MOSTKI POMIAROWE
Mostki prądu stałego
1. Mostek Wheatstone a
Podstawowym zastosowaniem mostka Wheatstone a jest pomiar rezystancji R1 włączonej we
wspólny układ z trzema opornikami R2 ,R3 ,R4 o znanych wartościach rezystancji.
Układ mostka Wheatstone a
Warunki równowagi mostka -Metoda Thevenina
U = UR1 -UR3
AB
U = I1R1 - I3R3
AB
U U
U = R1 - R3
AB
R1 + R2 R3 + R4
Oporność wzierna RAB - widziana od strony zacisków AB
Metoda Thevenina - wyznaczenie rezystancji widzianej od strony zacisków AB
R1R2 R3R4
RAB = +
R1 + R2 R3 + R4
1
U U
R1 - R3
U R1 + R2 R3 + R4 R1R4 - R2R3
AB
I = = = U
g
R1R2 R3R4
RAB + Rg )+ (R1 )[R3R4 + Rg (R3 + R4 )]
+ + Rg R1R2(R3 + R4 + R2
R1 + R2 R3 + R4
W stanie równowagi Ig = 0
W celu spełnienia powyższego warunku musi zachodzić
R1R4 - R2R3 = 0
Z powyższej zależności wyznacza się wartość szukanej rezystancji
R3
R1 = R2
R4
Stan równowagi mostka można zatem osiągnąć dwoma sposobami:
R3
- ustalając stosunek dokonuje się regulacji R2 (zastosowanie w bardzo dokładnych mostkach
R4
laboratoryjnych)
R3
- ustalając wartość R2 dokonuje się płynnej zmiany stosunku (zastosowanie w mostkach
R4
technicznych)
Błąd względny graniczny
"R1 "R2 "R3 "R4
= + +
R1 R2 R3 R4
Uchyb nieczułości - określenie najmniejszego przyrostu R , który można zaobserwować na
wskaz
niku zera
R1R4 - R2R3
I = U
g
R1R2(R3 + R4 )+ (R1 + R2 )[R3R4 + Rg (R3 + R4 )]
Oznaczając
M = R1R2(R3 + R4 )+ (R1 + R2 )[R3R4 + Rg (R3 + R4 )]
mamy
dI
MR4 - M' ( R1R4 - R2R3 )
g
= U
2
dR1
M
Ze względu na warunek R1R4 - R2R3 = 0 mamy
dI
R4
g
= U
dR1 M
dR1 dI M
g
= - względny przyrost R1
R1 UR4R1
2
dą
SI = - czułość prądowa galwanometru
dI
g
dą - najmniejsze widoczne wychylenie wskazówki galwanometru
dą
dI =
g
SI
Ą# ń#
�# ś#
dR1 dąM R1 R4 ź#Ą# dą
ś#
= � = = + R2 + R3 + R4 + Rg ś# + 2 +
ó#R
R1 R1 UR4R1SI ó# 1 R2 R3 ź#Ą# U SI
�# #
Ł# Ś#
Uchyb nieczułości jest odwrotnie proporcjonalny do czułości prądowej galwanometru oraz napięcia
zasilania. Można go zatem zmniejszyć stosując czulszy galwanometr lub, co jest łatwiejsze,
zwiększając napięcie zasilania.
Napięcie to jednak nie może być dowolnie duże, gdyż musi być ono dostosowane do dopuszczalnej
mocy oporników mostka, która nie przekracza 1W.
Przykład
Obliczyć uchyb nieczułości mostka Wheatstone a o danych
U = 2V, R1 = 10&!,R2 = 1000&!,R3 = 10&!,R4 = 1000&!, Rg = 100&!, Si = 2 �"107 ,dą = 0.2 działki
Ą# 10 1000 ń# 0.2
ś#
� = +1000 +10 +1000 +100�# + 2 + = 6.1�"10-5 = 6.1�"10-3%
ś# ź#Ą#
R1
ó#10
10
�#1000 #
Ł# Ś# 2 �" 2 �"107
2. Mostek Thomsona
Mostek Thomsona stosowany jest do pomiaru małych rezystancji (0.0001-10 &! ).
Stosując do pomiaru tak małych rezystancji mostek Wheatstone a uzyskiwałoby się bardzo duże
błędy pomiaru, wnoszone przez rezystancję przewodów łączących oporniki.
Przewody łączące jako z
ródło błędu pomiaru małych rezystancji mostkiem Wheatstone a
Rezystancje przewodów: a, b, c można zaniedbać, jeśli oporniki dekadowe R3 i R4 mają dużą
rezystancję (rzędu setek lub tysięcy omów).
Istotny błąd wnosi natomiast rezystancja r , połączenia opornika mierzonego R1 o bardzo małej
rezystancji i opornika R2 (w praktycznych rozwiązaniach jest to opornik wzorcowy). Rezystancja
ta reprezentuje również rezystancję przejścia.
Opornik R2 również musi mieć małą rezystancję, zbliżoną do rezystancji R1, głównie dlatego żeby
czułość mostka była duża. Warunek równowagi można też uzyskać dla małego R3 i dużego
R2 ,jednak G musi być włączone pomiędzy mniej więcej podobnymi co do wartości rezystorami.
3
Rezystancja r może mieć wartość bliską a nawet większą od rezystancji R1.
R3
Proporcjonalność podziału rezystancji r do stosunku osiąga się poprzez równoległe dołączenie
R4
'
do rezystancji r dwóch dekadowych oporników R3 i R' , pomiędzy które włącza się galwanometr
4
o rezystancji Rg . Oporniki te mają wartości proporcjonalne lub równe dekadowym opornikom R3
i R4 oraz są z nimi sprzężone mechanicznie.
'
R3 R3
Zmiana stosunku powoduje taką samą zmianę stosunku co odpowiada sytuacji
R4
R'
4
przesuwania punktu przyłączenia galwanometru wzdłuż rezystancji r.
Z uwagi na małe wartości rezystancji włączonych w górne ramiona mostka, konieczne jest
włączenie opornika regulującego prąd zasilania oraz kontrolującego ten prąd amperomierza.
Fabrycznie wykonany układ mostka Thomsona ogranicza się wyłącznie do dekad oporników i
zacisków. Opornik wzorcowy oraz układ zasilania dołącza do mostka użytkownik.
Układ mostka Thomsona
Mostki prądu zmiennego
W przeciwieństwie do mostków prądu stałego, liczba układów mostków prądu zmiennego jest
znacznie większa. Pomimo dużej różnorodności układów oraz szerokich zastosowań, wszystkie
mostki prądu zmiennego oparte są o układ mostka Wheatstone a.
Bezpośredni wynik pomiarów przeprowadzanych za pomocą tych mostków stanowi pojemność i jej
R + tg� bądz
indukcyjność i jej R + Q oraz faza i częstotliwość.
Jako wskaz
niki równowagi, w tego typu mostkach stosowane są najczęściej tzw. wskaz
niki zera,
które realizowane są jako układy elektroniczne lub oscyloskopy w układem wzmacniacza na
wejściu.
4
1. Mostek Wiena
Służy do pomiaru pojemności i kąta strat kondensatorów (w układzie szeregowym).
Układ mostka Wiena
C1,R1 - pojemność i rezystancja strat kondensatora badanego
Cw ,Rw - pojemność i rezystancja strat kondensatora wzorcowego
Warunki równowagi mostka
�# ś# �# ś#
1 1
ś# ź# ś# ź#
R1 + = Rw + R2 +
ś#
j�C1 ź#R4 ś# j�Cw ź#R3
�# # �# #
R4 R3
R1R4 + = (Rw + R2 )R3 +
j�C1 j�Cw
R1R4 = (Rw + R2 )R3
R4 R3
=
j�C1 j�Cw
R3
R1 = (Rw + R2 )
R4
R4
C1 = Cw
R3
Wykres wskazowy zrównoważonego mostka Wiena
5
Kąt stratności kondensatora
R4 R3
tg� = �C1R1 = �Cw (Rw + R2 ) = �Cw(Rw + R2 )
R1
R3 R4
2. Mostek Maxwella
Służy do pomiaru indukcyjności cewek bez rdzenia ferromagnetycznego oraz ich rezystancji. Może
również służyć do pomiaru indukcyjności wzajemnej M12 .
Układ mostka Maxwella
Warunki równowagi
Dla przełącznika P w położeniu 1
(R1 + j�L1)R4 = (R2 + Rd + j�L2 )R3
R1R4 + j�L1R4 = (R2 + Rd )R3 + j�L2R3
R1R4 = (R2 + Rd )R3
j�L1R4 = j�L2R3
R3
L1 = L2
R4
R3
R1 = (R2 + Rd )
R4
Dla przełącznika w położeniu 2
R3
L1 = L2
R4
6
R3
R1 = R2 - Rd
R4
Wielkością charakteryzującą jakość cewki indukcyjnej jest jej dobroć Q. Dla szeregowego układu
zastępczego cewki wyznacza się ją ze wzoru
�L1
Q =
R1
Wykres wskazowy zrównoważonego mostka Maxwella
3. Mostek Maxwella-Wiena
Służy do pomiaru indukcyjności własnej i rezystancji cewek powietrznych. Może również służyć
do pomiaru indukcyjności wzajemnej M12 .
Układ mostka Maxwella-Wiena
Warunki równowagi
1
�# ś#
R4
ś# ź#
(R1 + j�L1)ś# j�C4 ź# = R2R3
ś# ź#
1
R4 +
ś#
j�C4 ź#
�# #
ś#
(R1 + j�L1)�# R4 ś# = R2R3
ś#1+ j�R4C4 ź#
ź#
�# #
R4(R1 + j�L1)
= R2R3
1+ j�R4C4
7
R4(R1 + j�L1) = R2R3(1+ j�R4C4 )
R1R4 + j�R4L1 = R2R3 + j�R2R3R4C4
R1R4 = R2R3
j�R4L1 = j�R2R3R4C4
Stąd
R3
R1 = R2
R4
L1 = R2R3C4
Dobroć
�L1 �C4
Q = =
R1 R4
Wykres wskazowy zrównoważonego mostka Maxwella Wiena
4. Mostek Scheringa
Służy do pomiaru pojemności i tangensa kąta strat przy zasilaniu wysokim napięciem.
Układ mostka Scheringa
8
Warunki równowagi
1
R4
�# ś# j�C4 1
1
ś# ź#
R1 + = R2 �"
ś#
1
j�C1 ź# R4 + j�C3
�# #
j�C4
�# ś# R4
1 1
ś# ź#
R1 + = R2 �"
ś#
j�C1 ź# 1+ j�R4C4 j�C3
�# #
�# ś#
1
ś# ź#
R1 + j�R4C3 = R2 + j�R2R4C4
ś#
j�C1 ź#
�# #
C3
j�R1R4C3 + R4 = R2 + j�R2R4C4
C1
C3
R4 = R2
C1
j� CwR4Rx = j� R2R4C4
Stąd
R4
C1 = C3
R2
C4
R1 = R2
C3
Tangens kąta strat przedstawia
tg� = �RxCx = �R4C4
Uwaga:
1. C3 jest kondensatorem wzorcowy wysokonapięciowym
2. C3 dobierany jest do Cx tak, aby główna część napięcia WN była po lewej stronie mostka
Wykres wskazowy zrównoważonego mostka Scheringa
9
5. Mostek Robinsona
Służy do pomiaru częstotliwości.
Układ mostka Robinsona
R1 jest mechanicznie sprzężone z R2.
Wyprowadzenie wzoru określającego częstotliwość
1
R1 �"
j�C1 �# ś#
1
ś# ź#
R4 = R2 + R3
ś#
1
j�C2 ź#
�# #
R1 +
j�C1
R1 �" R4 R3
= R2R3 +
j�C1R1 +1 j�C2
R1R3C1 R3
R1R4 = j�R1R2R3C1 + + R2R3 +
C2 j�C2
2
j�R1R4C2 = -� R1R2R3C1C2 + j� R1R3C1 + j� R2R3C2 + R3
Porównując części rzeczywiste mamy
2
� R1R2R3C1C2 = R3
�2R1R2C1C2 = 1
1
� =
R1R2C1C2
1
f =
2Ą R1R2C1C2
Dla mostka Robinsona zakłada się:
C1 = C2 = C i R1 = R2 = R
Wtedy
R4 = 2R3
10
oraz
1
� =
RC
Zadanie
Dla mostka jak na rysunku, przy założonej zerowej rezystancji z
ródła i nieskończonej rezystancji
wskaz
nika zera, wyznaczyć stosunek napięcia nierównowagi do napięcia zasilania. Wyliczyć
wynikające z tego stosunku warunki równowagi mostka. Założyć R1=R2=R3=R oraz R4=2R.
U U
U = Z1 - Z2
AB
Z1 + Z4 Z2 + Z3
( Z2 + Z3 )Z1 - ( Z1 + Z4 )Z2
U = U
AB
( Z1 + Z4 )( Z2 + Z3 )
U Z1Z2 + Z1Z3 - Z1Z2 - Z4Z2
AB
=
U ( Z1 + Z4 )( Z2 + Z3 )
U Z1Z3 - Z4Z2
AB
=
U ( Z1 + Z4 )( Z2 + Z3 )
Z1 = R1 - jX , Z2 = R2 , Z3 = R3 + jX , Z4 = R4
C L
U ( R1 - jX )( R3 + jX ) - R2R4
AB C L
=
U ( R1 - jX + R4 )( R2 + R3 + jX )
C L
( R1 - jX )( R3 + jX ) = R2R4
C L
R1R3 + jR1X - jR3X - j2 X X = R2R4
L C C L
R1R3 + jR1X - jR3X + X X = R2R4
L C C L
1 1
R1R3 + jR1�L - jR3 + �L = R2R4
�C �C
L 1
R1R3 - R2R4 + + j(R1�L - R3 ) = 0
C �C
11
L
R1R3 - R2R4 + = 0
C
R3
R1�L - = 0
�C
R1 = R2 = R3 = R
R4 = 2R2
L
R2 - 2R2 + = 0
C
R 1
�RL - = 0 �"
�C R
L
R2 - 2R2 + = 0
C
1
�L - = 0 �"�C
�C
L
(1) R2 =
C
2
(2) � LC = 1
z (2)
1
C =
2
� L
Podstawiając do (1)
R = �L
12