Elastyczno��:
Wszystkie cia�a wykazuj� charakterystyczny zakres
odkszta�cenia, zwany elastyczno�ci�. Je�li rozci�gamy pr�t (w kierunku osi
x1), to relacj�
miedzy przy�o�onym napr�eniem σ11 i uzyskanym wzgl�dnym
wyd�u�eniem cia�a ε11 opisuje s�ynne prawo Hooke�a:
Prawo Hooke�a w jednym wymiarze (klasyczny test
rozci�gania)
(1)
Gdzie:
E jest modu�em Younga,
(S � przekr�j poprzeczny pr�bki),
Sk�d si� bierze elastyczno�� cia�?
Sp�jno�� cia� sta�ych zapewniaj�
wi�zania: jonowe, metaliczne, kowalencyjne, polaryzacyjne (Van der Walsa)
i wodorowe.
Potencja� mi�dzy dwoma atomami. Lini� przerywan�
pokazano, �e w po�o�eniu r�wnowagi (minimum potencja�u), kszta�t
potencja�u mo�e by� przybli�ony przez parabol�.
Prawa elastyczno�ci wyprowadzi� mo�na z oddzia�ywa�
atomowych. Rozpatrzmy zagadnienie w jednym wymiarze (wzd�u� osi x).
Wprowad�my zmienn� u, opisuj�c� wychylenie atomu z po�o�enia
r�wnowagi:
u=x - x0
lub x=x0 + u
gdzie x jest aktualnym po�o�eniem atomu, za� x0 � jego po�o�eniem
r�wnowagi.
Rozk�adamy potencja� w szereg Taylora:
(2)
Tylko te trzy sk�adniki rozwini�cia s� dla nas istotne, dalsze jako
zaniedbywalne � pomijamy.
W punkcie r�wnowagi (x=x0)
zachodzi:
A zatem:
(3)
Pami�taj�c, �e: x=x0+u, mo�emy napisa�:
(4)
gdzie A i B s� sta�ymi.
Je�li atom zostaje wychylony z po�o�enia r�wnowagi, to dzia�a na niego
si�a F:
(5)
gdzie k=B mo�emy zidentyfikowa� jako sta�� spr�ysto�ci.
A zatem odnajdujemy typow� relacj�, kt�ra opisuje rozci�ganie spr�yny
(lub z r�wna� opisuj�cych oscylator harmoniczny):
(6)
Je�eli to my rozci�gamy cia�o (np. pr�t), to przyk�adana si�a wynosi: F =
ku. Normalizuj�c si�� i wyd�u�enie: F/S= k u/L (gdzie S jest przekrojem
poprzecznym, L � d�ugo�ci� pocz�tkow� pr�ta), odnajdujemy klasyczne prawo Hooke�a (r�wnanie1) dla jednego
wymiaru:
gdzie E jest modu�em Younga.
Przypadek og�lny - tr�jwymiarowy
W przypadku og�lnym, interesuj� nas jednak wszystkie
sk�adowe przy�o�onych napr�e� i r�wnie� wszystkie sk�adowe deformacji
(wywo�anych przez przy�o�one napr�enia). Sytuacj� tak� opisuje
tr�jwymiarowe prawo Hooke�e, kt�re jest oczywi�cie relacj� pomi�dzy
tensorami:
(7a)
(7b)
Wielko�ci Sijkl i
Cijkl s� tensorami czwartego rz�du
(maj� cztery wska�niki).
Cijkl jest tensorem
sztywno�ci (ang.: stiffness), za� Sijkl � tensorem podatno�ci
elastycznej (ang.: compliance). W relacji powy�szej zastosowano oczywi�cie
konwencj� sumowania po powtarzaj�cych si� wska�nikach (po prawej stronie
ka�dego z r�wna� (7) wyst�puje 81 sk�adowych tensora). Trzeba zwr�ci�
uwag�, �e R�wn. 7a i 7b nie s� po prostu swoimi odwrotno�ciami. R�wnania
te opisuj� inne sytuacje eksperymentalne. Pierwsze z nich (R�wn. 7a)
opisuje sytuacj�, gdy czynnikiem wymuszaj�cym s� odkszta�cenia
(εij), a
odpowiedzi� materia�u s� napr�enia wytworzone w materiale
(σij). Drugie z
tych r�wna� (R�wn. 7b) opisuje sytuacj� odwrotn�: do materia�u przyk�adamy
zestaw napr�e� (σij), a odpowiedzi� s� deformacje materia�u (εij).
Om�wmy teraz kilka w�asno�ci symetrii tensor�w
S i C.
Symetrie tensor�w elastyczno�ci
Rozwa�ymy w tym celu kilka sytuacji do�wiadczalnych.
a) Przyk�adamy tylko jedn�
sk�adow� napr�enia: s 11. Ile wynosz� ε23 i
ε32 ?
Stosujemy R�wn. 7b:
lecz:
i og�lnie:
(8)
b) przyk�adamy sk�adow�
napr�e� s 32=s 23, ile
wynosi e 12?=s 23, ile
wynosi e 12?
Stosuj�c ponownie R�wn. 7b:
Sk�adowych S1223 i
S1232 nie mo�emy wyznaczy� oddzielnie,
lecz tylko ich sum�. Przyjmuje si� zatem konwencj�, �e warto�� powy�szego
nawiasu dzielimy r�wno pomi�dzy te sk�adowe tensora S; a
zatem:
(9)
Tak wi�c istnieje symetria ze wzgl�du na
przestawienie wska�nik�w w pierwszej parze, a tak�e w drugiej.
c) Istnieje jeszcze jedna symetria tensor�w S i C,
polegaj�ca na przestawieniu obu par
wska�nik�w:
(10)
Symetri� t� mo�na wykaza� w oparciu o rozwa�ania
energetyczne.
WSZYSTKIE POWY�SZE SYMETRIE (z punkt�w a, b i c)
WYKAZUJE TAK�E TENSOR Cijkl !!
d) Na og�:
jest tak, poniewa� obie sta�e
opisuj� r�ne eksperymenty.
Rozwa�my test rozci�gania osiowego:
Czynnikiem �wymuszaj�cym� jest tu sk�adowa napr�enia:
s
11=F/S, za� mierzon� �odpowiedzi��
materia�u jest wyd�u�enie wzgl�dne e 11,zwi�zek mi�dzy nimi jest
nast�puj�cy:
(11)
ostatecznie:
(12)
Trzeba tu doda�, �e cho� mierzymy sk�adow� e 11, to w materiale wyst�pi�y i inne sk�adowe deformacji (np.
e 22 i
e
33).
Natomiast sta�a C1111 opisuje inny eksperyment:
wymuszamy na pr�bce wyd�u�enie wzgl�dne e 11 i pytamy ile wynosi sk�adowa napr�e� s 11, kt�ra wyindukowa�a si� w materiale (wyst�pi� i inne sk�adowe
s
ij). Oczywi�cie:
(13)
Elastyczno�� liniowa i nieliniowa
Widzieli�my powy�ej, �e liniowy charakter elastyczno�ci
wynika z przybli�enia do�ka potencja�u mi�dzyatomowego przez funkcj�
drugiego stopnia (parabol�). Przybli�enie to jest dobrze spe�nione dla
ma�ych wychyle� atomu z po�o�enia r�wnowagi. Natomiast dla wi�kszych
wychyle�, ale jeszcze odwracalnych � mamy elastyczno�� nieliniow�. Efekt
ten dobrze wida� na krzywej rozci�gania wiskers�w, zamieszczonej na ko�cu
tego rozdzia�u. My zajmowa� si� b�dziemy tutaj wy��cznie elastyczno�ci�
liniow�.
Transformacja tensor�w C i S do nowego uk�adu
odniesienia.
Poniewa� sta�e elastyczne s� tensorami czwartego rz�du,
to ich wzory transformacyjne zawieraj� iloczyny
czterech kosinus�w kierunkowych:
(14)
W r�wnaniach tych zastosowana jest konwencja sumowania po
powtarzaj�cych si� wska�nikach; po prawej stronie ka�dego z r�wna�
wyst�puj� wszystkie sk�adowe tensora S lub C (jest ich w og�lnym przypadku
81).
Notacja macierzowa
Tensory C i S posiadaj� po 81 sk�adowych. Ze wzgl�du na
przedstawione powy�ej symetrie, ilo�� niezale�nych sk�adowych jest du�o
mniejsza. Jest to pow�d dla kt�rego u�ywa si� zredukowanej notacji zapisu
tensor�w S i C, zwanej notacj� macierzow�. Poza tym jest rzecz� wygodn�
operowa� dwuwymiarow� macierz�, kt�r� mo�emy w spos�b przejrzysty
przedstawi� na kartce papieru. Bior�c pod
uwag�, �e jest sze�� niezale�nych sk�adowych
tensor�w deformacji i napr�e�, tensory S i C przedstawia si� jako
macierze o wymiarach (6x6).
Istot� tego skr�conego zapisu jest zast�powanie pary
wska�nik�w � jednym, zgodnie z nast�puj�c� regu��:
stare wska�niki nowe wska�niki
11 → 1
22 → 2
3 → 3
23, 32 → 4
13, 31 → 5
12, 21 → 6
(15)
Rozpocznijmy od tensora σij:
(16)
Zamieniaj�c tensor εij na macierz kolumnow�, u�ywamy dodatkowo wsp�czynnik�w
1/2
przy sk�adowych �cinaj�cych (czynnik ten uwzgl�dnia fakt,
�e istniej� zawsze dwie, r�wne sobie sk�adowe �cinaj�ce deformacji, np.:
e
12=e
21):
(17)
Tensor Cijkl zamieniamy na macierz
kwadratow� zgodnie z powy�sz� tabelk�
(r�wnanie 15):
(18)
Ostatecznie prawo Hooke�a (r�wnanie 7a) mo�emy
zapisa� w postaci macierzowej:
Prawo Hooke�a:
(19)
lub te� w postaci rozwini�tej
(20)
Chcieliby�my mie� ten zapis r�wnie� i w drug� stron�,
tzn.:
Konsekwencj� R�wn. (17) oraz faktu, �e r�wnie� w tensorze
deformacji s� pary r�wnych sobie sk�adowych �cinaj�cych (np. s 12=s 21), zamiana
Sijkl �
Smn jest nieco bardziej z�o�ona (ni�
tensora C). Przy redukcji tensora S do macierzy stosujemy nast�puj�cy
algorytm:
(21)
Czynnik p ma nast�puj�ce warto�ci:
p=1 dla Smn takiego �e m, n
� 3
P=4 dla Smn takiego �e m, n
>3
P=2 dla pozosta�ych ( np. m>3, n� 3)
Poni�ej pokazano schematycznie, jakie warto�ci p przyporz�dkowujemy
poszczeg�lnym wyrazom macierzy
Smn:
(22)
Ostatecznie mo�emy zapisa� prawo Hooke�a w postaci
macierzowej, przy u�yciu macierzy S:
(23)
lub te� w postaci rozwini�tej:
(24)
Zbierzmy, raz jeszcze uzyskane relacje macierzowe:
(25)
Energia zgromadzona w ciele odkszta�canym
spr�y�cie
dla spr�yny:
Rozci�gamy spr�yn� na odleg�o�� x� (od po�o�enia
r�wnowagi). Przyk�adana si�a przy wychyleniu x wynosi:
F=kx
Praca rozci�gni�cia spr�yny na odleg�o�c x� wynosi:
(26)
przypadek odkszta�cenia 3-wymiarowego:
Rozwa�my odkszta�cenie jednostkowego sze�cianu danego
materia�u. Praca, powoduj�ca wybran� sk�adow� odkszta�cenie e j
wykonana jest przez sk�adow� napr�enia s j, natomiast praca ca�kowita jest sum� takich
przyczynk�w:
(27)
Praca powy�sza jest jednocze�nie energi� elastyczn�
zgromadzon� w jednostkowej obj�to�ci materia�u (czyli energi�
w�a�ciw�).
Istnieje oczywi�cie kilka form r�wnowa�nych:
(28)
Wyra�enia powy�sze dotycz� energii w�a�ciwej (czyli
energii na jednostk� obj�to�ci). Je�li liczymy energi� elastyczna ca�ego
cia�a, musimy policzy� ca�k� po ca�ej obj�to�ci:
(29)
gdzie V0 jest ca�kowit� obj�to�ci�
cia�a.
Wp�yw symetrii na sta�e elastyczne
Symetria cia�a (kryszta�u) wp�ywa na kszta�t macierzy sta�ych elastycznych S i C.
Na pocz�tku zauwa�my, �e macierze S i C s� symetryczne,
tzn:
(30)
Wynik ten mo�na dosta� przy okazji rozwa�a� dotycz�cych pracy
odkszta�cenia elastycznego cia�a.
R�wnie� symetria cia�a wywiera przemo�ny wp�yw na kszta�t
macierzy S i C. Poni�ej podamy macierze C i S dla trzech przypadk�w
symetrii cia� (kryszta��w): sze�ciennej, rombowej i
izotropowej.
Symetria sze�cienna:
(31)
Wyst�puj� tutaj trzy r�ne wsp�czynniki
C11, C12,
C44, kt�re definiuj� 12 niezerowych
wyraz�w tej macierzy.
Oczywi�cie kszta�t macierzy S jest
identyczny.
Symetria rombowa:
(32)
Wyst�puje tutaj 9 niezale�nych wsp�czynnik�w, kt�re definiuj� 12
niezerowych wyraz�w macierzy.
Kszta�t macierzy S jest identyczny.
Zauwa�my, �e im ni�sza symetria cia�a tym wi�cej b�dzie
niezale�nych wsp�czynnik�w, definiuj�cych macierz elastyczno�ci. W
przypadku cia�a o najni�szej mo�liwej symetrii, czyli kryszta�u
tr�jsko�nego, niezale�nych wsp�czynnik�w b�dzie 21.
Materia� izotropowy:
Przyk�adem materia�u izotropowego mo�e by� cia�o o
strukturze amorficznej (szk�o, zastyg�a smo�a itp.), ale tak�e
polikryszta� bez tekstury (jest to tzw. cia�o
quasi-izotropowe)
�atwo mo�na wykaza�, �e w przypadku cia�a izotropowego,
tylko dwie niezale�ne sta�e elastyczne (sta�e Lamego) definiuj� ca��
macierz elastyczno�ci l i
m . I
tak:
C12=l , C44=m oraz C11=l +2m
.
Macierze S i C maj� nast�puj�c� posta�:
(33)
(34)
Gdzie:
Przyk�ady zastosowa�:
materia� izotropowy pod obci��eniem
osiowym:
Rozci�gamy materia� w kierunku osi x1. Relacja ��cz�ca s 1 i e 1
jest nast�pujaca:
czyli:
(35)
Obok wyd�u�enia, w kierunku x1, wyst�pi� te� skr�cenia
poprzeczne:
(36)
Interesuj�cy jest stosunek skr�cenia poprzecznego do wyd�u�enia -
podaje go wsp�czynnik Poissona n ):
(37)
W �wietle relacji podanych wy�ej:
(38)
�cinanie cia�a
izotropowego:
Zmiana kszta�tu cia�a pod wp�ywem deformacji typu
�cinaj�cego
Za��my, �e przyk�adamy napr�enie �cinaj�ce s 23=s 4
(pozosta�e sk�adowe s� zerowe).
Korzystaj�c z R�wn. (24):
(39)
Z drugiej strony, z klasycznej postaci prawa Hooke�a
(40)
Po por�wnaniu otrzymujemy nast�puj�ce wyra�enie
na modu� �cinania G=m :
(41)
R�ne wprowadzone ju� przez nas sta�e elastyczne dla cia�a izotropowego
nie s� od siebie niezale�ne. I tak, wiedz�c, �e:
oraz
otrzymujemy:
(42)
deformacja materia�u
izotropowego pod wp�ywem napr�e�
hydrostatycznych
Jest to stan napr�e�, w kt�rym wyst�puj� tylko sk�adowe normalne o
takiej samej warto�ci p:
(43)
Taki stan napr�e� panuje np. w cieczy (na sta�ej
wysoko�ci).
Stosuj�c uog�lnione prawo Hooke�a:
dla o�rodka izotropowego otrzymujemy:
(44)
Wzgl�dna zmiana obj�to�ci, czyli dylatacja D :
(45)
A zatem modu� spr�ysto�ci obj�to�ciowej, K, wynosi:
(46)
Ostatecznie:
(47)
Modu� spr�ysto�ci obj�to�ciowej K mo�emy wyrazi� r�wnie� przez E i
n (korzystaj�c z
R�wn. (35) i (38)):
(48)
Warto�ci wsp�czynnika Poissona
Wykorzystuj�c R�wn. (42) i (47) obliczmy wyra�enie:
(49)
Wyliczmy st�d n
:
(50)
Na podstawie tej zale�no�ci znajdziemy granice w jakich mo�e si�
zmienia� n
.
Gdy
(51)
zatem zakres dopuszczalny wynosi:
�1<n
<0.5
Przyk�adowe warto�ci dla materia��w:
dla: pirytu �elaza n
=-0.4
Be n
=0
Cr n - bardzo ma�e
warto�ci ujemne
metali polikrystalicznych to
dla gumy
Anizotropia elastyczna
Cz�sto jako wska�nika anizotropii elastycznej cia� (kryszta��w) u�ywa
si� wsp�czynnika anizotropii elastycznej
Zenera:
(52)
�atwo sprawdzi�, �e dla cia�a izotropowego:
A=1.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Elastyczne Formy Zatrudnienia KompendiumMikroekonomia wykład 3 2010b Rynek elastyczność popytu i podażyElastyczne formy zatrudnienia poradnikElastycznośćMIKROEKONOMIA WYKŁAD 2 (15 10 2011) elastyczność popytu i podażyRozdział 06 Kontroler napędu dysków elastycznychmakuchowski,Elastyczne Systemy Montażowe,PytaniaElastyczne Formy Zatrudnienia TelepracaElastyczność rynku pracyelastycznosc zadaniaWyk ? 2 Elastyczno zasobow e learningW 5 ELASTYCZNOŚĆ POPYTUElastycznośćSprzęgła elastycznewięcej podobnych podstron