQ sin Ä…2 PA
Zastępując prawą stronę pierwszego równania przez związki wynikające z dwóch
pozostałych równań otrzymamy:
sin Å‚ sin ²2 sin (Ä…1 - Ä…2)
sin ´ sin Ä…2 sin (²1 - ²2)
Oznaczając prawą stronę tego równania przez ctg otrzymamy:
sin Å‚ 1
sin ´ tg µ
Po przekształceniach identycznych jak przy rozwiązaniu wcięcia wstecz otrzymamy:
Å‚ - ´ Å‚ + ´
tg tg tg (450 - µ);
2 2
Po obliczeniu kÄ…ta µ i (Å‚ + ´), wedÅ‚ug poprzednio podanych zależnoÅ›ci można
obliczyć (Å‚ - ´) i nastÄ™pnie kÄ…ty Å‚ i ´ , które pozwolÄ… zastosować wciÄ™cie w przód dla
wyznaczenia współrzędnych punktu P.
Znajomość kÄ…tów Å‚ i ´ pozwala obliczyć pozostaÅ‚e dwa kÄ…ty pomocnicze ¾ i ·
potrzebne do obliczenia wcięciem w przód z bazy AB punktu Q.
¾ = Å‚ - Ä…1 + Ä…2 + 1800 ; · = ´ + ²1 - ²2  1800.
Oprócz omówionego istnieje kilka innych sposobów rozwiązania tego zagadnienia,
do których należy również sposób oparty na zastosowaniu znanych symboli Hausbrandta.
Pewną odmianą zagadnienia Hansena jest zadanie Mareka, które zachodzi wtedy,
gdy z każdego z dwóch wzajemnie widocznych nowo wyznaczanych punktów P i P
widoczne są po dwa różne punkty o znanych współrzędnych (rys. 33).
 34
Rys. 33.
Zadanie to można rozwiązać przy pomocy punktów Collinsa. Geometryczne
uzasadnienie tego sposobu wyjaśnia rysunek. Na trójkątach ABP i A B P opisujemy koła.
Przedłużony w obie strony odcinek PP daje w wyniku przecięcia się z okręgami dwa punkty
Collinsa Q i Q . Obliczenie współrzędnych punktu Q można wykonać z bazy AB przy
użyciu kÄ…tów (1800 - Ä…) i (1800 - ²), natomiast współrzÄ™dne punktu Q z bazy A B oraz
kÄ…tów (1800 - Ä… ) i (1800 - ² ). Po wyznaczeniu współrzÄ™dnych tych dwóch punktów
można obliczyć kÄ…ty Å‚, ´, Å‚ i ´ . Ze wzglÄ™du na to, że µ = ´, Õ = Å‚ oraz µ = ´ , Õ = Å‚ ,
można zastosować wcięcie w przód z tych samych baz dla obliczenia współrzędnych
punktów wyznaczanych P i P . Rozwiązanie tego zagadnienia może być przeprowadzone
również przez zastosowanie form Hausbrandta.
2. 2. ZASADY WYRÓWNYWANIA WCI
CIA WIELOKROTNEGO.
Przedstawione zagadnienia pojedynczych wcięć (wcięć bez wyrównania) nie mogą
być użyte w tej postaci do zagęszczania sieci triangulacyjnej, ponieważ nie dają żadnej
gwarancji kontroli pomiarów terenowych. Na przykład, pomierzony kąt na inny punkt aniżeli
ten, którego współrzędne zostały wzięte do obliczeń, pozwoli na przeprowadzenie rachunku
do końca. Obliczone współrzędne nie będą jednak należały do wyznaczanego punktu, lecz
do jakiegoÅ› fikcyjnego, niczym w terenie nie oznaczonego.
Wprowadzenie jednej niezależnej obserwacji dodatkowej pozwoli na kontrolę
pomiaru terenowego i poprawności obliczeń. Wprowadzenie wymaganych przez instrukcje
kilku dodatkowych obserwacji pozwoli zastosować rachunek wyrównawczy. Obserwacje te
zamieniają omówione pojedyncze wcięcia na wcięcia kątowe wielokrotne. Mogą one
mieć zastosowanie przy określaniu pojedynczych punktów lub przy jednoczesnym
wyznaczaniu dwóch, a nawet całej grupy punktów. W obu tych przypadkach zachodzi
potrzeba pomiaru w terenie dodatkowych kątów ze znanych stanowisk lub punktów
wyznaczanych. W pierwszym przypadku będziemy mieli do czynienia z wielokrotnym
wcięciem w przód, a w drugim z wielokrotnym wcięciem wstecz. Jeżeli kąty zostały
pomierzone ze znanych i z wyznaczanych punktów, wtedy mówi się o wielokrotnym wcięciu
obustronnym lub kombinowanym.
Wyrównanie wcięć kątowych prowadzi się prawie wyłącznie metodą spostrzeżeń
pośredniczących. Użycie różnych kątów dla określenia położenia tego samego punktu na
skutek istnienia błędów przypadkowych powoduje nieznacznie różniące się wyniki.
Wyrównanie polega na takim zniekształceniu rezultatów obserwacji kątowych, przez
dodanie do nich poprawek , speÅ‚niajÄ…cych warunek ½½= min. (wzglÄ™dnie dla spostrzeżeÅ„
różnodokÅ‚adnych (p½½=min.), aby poprawione wartoÅ›ci kÄ…tów prowadziÅ‚y do
jednoznacznych wyników.
Ogólny przebieg postępowania przy wyrównaniu wielokrotnego wcięcia da się
podzielić na następujące etapy:
1. Obliczenie przybliżonych współrzędnych punktów nowo wyznaczanych za
pomocą pojedynczych wcięć.
2. Obliczenie przybliżonych wartości kątów na podstawie przybliżonych wartości
współrzędnych punktów określanych i współrzędnych punktów danych.
3. Ułożenie dla każdego kąta równania błędu obserwacji kątowej na podstawie
równania:
 35
Ä…obs + ½ = Ä…przybl. + dÄ… ;
½ = dÄ… + Ä…przybl.- Ä…obs.;
Wartość różniczki dą określa forma:
dxL dyL dxP dyP dxC dyC
dÄ… =
AL BL -AP -BP -(AL  AP) -(BL  BP) 1
Oznaczenia: dxL, dyL  poprawki do przybliżonych współrzędnych punktu na
lewym ramieniu kÄ…ta;
dxP, dyP  poprawki do przybliżonych współrzędnych punktu na
prawym ramieniu kÄ…ta;
dxC, dyC  poprawki do przybliżonych współrzędnych punktu
centralnego (tj. w wierzchołku kąta);
AL, AP, BL, BP  współczynniki kierunkowe określone następującymi
wzorami:
(xL  xC) (xP  xC)
AL= ; AP = ;
(xL  xC)2 + (yP  yC)2 (xP  xC)2 + (yP  yC)2
(yL  yC) (yP  yC)
BL = ; BP = ;
(xL  XC)2 + (yL  yC)2 (xP  xC)2 + (yP  yC)2
4. Doprowadzenie równań błędów do postaci algebraicznej (po wykonaniu działań
zaznaczonych formą tabelaryczną), które dla jednego punktu nowo
wyznaczanego i dla czterech kątów wcinających są następujące:
½i = ai dx + bi dy + li ; i = 1, 2, 3, 4.
5. Przekształcenie równań błędów na układ równań normalnych, który dla jednego
punktu wyznaczanego będzie składał się z dwóch równań i dwóch
niewiadomych:
[ aa] dx + [ ab] dy + [al] = 0;
[ ab] dx + [ bb] dy + [bl] = 0.
6. Po rozwiązaniu równań normalnych, obliczenie wyrównanych współrzędnych
wyznaczanego punktu przez dodanie dx i dy do przybliżonych
współrzędnych x0 i y0:
x = x0 + dx; y = y0 + dy ;
7. Obliczenie poprawek po wstawieniu dx i dy do równań błędów.
8. Obliczenie średniego błędu obliczonych współrzędnych punktu wciętego.
 36
Opierając się na podstawowych prawach geometrii i trygonometrii można ustalić
pewne warunki, jakim powinno odpowiadać poprawne wcięcie wielokrotne. Przede
wszystkim przy każdym wielokrotnym wcięciu celowe wcinające powinny być tak
usytuowane, aby położenie punktu mogło być określone niezależnie i dokładnie dwoma
pojedynczymi wcięciami. Dokładność pojedynczego wcięcia w przód wymaga, aby celowe
przecinały się w przybliżeniu prostopadle. Pewność wcięcia wstecz wymaga, aby suma
pomierzonych dwóch kÄ…tów wcinajÄ…cych (Ä… i ²) i przeciwlegÅ‚ego kÄ…ta Å‚ zawartego miÄ™dzy
danymi bokami sieci zagÄ™szczajÄ…cej ( ² + ² + Å‚ ) byÅ‚a zbliżona do 2700. Punkt wcinany
powinien leżeć w okolicy środka ciężkości pola ograniczonego punktami danymi.
3. ANALIZA DOKA
ADNOŚĆI WYZNACZANIA POJEDYNCZYCH PUNKTÓW.
3.1. WST
GI WAHAC
.
Pomiar dowolnego kąta w terenie obarczony jest szeregiem błędów powodujących,
że właściwą jego wartością będzie ą =ą ą mą . Ma to niewątpliwy wpływ na wielkość błędu
położenia punktu, jako jeden z elementów wpływających na dokładność przyjętego przez
nas rozwiązania geometrycznego. Właściwym wobec tego miejscem geometrycznym
położenia stanowiska będzie sektor, którego ramiona tworzą linie symetryczne względem
celowej, określającej kierunek do wyznaczanego punktu. Rozwartość ramion tego sektora
z wierzchołkiem w punkcie obserwacji (rys. 34), określa podwójny średni błąd określenia
kąta, który stanowi element wcięcia danego zadania geodezyjnego.
Rys. 34. Rys. 35
Elementem wcięcia nazywamy pojedynczą wielkość, określoną w celu wyznaczenia
współrzędnych punktu wcięciem.
Elementem wcięcia w przód jest kąt poziomy zmierzony na punkcie danym,
którego ramiona tworzą kierunki na punkt dany i punkt określany. Wcięcie w przód składa
się z dwóch elementów wcięcia w przód (kąty pomierzone na punktach danych).
Element wcięcia wstecz  to kąt poziomy zmierzony na punkcie wyznaczanym.
Wcięcie wstecz składa się z dwóch elementów.
Element wcięcia liniowego jest odległością zmierzoną z punktu danego do punktu
wyznaczanego lub odwrotnie, a wcięcie takie składa się z dwóch elementów wcięcia
liniowego.
Wcięcie kombinowane składa się z jednego elementu wcięcia w przód lub
jednego elementu wcięcia wstecz i jednego elementu wcięcia liniowego.
Jeżeli na stanowisku A bezbłędnie odłożymy kąt (rys. 34) zawarty pomiędzy celowa
do punktu danego B a celową do nowo wyznaczanego punktu P, to wyznaczyliśmy
miejsce geometryczne możliwych położeń punktu P  prostą AP, która nazwiemy osią
wyznaczającą. W bliskim otoczeniu punktu P, którego odległość od A jest w przybliżeniu
znana, można ramiona tego kąta uważać za równoległe (rys. 35). Odległość d1, dla której
można uważać ramiona kÄ…ta mÈ za równolegÅ‚e okreÅ›la siÄ™ wzorem:
 37
´ = d1 tg ( mÈ );
Jeżeli przyjmiemy, że odchylenie od równolegÅ‚oÅ›ci ´ spowodowane bÅ‚Ä™dem mÈ =Ä… 103 nie
powinno przekraczać 0,001 m, to podstawiając tę wartość do powyższego wzoru
otrzymamy:
d1 = ´ / tg mÈ = 0,001 / tg 00 00 10  = 20,6 m
Tak więc, miejscem geometrycznym wszystkich możliwych położeń punktu P będzie
obszar zawarty pomiędzy równoległymi
poprowadzonymi w odlegÅ‚oÅ›ciach e1 H" +dmÈ oraz
e2 H" - dmÈ od osi wyznaczajÄ…cej, czyli od
półprostej AP wychodzącej z punktu A i
tworzÄ…cej z prostÄ… AB kÄ…t È (rys. 36). ProstÄ… AP
nazywamy osiÄ… wyznaczajÄ…cÄ…, a obszar
pomiędzy równoległymi do niej w otoczeniu punktu
P  obszarem położeń wyznaczanego punktu. Oś
wyznaczającą i obszar położeń wyznaczanego
punktu nazywamy osią wstęgi wahań
Rys. 36. i wstęgą wahań.
3.1.1. Ocena dokładności konstrukcji geodezyjnych za pomocą wstęgi wahań.
Ocena dokładności różnego rodzaju konstrukcji geometrycznych, służących
wyznaczaniu współrzędnych pojedynczych punktów za pomocą wstęg wahań
przeprowadzana jest przede wszystkim w przypadkach projektowania nowych sieci i
określania podstawowych warunków dokładnościowych, dotyczących obserwacji kątowych i
odległościowych, oraz związanej z tym kształtem figury geometrycznej, wynikającej z
przyjętej metody.
Jak wiadomo, warunkiem koniecznym wyznaczenia współrzędnych za pomocą
wcięcia jest wykonanie dwóch obserwacji: dwóch kątów, dwóch długości lub jednego kąta i
jednej długości, łączących nowo wyznaczany punkt z punktami o znanych współrzędnych.
Każda obserwacja wyznacza jakieś miejsce geometryczne możliwych położeń
wyznaczanego punktu. Szukany punkt będzie leżał w punkcie przecięcia miejsc
geometrycznych dwóch obserwacji wykonanych w celu jego wyznaczenia.
W przypadku wcięcia w przód (rys. 37), dwie przecinające się wstęgi wahań
Rys. 37. Rys. 38.
wyznaczają miejsce geometryczne położeń punktu P w postaci równoległoboku, kwadratu
lub prostokąta, w zależności od długości poszczególnych celowych (rys 38). Jeżeli
przecinają się one pod kątem prostym, wówczas niezależnie od różnicy w długościach
poszczególnych boków przecinające się wstęgi wahań leżeć będą na okręgu
przechodzącym przez punkty dane i wyznaczany, a ich pola będą jednakowe. Szerokości
obszarów wszystkich możliwych położeń wyznaczanego punktu będą sobie równe, jeśli
 38
b mÄ… = a m² ;
a ponieważ zakÅ‚adamy, że bÅ‚Ä…d Å›redni pomiaru kÄ…tów mÄ… = m², dlatego odlegÅ‚oÅ›ci do
punktu wcinanego dla tego przypadku będą sobie równe, czyli a = b. Kąt między osiami
wyznaczającymi będzie równy 90o jeżeli pomierzone kąty na punktach danych będą sobie
równe tzn. Ä… = ² = 45o.
W przypadku wcięcia wstecz, miejsce geometryczne
położeń punktu wcinanego P ilustruje rys. 39.
Przez pomiar kÄ…ta Õ na punkcie wyznaczanym P,
zawartego pomiędzy celowymi do punktów A i B o
znanych współrzędnych, wyznaczone zostało
geometryczne miejsce możliwych położeń punktu P,
czyli takich punktów, z których dany odcinek AB
widać pod kÄ…tem Õ. W wypadku bezbÅ‚Ä™dnego
wyznaczenia kąta, miejscem geometrycznym będzie
okrąg k opisany na trójkącie ABP. Jeżeli z pomiaru
zamiast wartoÅ›ci kata Õ uzyskamy Õ = Õ - mÕ , gdzie Rys. 39.
mÕ jest bÅ‚Ä™dem pomiaru kÄ…ta Õ, to odpowiadajÄ…ce temu kÄ…towi Õ poÅ‚ożenie stanowiska
zamiast w punkcie P znajdzie się w punkcie P . Miejscem geometrycznym położenia
punktów P będzie więc okrąg k przechodzący przez punkty A, B, P . W bliskim otoczeniu
punktów P i P możemy łuki okręgów k i k uważać za pokrywające się z odcinkami
stycznych w tych punktach.
Rys. 40. Rys. 41. Rys. 42.
Przy założeniu, że obie styczne są do siebie równoległe, oraz że ramię AP pokrywa się z
ramieniem AP (rys. 41), odległość między stycznymi wyniesie:
e = PP sin x ; gdzie odcinek PP = b sin mÕ / sin Õ ;
Jeżeli przyjmiemy, że sin Õ H" sin Õ oraz sin mÕ H" mÕ oraz że:
sin x a
sin Õ c
to otrzymamy ab
e H" mÕ .
c
Ponieważ bÅ‚Ä…d kÄ…ta mÕ może przyjmować wartoÅ›ci dodatnie lub ujemne, to miejscem
geometrycznym wszystkich możliwych położeń punktu P jest obszar zawarty pomiędzy
dwoma równoległymi do stycznej do okręgu w punkcie P. Linie równoległe są oddalone od
stycznej o wartości e obliczone wg podanego powyżej wzoru po obydwu jej stronach.
 39
Osią wyznaczającą jest styczna do okręgu opisanego na trójkącie ABP w punkcie P.
Sposób konstrukcji stycznej do okręgu opisanego na trójkącie jest pokazany na rys. 42.
W przypadku wcięcia liniowego miejscem geometrycznym możliwych położeń
punktu P jest okrąg o środku w punkcie A i promieniu równym mierzonej długości d.
Rys. 43. Rys. 44.
Błąd pomiaru odległości powoduje, że obszar możliwych położeń punktu P jest ograniczony
dwiema równoległymi do stycznej do okręgu w punkcie P, co pokazano na rys. 43.
Szerokość tego obszaru 2e jest równa podwójnemu błędowi pomiaru odległości e= md.
Dla wcięcia liniowego figura błędów będzie kwadratem, jeśli boki wcinające d1 i d2 będą się
przecinały pod kątem prostym (rys. 44), a błędy pomiaru tych boków będą w przybliżeniu
równe. Jeżeli boki zostaną pomierzone tym samym narzędziem pomiarowym i odległości
będą równe, wówczas miejscem geometrycznym położeń punktu P będzie prosta l
wychodząca ze środka boku AB i do niego prostopadła.
Przy wcięciu kombinowanym kątowym przedstawionym na rys. 45 punkt P jest
wyznaczony jednym elementem wcięcia w przód (kąt ą) oraz jednym elementem wcięcia
wstecz (kÄ…t ²).
Rys. 45. Rys. 46.
Aby figura błędów dla tego wcięcia była kwadratem, kąt pomiędzy osiami
wyznaczajÄ…cymi powinien wynosić 900, a tym samym suma kÄ…tów Ä… + ² również powinna
wynosić 900. Szerokości obszarów wszystkich możliwych położeń punktu wcinanego P, dla
elementu wciÄ™cia w przód (kÄ…t Ä…) i dla elementu wciÄ™cia wstecz (kÄ…t ²) bÄ™dÄ… sobie równe,
co sprowadza siÄ™ do warunku:
a " mÄ… = a b " m² / q ;
Ponieważ z założenia błędy pomiaru kątów są sobie równe, powyższy warunek spełni się,
gdy figura wcięcia kombinowanego będzie trójkątem równoramiennym, czyli b = q (rys. 45).
Miejscem geometrycznym poÅ‚ożeÅ„ punktu P przy speÅ‚nianiu siÄ™ warunku sumy kÄ…tów Ä…+ ²
jest prosta l przechodząca przez punkt A, będąca prostopadłą do danego boku AB. Dla
warunku równości ramion trójkąta b = q miejscem geometrycznym jest okrąg koła ze
środkiem w punkcie A i promieniem r = q = b. Figura będzie kwadratem, jeżeli wyznaczany
punkt będzie leżał na przecięciu okręgu z prostą l.
 40
Kątowo liniowe wcięcie kombinowane złożone (rys. 46), jest realizowane za
pomocą elementu wcięcia wstecz (kąt ą) oraz elementu liniowego wcięcia (odległość d).
Kąt prosty pomiędzy osiami wyznaczającymi zachowany będzie wówczas, gdy ą+ł = 1800.
Warunek ten będzie spełniony wówczas, gdy bok BP trójkąta ABP pokryje się z
bokiem BA. Oznacza to, że dla wcięcia kombinowanego złożonego z elementu wcięcia
wstecz i elementu liniowego nie można uzyskać takiego położenia punktu P względem
punktów AB, przy którym figura błędów będzie kwadratem.
Przy projektowaniu usytuowania punktów osnowy szczegółowej wykorzystuje się
teorię wstęg wahań do określenia oczekiwanej dokładności położenia punktu, która wynika
z kształtu figury geometrycznej konkretnego dla danego punktu wcięcia. Jest oczywiste, że
przy wykonywaniu projektów sieci dąży się, aby figury błędów miały kształt zbliżony do
kwadratu a ich powierzchnia była jak najmniejsza.
3.1.2. Skrócona analiza dokładności wyznaczenia współrzędnych za pomocą
wzorów.
Przy określaniu współrzędnych punktu pomiarem w przypadku wcięć pojedynczych
punktów bez obserwacji nadliczbowych, istnieje możliwość obliczenia na podstawie wzorów
średniego błędu położenia punktu wciętego, przy założeniu bezbłędności punktów
nawiązania. Wzory te używane są również podczas projektowania sieci, ponieważ dane do
obliczeń, tj. kąty i długości celowych wcinających można określić na podstawie mapy oraz
określić oczekiwany błąd kąta. Są to proste wzory, których składowe stanowią wartości
mierzonych elementów i ich błędy.
Dla wcięcia kątowego w przód (rys. 46):
Wzory ogólne:
m2Xp = c2[sin2² cos2(Õ +²)m2 + sin2Ä… cos2(Õ -Ä…)m²2]/sin4(Ä…+²);
Ä…
m2Yp = c2[sin2² sin2(Õ+²)mÄ…2 +sin2 sin2(Õ -Ä…)m²2 ]/sin4(Ä…+²);
Przy zaÅ‚ożeniu, że: mp = Ä… m2Xp+m2Yp oraz mÄ…=m²= m
otrzymamy:
Rys. 46 mp = Ä… c
m sin2² + sin2Ä… / sin2(Ä…+²); *)
Jeżeli celowe przecinają się pod kątem prostym to otrzymamy: mp = ą c
m.
Podczas projektowania sieci czasami wygodniej jest znać zależność błędu średniego
położenia punktu od długości celowych wcinających a i b. Po podstawieniu do wzoru *)
wartości:
b = c sin ² /sin (Ä… + ²); oraz a = c sin Ä… / sin (Ä… + ²);
otrzymamy:
mp = Ä… b2m2 +a2m2² / sin (Ä… +²);
Ä…
a także: **)
mp = Ä… m b2 + a2 / sin (Ä… +²).
Ze wzorów oznaczonych **) wynika, że dokładność wcięcia w przód zależy od długości
celowych wcinających. Są one jednak zależne od odległości pomiędzy punktami M i N
oraz od wielkoÅ›ci mierzonych kÄ…tów Ä… i ². Podczas projektowania odlegÅ‚oÅ›ci boków
bierzemy z mapy.
 41
W przypadku trójkÄ…ta równoramiennego a = b, Ä… = ² bÅ‚Ä…d poÅ‚ożenia punktu P
można określić wzorem:
mp = c sin Ä… m 2 / sin22Ä… = mc 2 / 4sinÄ… cos2Ä…;
Dla wcięcia wstecz (rys. 47):
mp=Ä… q2a2mÄ…2+p2b2mÄ…2 /ćłsinÄ…(b+ccos²)+sin²(a+ccosÄ…)ćł
W przypadku wcięcia wstecz, punkt wyznaczany
powinien leżeć możliwie daleko od okręgu
przechodzÄ…cego przez punkty dane NMC na zewnÄ…trz,
lub wewnątrz okręgu, najlepiej wewnątrz trójkąta MNC,
Rys. 47. co bierze siÄ™ pod uwagÄ™ przy projektowaniu sieci.
Dla wcięcia liniowego (rys. 48):
mp = Ä… m2a + m2b / sin ( Ä… + ² );
lub:
ab m2a +m2b
mp = Ä… ;
ch
Rys. 48. Jeżeli ma = mb = m wówczas:
mp = Ä… m 2 / sin (Ä… + ²);
Dla wcięcia kombinowanego (rys. 49 i rys. 50):
Rys. 49. Rys. 50.
Wcięcie kątowe (rys. 49): Wcięcie kątowo-liniowe (rys. 50):
Przy założeniu że mp = ą m2Xp+m2Yp
mp = Ä… c sin2² m2 + sin2Ä… m2² / sin2²; mp = Ä… 2m2d +d2m2 ;
Ä… Ä…
Przy mÄ… = m² = m
mp = Ä… c m sin2Ä… + sin2² / sin2²;
4. PUNKTY PRZENIESIENIA.
Punktem przeniesienia nazywamy punkt zakładany na powierzchni terenu w
bezpośrednim otoczeniu niedostępnego punktu sieci. Punkt taki zakładany jest wówczas,
gdy nie jest możliwe nawiązanie bezpośrednie poligonu do osnowy wyższej klasy, tj.
 42
pomiar kąta pomiędzy bokiem ciągu a kierunkiem na inny punkt nawiązania, oraz
odległości do skrajnego punktu ciągu.
Punktami, którym określa się pomiarem punkty przeniesienia są najczęściej górujące
nad otoczeniem zwieńczenia wysokich budowli (wieże kościelne, maszty), które są
punktami sieci i na których ustawienie przyrządu pomiarowego jest niemożliwe.
Punkt sieci, dla którego zakłada się punkt przeniesienia nazywa się punktem
macierzystym. Jeżeli jest on niedostępny, sieci i ciągi poligonowe dowiązuje się do punktu
przeniesienia. Czynności związane z założeniem, pomiarem i obliczeniem współrzędnych
punktu przeniesienia nazywamy przeniesieniem współrzędnych. Położenie punktu
przeniesienia ustala się podczas wywiadu terenowego z uwzględnieniem trzech
podstawowych warunków:
1) przeniesienie współrzędnych powinno być oparte o prawidłowy kształt
konstrukcji geometrycznej do pomiaru i obliczenia położenia punktu;
2) powinno umożliwić prawidłowe i łatwe dowiązywanie sieci poligonowych;
3) powinno zapewnić stabilność i trwałość znaku geodezyjnego, którym
zastabilizowano punkt przeniesienia.
Ze względu na to, że pomimo starannej lokalizacji, szczególnie na terenie miast i
osiedli punkty przeniesienia często ulegają zniszczeniu, zakłada się wielopunktowe siatki
przeniesienia współrzędnych, za pomocą których dla jednego punktu macierzystego
określa się kilka punktów przeniesienia.
Punkty przeniesienia zakłada się również na terenach rolnych, nieużytkach i
terenach przyleśnych w wypadku, gdy ze stanowiska naziemnego nie jest widoczny inny
punkt zakładanej sieci w odległości od 200 do 500 m od punktu macierzystego.
Są to tzw. punkty kierunkowe, (rys. 51), na których mierzy się dodatkowo kąt z taką samą
dokładnością jak pozostałe kąty sieci, a następnie na jego podstawie oblicza się azymut
boku MP.
Dla punktów przeniesienia wyznaczamy
współrzędne x, y oraz rzędną z. Odległość d do
punktu przeniesienia tam, gdzie jest to możliwe, mierzy
się najczęściej metodami elektronicznymi, z błędem nie
przekraczającym md = ą0,01 m, a ze względu na
możliwość wystąpienia niekorzystnych warunków
pomiaru (strome celowe, pomiary z dachów) przyjmuje
Rys. 51. siÄ™ m² = Ä… 53 .
4. 1. PRZENIESIENIE WSPÓA
RZEDNYCH ZA POMOC
BEZPOÅšREDNIEGO POMIARU
ELEMENTÓW PRZENIESIENIA.
Jeżeli punkt macierzysty jest punktem stabilizowanym w terenie lub na dachu
budowli i możliwe jest prowadzenie z niego pomiarów, wówczas bok przeniesienia d i kąt
nawiązania mierzy się w sposób bezpośredni a przeniesienie współrzędnych sprowadza
siÄ™ do rozwiÄ…zania prostego zadania geodezyjnego (rys. 51).
xP = xM + d cos(ÕMN + ²);
yP = yM + d sin (ÕMN + ²).
mP = Ä… m2d + d2m2² . ***)
 43
Tabela 4. Błąd średni przeniesienia punktu mp
zależy od długości boku przeniesienia oraz od
d m2d mp
d2m2²/Á
dokÅ‚adnoÅ›ci pomiaru dÅ‚ugoÅ›ci d i kÄ…ta ². KÄ…t
mierzy siÄ™ teodolitem jednosekundowym w trzech
100m 0,0001 0,000006 Ä…0,010m
seriach, a długość dalmierzem elektrooptycznym.
200m 0,0001 0,000024 Ä…0,011m
Przyjmując wyżej podane kryteria dokładnościowe,
300m 0,0001 0,000052 Ä…0,012m
błędy średnie przeniesienia punktu, obliczone na
400m 0,0001 0,000094 Ä…0,014m
podstawie wzoru ***) zestawiono w tabeli 4.
500m 0,0001 0,000147 Ä…0,016m
Ponieważ błąd średni pomiaru odległości d
wywiera znacznie większy wpływ na wielkość błędu średniego przeniesienia współrzędnych
niż bÅ‚Ä…d Å›redni pomiaru kÄ…ta ², przy projektowaniu takiego przeniesienia dąży siÄ™, aby
odległość d była możliwie mała oraz, aby kąt nachylenia celowej nie przekraczał 350.
Tylko w wyjątkowych przypadkach długość ta może dochodzić do 500 m. Kontrola
poprawności wykonania prac pomiarowo- obliczeniowych zapewniona może być
poprzez dwukrotny niezależny pomiar
elementów przeniesienia lub poprzez
zaprojektowanie siatki przeniesienia tak, jak
pokazano to na rys. 52. W siatce tej punkt Q
jest punktem pomocniczym, a współrzędne
punktu P wyznacza siÄ™
Rys. 52. dwiema drogami. Przeniesienie współrzędnych
uważa się za wykonane prawidłowo, jeśli różnice współrzędnych uzyskanych dwiema
drogami nie przekraczają podwójnej wartości średnich błędów ich wyznaczenia.
4.2. PRZENIESIENIE WSPÓA
RZ
DNYCH Z POÅšREDNIM WYZNACZANIEM
ELEMENTÓW PRZENIESIENIA.
Punkty sieci triangulacyjnej, których położenie określone było wcięciem w przód są
najczęściej niedostępne dla bezpośrednich pomiarów z tych punktów. Są to najczęściej
ozdobne zwieńczenia wież kościelnych, baszt i wieżyczek budowli zabytkowych i innych
trwałych budowli, gdzie nie tylko nie jest możliwe rozstawienie instrumentu pomiarowego,
lecz również ustawienia tam centrycznie lub mimośrodowo pryzmatów dalmierza
elektrooptycznego. W takim przypadku bok przeniesienia i kąt wyznacza się w sposób
pośredni (rys. 53).
Rys. 53. Rys. 54.
Z rys. 53 wynika, że: d1 = b sin Ä…1 / sin ( Ä…1 + Ä…2); ²= 1800  Ä…3 - È ;
È = arcsin (b sin Ä…1 sin Ä…3) / dMN sin( Ä…1+ Ä…2);
Po podstawieniu tych wartości do wzorów na współrzędne punktu przeniesienia podane na
str. 41 otrzymamy:
b sin Ä…1
 44
xp = xM + cos [ Õ MN + 1800  Ä…3 - È];
sin(Ä…1 + Ä…2)
b sin Ä…1
yp = yM + sin [Õ MN + 1800  Ä…3 - È] ;
sin( Ä…1 + Ä…2)
Ocenę dokładności wyznaczenia współrzędnych punktu przeniesienia
przeprowadzamy zakładając bezbłędność wyznaczenia punktów M i N szczegółowej sieci
poziomej. Wówczas, przy pośrednim wyznaczeniu długości boku przeniesienia d1, oraz
wielkości kąta nawiązania, błąd średni określenia punktu przeniesienia będzie równy:
mp = Ä… m2d1 + d21 m2 ² ;
W praktyce geodezyjnej siatkę przeniesienia współrzędnych projektujemy tak, jak to
pokazano na rys. 54. Konstrukcja taka zapewnia niezależną kontrolę wykonanych
pomiarów i obliczeń, a ponadto ostateczną wartość współrzędnych punktu przeniesienia
uzyskuje się jako średnią arytmetyczną z dwóch wyznaczeń.
Średni błąd przeniesienia punktu P określa się wtedy na podstawie wzoru:
mP12 + mP22
mp = Ä… ;
2
Na obszarach dużych kompleksów leśnych, poligonach wojskowych i do celów
specjalnych, przy zakładaniu punktów kierunkowych wykorzystuje się giroteodolity.
LITERATURA:
1. M. Odlanicki  Poczobutt Geodezja PPWK 1996 r.
2. T. Lazzarini i inni Geodezja PPWK 1997 r.
3. R. Hlibowicki i inni Geodezja PWN 1975 r.
4. S. Przewłocki Geodezja PWN 1997 r.
5.W. Kosiński Geodezja SGGW 2002 r.
6. E. Osada Geodezja Politechn. Wrocław 2002 r.
7. J. ZÄ…bek Geodezja I Politechn. Warszawa 1998 r.
8. A. Skórczyński Poligonizacja Politechn. Warszawa 1997 r.
9. H. Leśniok Wykłady z geodezji I PWN 1981 r.
10. M. Gałda Obliczenia geodezyjne PWN 1972 r.