Elastyczno��:   Wszystkie cia�a wykazuj� charakterystyczny zakres odkszta�cenia, zwany elastyczno�ci�. Je�li rozci�gamy pr�t (w kierunku osi x1), to relacj� miedzy przy�o�onym napr�eniem σ11 i uzyskanym wzgl�dnym wyd�u�eniem cia�a ε11 opisuje s�ynne prawo Hooke�a: Prawo Hooke�a w jednym wymiarze (klasyczny test rozci�gania) (1) Gdzie: E jest modu�em Younga, (S � przekr�j poprzeczny pr�bki), Sk�d si� bierze elastyczno�� cia�? Sp�jno�� cia� sta�ych zapewniaj� wi�zania: jonowe, metaliczne, kowalencyjne, polaryzacyjne (Van der Walsa) i wodorowe. Potencja� mi�dzy dwoma atomami. Lini� przerywan� pokazano, �e w po�o�eniu r�wnowagi (minimum potencja�u), kszta�t potencja�u mo�e by� przybli�ony przez parabol�. Prawa elastyczno�ci wyprowadzi� mo�na z oddzia�ywa� atomowych. Rozpatrzmy zagadnienie w jednym wymiarze (wzd�u� osi x). Wprowad�my zmienn� u, opisuj�c� wychylenie atomu z po�o�enia r�wnowagi: u=x - x0 lub x=x0 + u gdzie x jest aktualnym po�o�eniem atomu, za� x0 � jego po�o�eniem r�wnowagi. Rozk�adamy potencja� w szereg Taylora: (2) Tylko te trzy sk�adniki rozwini�cia s� dla nas istotne, dalsze jako zaniedbywalne � pomijamy. W punkcie r�wnowagi (x=x0) zachodzi:  A zatem:   (3) Pami�taj�c, �e: x=x0+u, mo�emy napisa�: (4) gdzie A i B s� sta�ymi. Je�li atom zostaje wychylony z po�o�enia r�wnowagi, to dzia�a na niego si�a F: (5) gdzie k=B mo�emy zidentyfikowa� jako sta�� spr�ysto�ci. A zatem odnajdujemy typow� relacj�, kt�ra opisuje rozci�ganie spr�yny (lub z r�wna� opisuj�cych oscylator harmoniczny): (6) Je�eli to my rozci�gamy cia�o (np. pr�t), to przyk�adana si�a wynosi: F = ku. Normalizuj�c si�� i wyd�u�enie: F/S= k u/L (gdzie S jest przekrojem poprzecznym, L � d�ugo�ci� pocz�tkow� pr�ta), odnajdujemy klasyczne prawo Hooke�a (r�wnanie1) dla jednego wymiaru: gdzie E jest modu�em Younga. Przypadek og�lny - tr�jwymiarowy W przypadku og�lnym, interesuj� nas jednak wszystkie sk�adowe przy�o�onych napr�e� i r�wnie� wszystkie sk�adowe deformacji (wywo�anych przez przy�o�one napr�enia). Sytuacj� tak� opisuje tr�jwymiarowe prawo Hooke�e, kt�re jest oczywi�cie relacj� pomi�dzy tensorami: (7a) (7b)   Wielko�ci Sijkl i Cijkl s� tensorami czwartego rz�du (maj� cztery wska�niki). Cijkl jest tensorem sztywno�ci (ang.: stiffness), za� Sijkl � tensorem podatno�ci elastycznej (ang.: compliance). W relacji powy�szej zastosowano oczywi�cie konwencj� sumowania po powtarzaj�cych si� wska�nikach (po prawej stronie ka�dego z r�wna� (7) wyst�puje 81 sk�adowych tensora). Trzeba zwr�ci� uwag�, �e R�wn. 7a i 7b nie s� po prostu swoimi odwrotno�ciami. R�wnania te opisuj� inne sytuacje eksperymentalne. Pierwsze z nich (R�wn. 7a) opisuje sytuacj�, gdy czynnikiem wymuszaj�cym s� odkszta�cenia (εij), a odpowiedzi� materia�u s� napr�enia wytworzone w materiale (σij). Drugie z tych r�wna� (R�wn. 7b) opisuje sytuacj� odwrotn�: do materia�u przyk�adamy zestaw napr�e� (σij), a odpowiedzi� s� deformacje materia�u (εij).   Om�wmy teraz kilka w�asno�ci symetrii tensor�w S i C. Symetrie tensor�w elastyczno�ci Rozwa�ymy w tym celu kilka sytuacji do�wiadczalnych. a) Przyk�adamy tylko jedn� sk�adow� napr�enia: s 11. Ile wynosz� ε23 i ε32 ? Stosujemy R�wn. 7b: lecz: i og�lnie: (8)   b) przyk�adamy sk�adow� napr�e� s 32=s 23, ile wynosi e 12?=s 23, ile wynosi e 12?   Stosuj�c ponownie R�wn. 7b: Sk�adowych S1223 i S1232 nie mo�emy wyznaczy� oddzielnie, lecz tylko ich sum�. Przyjmuje si� zatem konwencj�, �e warto�� powy�szego nawiasu dzielimy r�wno pomi�dzy te sk�adowe tensora S; a zatem: (9)   Tak wi�c istnieje symetria ze wzgl�du na przestawienie wska�nik�w w pierwszej parze, a tak�e w drugiej.   c) Istnieje jeszcze jedna symetria tensor�w S i C, polegaj�ca na przestawieniu obu par wska�nik�w: (10) Symetri� t� mo�na wykaza� w oparciu o rozwa�ania energetyczne.   WSZYSTKIE POWY�SZE SYMETRIE (z punkt�w a, b i c) WYKAZUJE TAK�E TENSOR Cijkl !! d) Na og�: jest tak, poniewa� obie sta�e opisuj� r�ne eksperymenty. Rozwa�my test rozci�gania osiowego: Czynnikiem �wymuszaj�cym� jest tu sk�adowa napr�enia: s 11=F/S, za� mierzon� �odpowiedzi�� materia�u jest wyd�u�enie wzgl�dne e 11,zwi�zek mi�dzy nimi jest nast�puj�cy: (11) ostatecznie: (12) Trzeba tu doda�, �e cho� mierzymy sk�adow� e 11, to w materiale wyst�pi�y i inne sk�adowe deformacji (np. e 22 i e 33). Natomiast sta�a C1111 opisuje inny eksperyment: wymuszamy na pr�bce wyd�u�enie wzgl�dne e 11 i pytamy ile wynosi sk�adowa napr�e� s 11, kt�ra wyindukowa�a si� w materiale (wyst�pi� i inne sk�adowe s ij). Oczywi�cie: (13)   Elastyczno�� liniowa i nieliniowa Widzieli�my powy�ej, �e liniowy charakter elastyczno�ci wynika z przybli�enia do�ka potencja�u mi�dzyatomowego przez funkcj� drugiego stopnia (parabol�). Przybli�enie to jest dobrze spe�nione dla ma�ych wychyle� atomu z po�o�enia r�wnowagi. Natomiast dla wi�kszych wychyle�, ale jeszcze odwracalnych � mamy elastyczno�� nieliniow�. Efekt ten dobrze wida� na krzywej rozci�gania wiskers�w, zamieszczonej na ko�cu tego rozdzia�u. My zajmowa� si� b�dziemy tutaj wy��cznie elastyczno�ci� liniow�.   Transformacja tensor�w C i S do nowego uk�adu odniesienia. Poniewa� sta�e elastyczne s� tensorami czwartego rz�du, to ich wzory transformacyjne zawieraj� iloczyny czterech kosinus�w kierunkowych: (14) W r�wnaniach tych zastosowana jest konwencja sumowania po powtarzaj�cych si� wska�nikach; po prawej stronie ka�dego z r�wna� wyst�puj� wszystkie sk�adowe tensora S lub C (jest ich w og�lnym przypadku 81).   Notacja macierzowa Tensory C i S posiadaj� po 81 sk�adowych. Ze wzgl�du na przedstawione powy�ej symetrie, ilo�� niezale�nych sk�adowych jest du�o mniejsza. Jest to pow�d dla kt�rego u�ywa si� zredukowanej notacji zapisu tensor�w S i C, zwanej notacj� macierzow�. Poza tym jest rzecz� wygodn� operowa� dwuwymiarow� macierz�, kt�r� mo�emy w spos�b przejrzysty przedstawi� na kartce papieru. Bior�c pod uwag�, �e jest sze�� niezale�nych sk�adowych tensor�w deformacji i napr�e�, tensory S i C przedstawia si� jako macierze o wymiarach (6x6).   Istot� tego skr�conego zapisu jest zast�powanie pary wska�nik�w � jednym, zgodnie z nast�puj�c� regu��: stare wska�niki nowe wska�niki 11 → 1 22 → 2 3 → 3 23, 32 → 4 13, 31 → 5 12, 21 → 6     (15) Rozpocznijmy od tensora σij:     (16) Zamieniaj�c tensor εij na macierz kolumnow�, u�ywamy dodatkowo wsp�czynnik�w 1/2 przy sk�adowych �cinaj�cych (czynnik ten uwzgl�dnia fakt, �e istniej� zawsze dwie, r�wne sobie sk�adowe �cinaj�ce deformacji, np.: e 12=e 21):       (17) Tensor Cijkl zamieniamy na macierz kwadratow� zgodnie z powy�sz� tabelk� (r�wnanie 15): (18)   Ostatecznie prawo Hooke�a (r�wnanie 7a) mo�emy zapisa� w postaci macierzowej:   Prawo Hooke�a: (19)   lub te� w postaci rozwini�tej       (20) Chcieliby�my mie� ten zapis r�wnie� i w drug� stron�, tzn.: Konsekwencj� R�wn. (17) oraz faktu, �e r�wnie� w tensorze deformacji s� pary r�wnych sobie sk�adowych �cinaj�cych (np. s 12=s 21), zamiana Sijkl � Smn jest nieco bardziej z�o�ona (ni� tensora C). Przy redukcji tensora S do macierzy stosujemy nast�puj�cy algorytm:   (21)   Czynnik p ma nast�puj�ce warto�ci:   p=1 dla Smn takiego �e m, n � 3 P=4 dla Smn takiego �e m, n >3 P=2 dla pozosta�ych ( np. m>3, n� 3)   Poni�ej pokazano schematycznie, jakie warto�ci p przyporz�dkowujemy poszczeg�lnym wyrazom macierzy Smn:       (22) Ostatecznie mo�emy zapisa� prawo Hooke�a w postaci macierzowej, przy u�yciu macierzy S:     (23) lub te� w postaci rozwini�tej:     (24) Zbierzmy, raz jeszcze uzyskane relacje macierzowe:     (25)   Energia zgromadzona w ciele odkszta�canym spr�y�cie dla spr�yny: Rozci�gamy spr�yn� na odleg�o�� x� (od po�o�enia r�wnowagi). Przyk�adana si�a przy wychyleniu x wynosi: F=kx     Praca rozci�gni�cia spr�yny na odleg�o�c x� wynosi:       (26)   przypadek odkszta�cenia 3-wymiarowego: Rozwa�my odkszta�cenie jednostkowego sze�cianu danego materia�u. Praca, powoduj�ca wybran� sk�adow� odkszta�cenie e j wykonana jest przez sk�adow� napr�enia s j, natomiast praca ca�kowita jest sum� takich przyczynk�w: (27) Praca powy�sza jest jednocze�nie energi� elastyczn� zgromadzon� w jednostkowej obj�to�ci materia�u (czyli energi� w�a�ciw�).   Istnieje oczywi�cie kilka form r�wnowa�nych:   (28)   Wyra�enia powy�sze dotycz� energii w�a�ciwej (czyli energii na jednostk� obj�to�ci). Je�li liczymy energi� elastyczna ca�ego cia�a, musimy policzy� ca�k� po ca�ej obj�to�ci: (29) gdzie V0 jest ca�kowit� obj�to�ci� cia�a.   Wp�yw symetrii na sta�e elastyczne Symetria cia�a (kryszta�u) wp�ywa na kszta�t macierzy sta�ych elastycznych S i C. Na pocz�tku zauwa�my, �e macierze S i C s� symetryczne, tzn: (30) Wynik ten mo�na dosta� przy okazji rozwa�a� dotycz�cych pracy odkszta�cenia elastycznego cia�a.   R�wnie� symetria cia�a wywiera przemo�ny wp�yw na kszta�t macierzy S i C. Poni�ej podamy macierze C i S dla trzech przypadk�w symetrii cia� (kryszta��w): sze�ciennej, rombowej i izotropowej.   Symetria sze�cienna:       (31)   Wyst�puj� tutaj trzy r�ne wsp�czynniki C11, C12, C44, kt�re definiuj� 12 niezerowych wyraz�w tej macierzy. Oczywi�cie kszta�t macierzy S jest identyczny.   Symetria rombowa:       (32)   Wyst�puje tutaj 9 niezale�nych wsp�czynnik�w, kt�re definiuj� 12 niezerowych wyraz�w macierzy. Kszta�t macierzy S jest identyczny.   Zauwa�my, �e im ni�sza symetria cia�a tym wi�cej b�dzie niezale�nych wsp�czynnik�w, definiuj�cych macierz elastyczno�ci. W przypadku cia�a o najni�szej mo�liwej symetrii, czyli kryszta�u tr�jsko�nego, niezale�nych wsp�czynnik�w b�dzie 21.   Materia� izotropowy:   Przyk�adem materia�u izotropowego mo�e by� cia�o o strukturze amorficznej (szk�o, zastyg�a smo�a itp.), ale tak�e polikryszta� bez tekstury (jest to tzw. cia�o quasi-izotropowe)   �atwo mo�na wykaza�, �e w przypadku cia�a izotropowego, tylko dwie niezale�ne sta�e elastyczne (sta�e Lamego) definiuj� ca�� macierz elastyczno�ci l i m . I tak:   C12=l , C44=m oraz C11=l +2m .   Macierze S i C maj� nast�puj�c� posta�:       (33)   (34)   Gdzie:   Przyk�ady zastosowa�: materia� izotropowy pod obci��eniem osiowym: Rozci�gamy materia� w kierunku osi x1. Relacja ��cz�ca s 1 i e 1 jest nast�pujaca: czyli: (35) Obok wyd�u�enia, w kierunku x1, wyst�pi� te� skr�cenia poprzeczne: (36) Interesuj�cy jest stosunek skr�cenia poprzecznego do wyd�u�enia - podaje go wsp�czynnik Poissona n ): (37) W �wietle relacji podanych wy�ej: (38)   �cinanie cia�a izotropowego: Zmiana kszta�tu cia�a pod wp�ywem deformacji typu �cinaj�cego     Za��my, �e przyk�adamy napr�enie �cinaj�ce s 23=s 4 (pozosta�e sk�adowe s� zerowe). Korzystaj�c z R�wn. (24): (39) Z drugiej strony, z klasycznej postaci prawa Hooke�a (40) Po por�wnaniu otrzymujemy nast�puj�ce wyra�enie na modu� �cinania G=m : (41)   R�ne wprowadzone ju� przez nas sta�e elastyczne dla cia�a izotropowego nie s� od siebie niezale�ne. I tak, wiedz�c, �e: oraz otrzymujemy: (42) deformacja materia�u izotropowego pod wp�ywem napr�e� hydrostatycznych   Jest to stan napr�e�, w kt�rym wyst�puj� tylko sk�adowe normalne o takiej samej warto�ci p: (43) Taki stan napr�e� panuje np. w cieczy (na sta�ej wysoko�ci).   Stosuj�c uog�lnione prawo Hooke�a:     dla o�rodka izotropowego otrzymujemy:   (44) Wzgl�dna zmiana obj�to�ci, czyli dylatacja D : (45) A zatem modu� spr�ysto�ci obj�to�ciowej, K, wynosi: (46) Ostatecznie: (47) Modu� spr�ysto�ci obj�to�ciowej K mo�emy wyrazi� r�wnie� przez E i n (korzystaj�c z R�wn. (35) i (38)): (48)   Warto�ci wsp�czynnika Poissona   Wykorzystuj�c R�wn. (42) i (47) obliczmy wyra�enie: (49) Wyliczmy st�d n :   (50)   Na podstawie tej zale�no�ci znajdziemy granice w jakich mo�e si� zmienia� n . Gdy (51)  zatem zakres dopuszczalny wynosi: �1<n <0.5 Przyk�adowe warto�ci dla materia��w:   dla: pirytu �elaza n =-0.4 Be n =0 Cr n - bardzo ma�e warto�ci ujemne metali polikrystalicznych to dla gumy Anizotropia elastyczna Cz�sto jako wska�nika anizotropii elastycznej cia� (kryszta��w) u�ywa si� wsp�czynnika anizotropii elastycznej Zenera: (52)   �atwo sprawdzi�, �e dla cia�a izotropowego: A=1.