Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława
Staszica w Krakowie
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
TEROIA MASZYN I MECHANIZMÓW
Wykonał:
Sebastian Prokop
Grupa 6b
Rok 2009/10
Sprawdził
dr inż. R. Olszewski
Data& & & & &
Ocena& & & & ..
TEMAT PROJEKTU:
- 2 -
1 Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu
1.1 Zdefiniowanie wymiarów mechanizmu, oraz parametrów jednego jego
położenia
W poniższym podpunkcie zostały przyjęto, wymiary mechanizmu oraz ograniczenia warunkujące
jego prawidłową prace i działanie. Również założyłem początkowe położenie mechanizmu, oraz
prędkości i przyspieszenie członu napędzającego.
Rys. 1 . Schemat mechanizmu
Przyjęto wymiary:
|AB|=0,5[m] Ć1=90[°]
|DE|=0,25[m] Ć2=150[°]
|CD|=1,25[m] Ć2=150[°]
oraz dla jednego położenia mechanizmu
|OA|=0,5[m]
Zdefiniowano prędkość i przyspieszenie członu napędzającego:
m
= 1 = const.
V
A
s
m
= 0
a
A
s2
- 3 -
1.2 Wyznaczenie ruchliwości mechanizmu, podział na grupy strukturalne oraz
klasyfikacja mechanizmu.
Podział na grupy strukturalne.
Rys. 2 . Podział mechanizmu
Grupa strukturalna analizowanego mechanizmu jest klasy II
Ruchliwość mechanizmu:
5
w = 3Å" n - - 3)Å" pi
"(i
i=4
w- ruchliwość mechanizmu
n- liczba członów mechanizmu
i- klasa par występujących w łańcuchu kinematycznym
p4- para kinematyczna klasy czwartej
p5- para kinematyczna klasy piÄ…tej
Wyznaczenie ruchliwości analizowanego mechanizmu
n= 3
p4=0
p5=4
w = 3Å"3- 2Å" 4 =1
Ruchliwość mechanizmu w=1
- 4 -
2 Analiza kinematyczna mechanizmu.
2.1 Analiza kinematyczna mechanizmu metoda grafoanalityczna.
Analiza kinematyczna wykonana jest dla jednego wybranego położenia mechanizmu.
Rys. 3 . Schemat rozkładu prędkości
2.1.1 Grafoanalityczna analiza prędkości mechanizmu
Wyznaczenie prędkości VA(zdefiniowanie))
m
Prędkość VA=2
s
Wyznaczenie prędkości VB2
m
VA= VB2=2
s
Wyznaczenie prędkości VB3
VB3 = VB2 + VB3B2
Wektor prędkości VB2 jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora VA
Wektor prędkości V B3B2 jest równoległy |BC|
Wektor prędkości V B3 jest prostopadły |BC|
Wyznaczanie prędkości punktu VC
VC = 0
Wyznaczenie prędkości VD
- 5 -
V = É3 × | DC |
D
| CD |
VD = É3Å" | DC |= Å"VB 3 = 1,25 Å"VB 3
| BC |
Wektor prędkości V D jest prostopadły |DC|
Wyznaczenie prędkości VE
V =É3 ×| CE |
E
| CE |
VE = É3Å"| CE |= Å"VB3 =1,275Å"VB3 | CE |= | ED|2 + | DC |2 =1,275
| BC |
Wektor prędkości V E jest prostopadły |CE|
Prędkość (m3) środka masy
V =É3 ×| DS3 |
S 3
| DS3 |
VS 3 = É3Å" | DS3 |= Å"VB3 = 0,5Å"VB3
| BC |
Wektor prędkości V S3 jest prostopadły |S3C|
Przyjęcie podziałki rysunkowej dla planu prędkości:
m
1 = 10[mm]
s
m
kV = 0.1
mm Å" s
Ä„V
Rys. 4 . Plan prędkości
- 6 -
Z planu prędkości odczytano następujące wartości:
m
(VA)= (VB2 )= 20[mm] VA = VB2 = 2îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VB3B2 ) = 17,32[mm] VB3B2 = 1,732îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VB3)= 10[mm] VB3 =1îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VS 3)= 5[mm] VS 3 = 0,5îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VD )= 12,5[mm] VD = 1,25îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
m
(VE )= 12,75[mm] VE = 1,275îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
Wyznaczenie prędkości kątowej członu drugiego i trzeciego
VB3 1
É2 = É3 = = 1îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
| BC | s
ðÅ‚ ûÅ‚
2.1.2 Grafoanalityczna analiza przyśpieszeń mechanizmu
Przyspieszenie punktu A (członu napędzającego) zostało zdefiniowane w punkcie pierwszym
i wynosi
m
= 0
a
A
s2
Wyznaczenie przyspieszenia pkt. B2
m
aA= aB2=0
s2
Wyznaczenie przyspieszenia pkt. B3
t n t cor
a = a + a = a + V + V
B 3 B 3 B 3 B 2 B 3 B 2 B 3 B 2
- 7 -
gdzie
1
îÅ‚ Å‚Å‚
a = 0
B 2
2
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
1
n 2
a = É Å" | BC |= 1îÅ‚ 2 Å‚Å‚
B 3 3
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
cor
= 2 ×
a V É
B 3 B 2 B 3 B 2 3
1
îÅ‚ Å‚Å‚
cor
a = 2 Å"1,732 Å"1 = 3,464
B 3 B 2
2
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
Wektor przyspieszenia aB3n jest równoległy do |BC|
Wektor przyspieszenia aB3t jest prostopadły do |BC|
Wektor przyspieszenia aB3B2cor jest prostopadły do |BC|
Wektor przyspieszenia aB3B2t jest równoległy do |BC|
Wyznaczanie przyspieszenia punktu C
aC = 0
Wyznaczanie przyspieszenia punktu D
t n
aD = aD + aD
1
n 2
aD = É3 Å" | CD |= 1,25îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
| CD |
t t t
aD = µ3 | CD |= Å" aB3 = 1,25 Å" aB3
| BC |
Wektor przyspieszenia aDn jest równoległy do |BC|
Wektor przyspieszenia aDt jest prostopadły do |BC|
Wyznaczanie przyspieszenia punktu E
t n
aE = aE + aE
1
n 2
aE = É3 Å" | CE |= 1,275îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
| CE |
t t t
aE = µ3 | CE |= Å" aB3 = 1,275 Å" aB3
| BC |
Wektor przyspieszenia aDn jest równoległy do |EC|
Wektor przyspieszenia aDt jest prostopadły do |EC|
Wyznaczanie przyspieszenia punktu S3
- 8 -
t n
aS 3 = aS 3 + aS 3
1
n 2
aS 3 = É3 Å" | CS3 |= 0,5îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
| CS3 |
t t t
aS 3 = µ3 | CE |= Å" aB3 = 0,5 Å" aB3
| BC |
Wektor przyspieszenia aDn jest równoległy do |S3C|
Wektor przyspieszenia aDt jest prostopadły do |S3C|
Przyjęcie podziałki rysunkowej dla planu przyśpieszeń:
m
1 = 10[mm]
s2
m
ka = 0,1
mm Å" s2
Ä„a
Rys. 5 . Plan przyspieszeń
Wyniki (najważniejsze  reszta na planie)
- 9 -
t t m
(a )= 34,64[mm] = 3,464
a
B3 B3 2
s
n n m
(a )= 10[mm] = 1
a
B3 B3 2
s
m
(a )= 36,05[mm] = 3,605
a
B3 B3 2
s
t t m
(a )= 10[mm] = 1
a
B3B2 B3B2 2
s
m
(a )= 45,07[mm] = 4,507
a
D D 2
s
m
(a )= 45,97[mm] = 4,597
a
E E 2
s
m
(a )= 18,03[mm] = 1,803
a
S3 S 3 2
s
Wyznaczenie przyspieszenia kątowego członu trzeciego
t
aB3 3,464 1
µ2 = µ3 = = = 3,464îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
| BC | 1 s
ðÅ‚ ûÅ‚
2.2 Analiza kinematyczna mechanizmu metoda analityczna.
Ć2
Ć1 Ć0
Ć1
Rys. 6 . Schemat mechanizmu do analizy metodÄ… analitycznÄ…
x(t) definiuje ruch członu napędzającego
Ć3(t), l2(t), są funkcjami zmiennymi w czasie
Poniższe funkcje są funkcjami stałymi i nie zależą od czasu, przyjmują zawsze stalą wartość:
Ć1(t)= 90° l1(t)=0,5[m]
Ć2(t)=330ć% l0(t)=1,366[m]
Ć0(t)=180 ć%
- 10 -
 Dla zadanego położenia mamy
x1(t0=0)=0,5[m] v1(t0=0)=2 [m/s] a1(t0=0)=0 [m/s2]
Wyznaczenie ogólnych równań ruchu
x + l1 + l2 + l0 = 0
Po zrzutowaniu na osie układu wsp. otrzymujemy
OX : x Å" cosÕ + l1 Å" cosÕ1 + l2 Å" cosÕ2 + l0 Å" cosÕ0 = 0
x
OY : x Å" sin Õx + l1 Å" sin Õ1 + l2 Å" sin Õ2 + l0 Å" sin Õ0 = 0
2.2.1 Wyznaczenie nieznanych parametrów konstrukcyjnych mechanizmu
Nieznany parametr Ć2(t)
x Å" cosÕx + l1 Å" cosÕ1 + l0 Å" cosÕ0 x Å"sin Õx + l1 Å"sin Õ1 + l0 Å" sin Õ0
=
cosÕ2 sin Õ2
sin Õ2 x Å"sin Õx + l1 Å" sin Õ1 + l0 Å"sin Õ0
tgÕ2 = =
cosÕ2 x Å" cosÕx + l1 Å" cosÕ1 + l0 Å" cosÕ0
Po uwzględnieniu stałych parametrów otrzymujemy
x(t) -1,366 1
ctgÕ2 = = Å" x(t) - 2,732
0,5 2
1
Õ2 = arcctgëÅ‚ Å" x(t) - 2,732öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla jednego położenia mamy:
Õ2(t0 = 0) = -30°
Nieznany parametr l2(t)
OY : x Å" sin Õx + l1 Å" sin Õ1 + l2 Å" sin Õ2 + l0 Å" sin Õ0 = 0
x Å" sin Õ + l1 Å" sin Õ1 + l0 Å" sin Õ0
x
l2 = -
sin Õ2
Po podstawieniu stałych parametrów mechanizmu otzrymujemy
- 11 -
l1
l2 (t) = -
sinÕ2
l2 (t0 = 0) = 1
Po uwzględnieniu stałych parametrów otrzymujemy
x(t) -1,366 1
ctgÕ2 = = Å" x(t) - 2,732
0,5 2
1
Õ2 = arcctgëÅ‚ Å" x(t) - 2,732öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla jednego położenia mamy:
Õ2(t0 = 0) = -30°
2.2.2 Analiza prędkości mechanizmu.
Różniczkując równania drogi po czasie otrzymamy zależność odpowiednich prędkości od czasu.
" "
OX : xÅ" cosÕ + l Å" cosÕ2 - l2 Å"É2 Å" sin Õ2 = 0
2
x
" "
OY : xÅ" sin Õx + l Å" sin Õ2 + l2 Å"É2 Å" cosÕ2 = 0
2
Nieznany parametr a2(t)
Obracając układ o kąt Ć2(t) wyznaczy nieznany parametr z równania OX
" "
l = - xÅ" cos(Õ - Õ2 )
2
x
"
m
l (t0 = 0) = -1,732îÅ‚ Å‚Å‚
2
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
Nieznany parametr É2(t)
Obracając układ o kąt Ć2(t) wyznaczymy nieznany parametr z równania OY
"
xÅ" sin(Õ - Õ2 )+ l2 Å"É2 Å" cos(Õ2 - Õ2 ) = 0
x
"
xÅ" sin(Õ - Õ2 )
x
É2 = -
l2
Dla jednego położenia
1Å" sin(30) 1
É2 (t0 = 0) = - = -1îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0,5 s
ðÅ‚ ûÅ‚
- 12 -
2.2.3 Analiza przyspieszeń mechanizmu
Różniczkując równania prędkości po czasie otrzymamy zależność odpowiednich przyspieszeń od
czasu.
Nieznany parametr a2(t)
Nieznaną wartość przyspieszania wyznaczymy bezpośrednio z równania prędkości od czasu przez
wyznaczenie pochodnej tego równania
2
" "
ëÅ‚- "
l = xÅ" cos(Õ - Õ2 )öÅ‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
" " " " "
l = - xÅ" cos(Õ - Õ2 )- xÅ"É2 Å" sin(Õ - Õ2 )
2
x x
Dla jednego położenia mamy
" "
m
l (t0 = 0) = -2 Å"1Å" sin(30) = -1îÅ‚ Å‚Å‚
2
ïÅ‚ śł
s2
ðÅ‚ ûÅ‚
Nieznany parametr µ2(t)
Nieznaną wartość przyspieszania wyznaczymy bezpośrednio z równania prędkości od czasu przez
wyznaczenie pochodnej tego równania
2
"
ëÅ‚
xÅ" sin(Õx - Õ2 )öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
µ = -
2
ìÅ‚ ÷Å‚
l2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
µ =
2
" " "
îÅ‚" " Å" sin(Õx - Õ2 xÅ"É2 Å" cos(Õx - Õ2 Å" l2 - l 2Å" xÅ" sin(Õx - Õ2)
)- )Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
ðÅ‚ ûÅ‚
µ = -
2
2
l2
" " "
xÅ"É2 Å" cos(Õx - Õ2 )Å" l2 + l Å" xÅ" sin(Õx - Õ2 )
2
µ =
2
2
l2
Dla jednego położenia mamy
µ (t0 = 0) = 2 Å" (-1) Å" cos(30)
2
2Å" (-1) Å"cos(30)Å"1-1,732 Å" 2 Å"sin(30)
µ (t0 = 0) =
2
1
1
µ (t0 = 0) = -3,464îÅ‚ 2 Å‚Å‚
2
ïÅ‚s śł
ðÅ‚ ûÅ‚
- 13 -
2.3 Analiza kinematyczna mechanizmu za pomocÄ… programu SAM4.2
2.4 Schemat mechanizmu zamodelowany w programie SAM 4.2
Rys. 7 . Schemat mechanizmu w SAMie
2.5 Wyniki analizy kinematycznej w programie
Rys. 8 . Wyniki analizy
- 14 -
2.6 Podsumowanie analizy kinematycznej mechanizmu, oraz zestawienie wyników
Metoda Metoda
SAM
grafoanalityczna analityczna
Prędkości liniowe i kątowe mechanizmu
2 2 2
V
A
2 2 2
V
B2
1,732 -1,732 -
V
B3B2
1 - 1
V
B3
1,25 - 1,25
V
D
1,275 - 1,275
V
E
0,5 - 0,5
V
S3
1 -1 -1
É
2
1 -1 -1
É
3
Przyspieszenia liniowe i kÄ…towe mechanizmu
0 0 0
a
A
0 0 0
a
B2
3,605 - 3,606
a
B3
3,465 - -
acor
B3B2
1 -1 -
at
B3B2
4,507 - 4,507
a
D
4,33 - -
at
D
1,25 - -
an
D
4,597 - 4,596
a
E
4,417 - -
at
E
1,275 - -
an
E
1,803 - 1,803
a
S3
3,464 -3,464 -3,464
µ
2
3,464 -3,464 -3,464
µ
3
- 15 -
3 Analiza kinetostatyczna mechanizmu.
Rys. 9 . Mechanizm do analizy kienteostatycznej
3.1 Założenia analizy:
Dla mechanizmu przyjmuje:
Wartości sił obciążających mechanizm:
M3=10Nm
P3=10N
Człon drugi mechanizmu posiada: masę m2= 2 kg
Moment bezwładności JS3
m Å"l2 2Å"12
JS3 = = = 0,15[kg Å" m2]
12 12
m
Mechanizm znajduje siÄ™ w polu grawitacyjnym g = 9,81
s2
3.1.1 Wyznaczenie sił bezwładności działających na mechanizm:
B = m3 Å" as3
3
B3 = 2 Å"1,803 = 3,606N
M = JS 3 Å"µ3
B3
M = 0,52 Nm
B3
3.1.2 Wyznaczenie sił grawitacji działających na mechanizm:
G = m2 Å" g
2
G2 = 9,81Å" 2 = 19,62 N
- 16 -
3.1.3 Odrzucenie członu napędzającego, oraz uwolnienie układu od więzów
Rys. 10 . Uwolnienie układu od więzów (odrzucenie członu napędzającego)
3.1.4 Równanie wektorowe równowagi sił działających na grupę strukturalną
Dla grupy strukturalnej
t t n n
R + R + R + P + B + G = 0 R = 0
12 03 03 3 3 3 12
Dla członu drugiego
t n n
R + R + R = 0 Ò! R = 0
12 12 32 12
Dla członu trzeciego
t n
R + R + R + P + B + G = 0
23 03 03 3 3 3
3.1.5 Wyznaczenie nieznanych reakcji z równania momentów i planu sił
Wyznaczenie nieznanej reakcji M23 z równania momentów względem punktu B
= 0 Ô! M = 0
"MiB 23
Wyznaczenie nieznanej reakcji R t12 z równania momentów względem punktu C
t
= 0 Ô! | BC | R12 + lB3 Å" B3 - | S3C | Å"cos30Å"G3 - | ED | Å"P3 - M3 - M = 0
"MiB B3
t
R12 + 0,4804Å"3,606 - 0,5Å"cos30Å"19,62 - 0,25Å"10 -10 - 0,52 = 0
t
R12 =19,783[N]
- 17 -
Rys. 11 . Plan sił
Na podstawie planu sił wyznaczono
t n
R03 = 6,26N R03 = 18,81N R03 = 19,84N
R12 = 19,78N
R23 = 19,78N
3.1.6 Wyznaczenie siły równoważącej działającej na człon napędzający
Równanie sił dla
członu napędzającego
oraz siła
równoważąca
Rys. 12 Siły na człon napędzający
R21 + R01 + PR1 = 0
R01=17,13[N]
PR1=9,89[N]
- 18 -
Wyznaczenie momentu M01
"M Ô! M - PR1Å"| AB |= 0
iB 01
M = 4,945[Nm]
01
3.2 Wyznaczenie siły równoważącej działającej na człon metoda mocy chwilowych
Rys. 12 . Mechanizm do analizy metodÄ… mocy chwilowych
VA o PR1 + M oÉ3 + M o É3 + G3 oVS 3 + B3 oVS 3 + P3 oVE = 0
3 B3
VA Å" PR1 - M Å"É3 - M Å"É3 + G3 Å"VS 3 Å" cos150° + B3 Å"VS 3 Å" cos16,10° + P3 Å"VE Å" cos101,3° = 0
3 B3
2 Å" PR1 -10 Å"1- 0,52 Å"1+19,62 Å" 0,5 Å" cos150° + 3,606 Å" 0,5 Å" cos16,10° +10 Å"1,275 Å" cos101,3° = 0
PR1 = 9,89[N]
Siła równoważąca:
PR1 = 9,89[N]
3.3 Podsumowanie analizy kinetostatycznej
Metoda Metoda mocy
wykreślna chwilowych
P 9,89 9,89
R1
- 19 -