Elastyczność
x
Elastyczność funkcji f(x) oznaczana symbolem Ex f = f '(x)�" , bierze się z zapisu:
f (x)
"y
y "y x "y x
= �" = �" , gdy przyrosty zamienimy na różniczki otrzymujemy, to co powyżej,
"x
y "x "x y
x
dy x x
czyli: �" = f '(x)�" .
dx y y
Oto wyprowadzenie wzorów na elastyczności najczęściej spotykanych funkcji:
x
f (x) = a �! Ex f = 0�" = 0
a
x ax
f (x) = ax + b �! Ex f = a �" =
ax + b ax + b
x 2ax2 + bx
f (x) = ax2 + bx + c �! Ex f = 2ax + b �" =
( )
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
a -a x -a x2
f (x) = �! Ex f = �" = �" = -1
x x2 a x2 a
x
x xn
f (x) = xn �! Ex f = nxn-1 �" = n �" = n
xn xn
x
f (x) = ax �! Ex f = ax ln a �" = x ln a
ax
x
f (x) = ex �! Ex f = ex �" = x
ex
Można wyprowadzić dwa wzory dla elastyczności funkcji1:
1) Elastyczność iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie elastyczności tych funkcji,
ponieważ dla y= u(x)*v(x) otrzymamy:
x x x x x
Ex y = y ' = �" u �"v ' = �" u '�"v + u �"v ' = �"u '+ �"v ' a to oznacza, że
( ) ( )
y u �"v u �"v u v
Ex (u �"v) = Exu + Exv
2) Elastyczność ilorazu dwóch funkcji jest równa różnicy elastyczności tych funkcji,
u(x)
ponieważ dla y = otrzymamy:
v(x)
x x u x u '�"v - u �"v ' x x x
Ex y = y ' = �"�ł �ł' = �" = �" u '�"v - u �"v ' = �"u '- �"v '
( )
�ł �ł
u u
y v v2 u �"v u v
�ł łł
v v
u
a to oznacza, że Ex �ł �ł = Exu - Exv
�ł �ł
v
�ł łł
1
Kasprowicz Armand, Romański Jerzy, Matematyka z elementami zastosowań w ekonomii, Tom I, Wydanie IV,
Toruń 1997, str. 181-182.
x �"ex
Przykład 1. Wyznaczmy elastyczność funkcji2: f (x) = wykorzystując własności
x +1
mówiące o elastyczności iloczynu i ilorazu funkcji.
u(x)�"v(x)
Funkcję f(x) możemy zapisać w postaci następującej: y = , gdzie:
w(x)
u(x) = x ; v(x) = ex ; w(x) = x+1. Obliczamy elastyczności poszczególnych funkcji:
x x
Exu = �"u ' = �"1 = 1;
u x
x x
Exv = �"v ' = �"ex = x;
v ex
x x x
Exw = �" w' = �"1 = ;
w x +1 x +1
Wobec tego, wykorzystując własności elastyczności funkcji, otrzymamy funkcję opisującą
elastyczność danej funkcji f(x):
x x2 + x +1
Ex y = Exu + Exv - Exw = 1+ x - = .
x +1 x +1
2
Tamże, str. 188-189.