Zadania do drugiego kolokwium (Matematyka, ZiIP, 2010/2011)
1. Szeregi liczbowe. Zbadać zbieżności następujących szeregów liczbowych:
n
" " "
2n 3n
1.1. 1.2. 1.3. .
ìÅ‚ ÷Å‚
" "ëÅ‚ n +1 öÅ‚ "
(2n +1) 5n + 4 n 5n
íÅ‚ Å‚Å‚
n=1 n=1 n=1
" "
"
3n (2n +1)3n n!
1.4. . 1.5. . 1.5. .
" " "
4n(n +1) n!
n=1 (n + 2)3n
n=1 n=1
2. Pochodne funkcji. Obliczyć pochodne funkcji:
3 4
2.1. y = 4x4 - 3x2 + 2x + 5 - + 2 x -
3
x2
x
2.2. y = (2x3 + 5)e2 x
sin x
2.3. y =
3x2 - 3
10
2.4. y = (2x2 + 5x)
3
2.5. y = e2x +sin x
3. Reguła de l Hospitala. Obliczyć granice funkcji:
sin 3x sin x
3.1. lim . 3.2. lim .
x0 x0
2x e2 x -1
ëÅ‚ - ex 3x3 - 2x
öÅ‚
e3x
ìÅ‚ ÷Å‚
3.3. limìÅ‚ . 3.4. lim .
÷Å‚
x0 x0
2x 2x2 - 3x
íÅ‚ Å‚Å‚
cos3x -1
3.5. lim
x0
4x
4. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych. Wyznaczyć ekstrema funkcji:
4.1. z = 2x2 - 2xy + y2 + 6x + 2y + 4
4.2. z = x2 -12xy + 4y2 +10x + 4y + 5
4.3. z = -3x2 + 3xy - 2y2 + 6y + 3
4.4. z = -x2 - 4y2 + 2xy + 2x - 2y + 3