Politechnika Opolska
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki
Instytut Automatyki i Informatyki
Przetworniki i Układy Pomiarowe
Laboratorium
Niezrównowa\
one układy mostkowe
Opole, 2007
Niezrównowa\
one układy mostkowe
Strona pusta
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 2 -
Niezrównowa\
one układy mostkowe
Niezrównowa\
one układy mostkowe
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest poznanie właściwości układów mostkowych i zasad doboru jego
elementów.
2. Wprowadzenie teoretyczne
Wiele pomiarów wielkości nieelektrycznych sprowadza się do pomiaru zmian rezystancji
czujnika np. elektryczny pomiar składu mieszaniny gazowej analizatorem
termokonduktometrycznym, pomiar temperatury termometrem rezystancyjnym, naprÄ™\
eń
tensometrami itp. Metodą, która umo\
liwia uzyskanie najwy\
szych dokładności przy pomiarach
zmian rezystancji jest metoda mostkowa. Mostki zrównowa\
one zapewniajÄ… wysokÄ…
dokładność, u\
ywane są jednak prawie wyłącznie w laboratorium poniewa\
odczyt wielkości
mierzonej jest utrudniony  np. dla określenia temperatury konieczna jest znajomość
charakterystyki R(Ń) = f (Ń), gdzie R(Ń) jest rezystancją sondy termometrycznej w temperaturze
Ń , dlatego te\
częściej do tych celów u\
ywa się mostków niezrównowa\
onych, w których
sygnałem wyjściowym z reguły jest napięcie nierównowagi powstające na przekątnej zerowej.
Sygnał ten mo\
e być wykorzystany bezpośrednio w mierniku wychyłowym, lub mo\
e poprzez
wzmacniacz sterować rewersyjnym serwomotorem doprowadzając do stanu równowagi, a
sygnałem wyjściowym w tym przypadku jest poło\
enie ślizgu potencjometru równowa\
Ä…cego.
Dla zmniejszenia wpływu czynników zewnętrznych przetwornik wykonany jest zwykle w
układzie ró\
nicowym lub porównawczym, tzn. posiada dwa elementy pomiarowy i
porównawczy.
Je\
eli rezystancja elementu pomiarowego jest funkcją szeregu wielkości:
Rp = fp(x,z1,...,zn ) (1)
gdzie x - jest wielkością mierzoną, a z1,...,zn - są wielkościami wpływającymi (zakłóceniami), to
element porównawczy charakteryzuje zale\
ność:
Rk = fk (x,z1,...,zn) (2)
Przetwornik ró\
nicowy jest tak zbudowany, \
e zwiększenie wielkości mierzonej x
powoduje wzrost rezystancji Rp , a zmniejszenie rezystancji Rk , lub odwrotnie. Ogólnie:
"Rp "Rk
H" - (3)
"x "x
W przetworniku porównawczym natomiast:
"Rp "Rk
>> H" 0 (4)
"x "x
czyli, \
e zmiana wielkości mierzonej wpływa głównie na element pomiarowy, natomiast zmiany
rezystancji elementu porównawczego są znikomo małe (typowym przykładem tak wykonanego
przetwornika jest komora analizatora termokonduktometrycznego). Elementy przetwornika Rp i
Rk włączone są w układzie mostkowym ró\
nicowo w sąsiednie gałęzie mostka, spełniając
warunki:
Ug = f (x,z1,...,zn ) (5)
oraz dla X = X0 , Rp = Rp0 , Rk = Rk0 , napięcie Ug = 0 . Wielkość x = x0 nazywamy punktem
zerowym przetwornika.
Celem niniejszego ćwiczenia jest dobranie optymalnych warunków pracy przetwornika,
tzn. dobór wartości stałych oporników (tj. rezystancji w pozostałych gałęziach mostka)będących
parametrami przekÄ…tnej zerowej i przekÄ…tnej zasilania.
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 3 -
Niezrównowa\
one układy mostkowe
Model zastępczy układu mostkowego.
R1
R2
Rg
Ug
R4
R3
Im
Rys. 1. Schemat układu mostkowego.
Napięcie na przekątnej zerowej mostka, gdy Rg = " mo\
na obliczyć następująco:
Va
R1
R2
I1
UR1 Ug
I2 UR3
R4
R3
Im
Vb
U
Rys. 2. Schemat zastępczy układu mostkowego.
U
I1(R1 + R2) = U I1 =
R1 + R2
U
I2(R3 + R4) = U I2 =
R3 + R4
ëÅ‚ öÅ‚
UR1 UR3 ìÅ‚ R1 R3 ÷Å‚
Ug" = Va -Vb = U + I1R1 - U - I2R3 = - = UìÅ‚ - (6)
R1 + R2 R3 + R4 íÅ‚ R1 + R2 R3 + R4 ÷Å‚
Å‚Å‚
Przy obciÄ…\
eniu przekątnej zerowej napięcie Ug będzie się zmieniać zgodnie z zale\
nością:
Rg
Ug = Ug" (7)
Rg + Rm
gdzie Rm jest zastępczą opornością mostka widzianą z zacisków przekątnej zerowej przy
zało\
eniu, \
e oporność wewnętrzna z
ródła jest znikomo mała:
R1R2 R3R4
Rm = + (8)
R1 + R2 R3 + R4
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 4 -
o
o
Niezrównowa\
one układy mostkowe
R1
R2
R4
R3
Rys. 3. Schemat układu mostkowego do wyznaczenia oporności zastępczej
widzianej z zacisków przekątnej zerowej.
Po podstawieniu uzyskamy:
R1 R3
-
R1 + R2 R3 + R4
Ug = URg = (9)
R1R2 R3R4
Rg + +
R1 + R2 R3 + R4
R1(R3 + R4)- R3(R1 + R2)
= URg =
Rg (R1 + R2)(R3 + R4)+ R1R2(R3 + R4)+ (R1 + R2)R3R4
R1R4 - R2R3
= URg
Rg (R1 + R2)(R3 + R4)+ R1R2R3 + R1R2R4 + R2R3R4 + R1R3R4
2.1. Dobór elementów
2.1.1. Dopasowanie mostka do uzyskania maksimum mocy w mierniku
Rm
Rg
Ug
Rys. 4. Schemat zastępczy układu mostkowego podczas doboru elementów mostka
w celu uzyskania maksimum mocy w mierniku.
Ug"
2
P = IgRg Ig =
Rg + Rm
2
UgRg
2R4"R
P = = URg 2 =
2 2
(Rg + Rm) 2(R0 - "R2)R1 + 2R0R4 + 2R02R4Rg
"R
"R R0
= URg 2 = URg =
R0 - "R2 + R0R4 + 2R0Rg "R2
R0 + R4 + 2Rg -
R0
"R
przyjmujÄ…c = µ
R0
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 5 -
o
o
Niezrównowa\
one układy mostkowe
µ µ
= URg = URg =
ëÅ‚
"R2
"R2 öÅ‚
÷Å‚
R0 - + R4 + 2Rg
R0ìÅ‚1- + R4 + 2Rg
2
ìÅ‚
R0
R0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
µ
= URg =
2
R0(1- µ )+ R4 + 2Rg
PomijajÄ…c w mianowniku µ jako bardzo maÅ‚e, a zatem 1- µ H" 1, otrzymujemy wzór na moc w
przekÄ…tnej zerowej:
2
Ug
Pg =
Rg
2 2
µ µ
2
Pg = U2Rg = U2Rg (10)
2 2
(R0 + R4 + 2Rg) Rg (R0 + R4 + 2Rg )
Ze wzoru (6) widać, \
e dla danych R0 , Rg i U największą moc będzie dla R4 = 0 (najmniejszy
mianownik). Jeśli natomiast mostek jest symetryczny względem przekątnej zasilania, tzn.:
R1 = R0 + "R
R3 = R0 - "R
R2 = R4
2
(Rg + Rm) - 2(Rg + Rm)Rg
"P
2
= Ug"
4
"Rg
(Rg + Rm)
"P
P = PMAX , gdy = 0
"Rg
4
Poniewa\
(Rg + Rm) jest zawsze większe od zera,
2
(Rg + Rm) - 2(Rg + Rm)Rg = 0
2 2 2
Rg + 2RgRm + Rm - 2Rg - 2RgRm = 0
2 2
Rg = Rm Ò! Rg = Rm
ObliczajÄ…c drugÄ… pochodnÄ… mo\
na sprawdzić, \
e jest to warunek na maksimum.
"2P
< 0
2
"Rg
2.1.2. Dopasowanie biernych gałęzi mostka
R1
R2
Rg
R4
R3
Rys. 5. Schemat zastępczy układu mostkowego podczas doboru biernych elementów gałęzi.
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 6 -
Niezrównowa\
one układy mostkowe
Stosując mostek symetryczny względem przekątnej zerowej, tzn.:
R3 = R4
R1 = R2 = R0 oraz
R1 = R0 + "R
"R
R2 = R0 - "R i wprowadzajÄ…c = µ
R0
wzór (9) przybierze postać:
µ
Ug = URg =
2
R0(1- µ )+ R4 + 2Rg
R1R4 - R2R3
= URg =
R1R2R3 + R1R2R4 + R1R3R4 + R2R3R4 + (R1 + R2)(R3 + R4)Rg
(R0 + "R)R4 - (R0 - "R)R4
= URg =
2
(R0 + "R)(R0 - "R)R4 + (R0 + "R)(R0 - "R)R4 + (R0 + "R)+ (R0 + "R)R4 + (R0 + "R + R0 - "R)2R4Rg
URgµ
= (12)
Rg öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
R4
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
R0(1- µ )ëÅ‚1+ + R4 + Rg ìÅ‚1+ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2R4 2R0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
PomijajÄ…c µ w mianowniku jako maÅ‚e, otrzymamy wyra\
enie na moc w przekÄ…tnej zerowej:
2 2
µ µ
Pg = U2Rg = U2Rg (13)
2
M2
îÅ‚
Rg
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
R4 Å‚Å‚
ïÅ‚R0ìÅ‚1+ ÷Å‚ + R4 + Rg ìÅ‚ ÷łśł
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚1+ 2R0 ÷łśł
2R4
ïÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ûÅ‚
ðÅ‚
îÅ‚ RgR0 Rg 2
Å‚Å‚
- 2ïÅ‚- + R4 +
śłµ
2R0 śł
"Pg ïÅ‚ 2
2R4
ðÅ‚ ûÅ‚
= = 0
"Rg
M3
2 2
R4(2R0 + Rg )= R0Rg
stąd optymalna wartość R4 :
Rg
R4 = R0 (14)
2R0 + Rg
3. Nieliniowość skali miernika
Przy zało\
eniu, \
e oporność przetwornika jest zale\
na liniowo od wartości mierzonej,
nieliniowość skali jak to wynika ze wzoru na Ug spowodowana jest obecnoÅ›ciÄ… µ w
mianowniku. Oblicza się ją jako ró\
nicÄ™ wartoÅ›ci Ug ' (z pominiÄ™ciem µ w mianowniku) i
wartości Ug ze wzoru (5)  podawana jest zwykle jako wartość względna.
Przy zało\
eniu, \
e R1 = R2 , R3 = R4 względny błąd liniowości wynosi:
µ µ
-
2
2
R0 + R4 + 2Rg
Ug '-Ug R0(1- µ )+ R4 + 2Rg
µ
Ãu = = H"
µ
Ug R4 2Rg
1+ +
2
R0(1- µ )+ R4 + 2Rg R0 R0
Wartość minimalną osiągniemy, gdy mianownik dą\
y do " , tzn.:
Rg
R4
Ò! " oraz Ò! "
R0 R0
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 7 -
Niezrównowa\
one układy mostkowe
Dla mostka o symetrii R1 = R3 oraz R2 = R4 minimalną nieliniowość uzyskuje się da du\
ych
R4 , poniewa\
:
2
µ
Ãu H" (16)
R4 îÅ‚ Rg R0R4 Å‚Å‚
1+
ïÅ‚1+
R0 ïÅ‚ R0 (Rg + 2R4)śł
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Je\
eli w przetwornikach R zmienia siÄ™ w du\
ych granicach, to i błędy nieliniowości są du\
e.
4. Błędy dodatkowe
Powstają na skutek działania na element pomiarowy i porównawczy wielkości zakłócającej
(wpływającej) z np. temperatury otoczenia. Przyjmując, \
e przy zmianie wielkości Z o
"Z = Z - Z0 rezystancja elementów pomiarowego i porównawczego przetwornika zmienia się
równocześnie o "Rz
"Rz
´ =
R0
Sygnał wyjściowy mostka o symetrii R1 = R2 , R3 = R4 pomijając błąd nieliniowości, wynosi:
R0R42µ
Ug ' = URg 2
2
2R0R4(1+ 2´ )+ 2R0R4 (1+ ´ )+ 2R0R4Rg (1+ ´ )
lub po przekształceniu:
µ
Ug '= URg (17)
2 + ´ Å‚Å‚
(1+ ´ )îÅ‚R0 + R4 + 2Rg śł
ïÅ‚
1+ ´
ðÅ‚ ûÅ‚
BÅ‚Ä…d dodatkowy wynika ze wzoru:
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Ug '-Ug
´ R0
ïÅ‚1- śł
à = = - (18)
z
Ug 1+ ´ ïÅ‚ 2 + ´ öÅ‚ śł
(1+ ´ )ëÅ‚R0 + R4 + 2Rg
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ śł
1+ ´
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Przy czym Ug - wartość sygnaÅ‚u w warunkach odniesienia Z = Z0 dla ´ = 0 .
Dla symetrii R1 = R3 i R2 = R4
Rg
µ
Ug ' = U
2
R0 îÅ‚
Rg
R4 R4 R4 Å‚Å‚
1+ 2´ + (1+ ´ )+ (1+ )2
ïÅ‚1+ 2´ + ´ + 2 śł
R0 2R4 ïÅ‚ R0 śł
R0 ûÅ‚
ðÅ‚
Analogicznie błąd à wynosi:
z
R0Rg
2R0 + Rg + R4 +
R4
à = -´ (19)
z
ëÅ‚ R0Rg öÅ‚ R0Rg RgR4
ìÅ‚ ÷Å‚
´ + Rg + R4 + + R0 + Rg + R4 + +
ìÅ‚2R0
R4 ÷Å‚ 2R4 2R0
íÅ‚ Å‚Å‚
Powy\
sze wzory wskazujÄ…, \
e wielkości błędów dodatkowych zale\
ą od doboru elementów. Dla
mostków symetrycznych względem przekątnej zerowej błąd ten maleje ze zmniejszaniem się
R4 i Rg .
Natomiast dla mostka symetrycznego względem przekątnej zasilania błąd maleje ze wzrostem
wartoÅ›ci R4 i Rg a dla Rg i R4 Ò! " bÅ‚Ä…d dodatkowy maleje do zera.
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 8 -
Niezrównowa\
one układy mostkowe
5. Wpływ napięcia zasilania
Wartość napięcia uzyskiwanego na przekątnej zerowej jest proporcjonalna do napięcia
zasilajÄ…cego.
6. Nieliniowe elementy mostka
Mostek mo\
e zawierać jako elementy pomiarowe oporniki nieliniowe o charakterystyce:
R = f (x,I)
gdzie x jest wielkością mierzoną, a I prąd danego opornika R . Wszystkie powy\
sze wzory sÄ…
nadal słuszne, je\
eli w miejsce rezystancji wstawi siÄ™ rezystancjÄ™ dynamicznÄ… elementu:
"U "R
Rdyn = = R + I
"I "I
Dla elementu liniowego:
Rdyn = R
Wymienione powy\
ej kryteria doboru elementów mostka są równie\
słuszne dla mostków prądu
zmiennego, gdzie oczywiście zamiast operować rezystancjami nale\
y wprowadzić impedancje
elementów.
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 9 -
Niezrównowa\
one układy mostkowe
7. Program ćwiczenia
R1
R2
Rg V
Ug
R4
R3
V
UZAS
Rys. 6. Schemat układu pomiarowego.
Uwaga!
Przedstawiony poni\
ej program ćwiczeń związany jest z badaniem niezrównowa\
onych
układów mostkowych w przypadku symetrii względem przekątnej zasilania. W ramach drugich
zajęć tego ćwiczenia nale\
y wyznaczyć wszystkie podane charakterystyki zachowując
odpowiednie zale\
ności wynikające z przyjęcia symetrii mostka względem przekątnej zerowej.
7.1. Obliczyć Rp oraz Rk
Rp = (R0 + ap X)(1+ bZ)
Rk = (R0 + ak X)(1+ bZ)
gdzie:
- X - wielkość mierzona; zakres zmian tej wielkoÅ›ci wynosi 0÷100 jednostek. Punkt zerowy
przetwornika odpowiada wielkości X = X0 = 0 .
- Z - wielkość wpływająca; wartość odniesienia Z0 = 0 , zakres zmian wielkości Z wynosi
Z ą 10% jednostek wielkości Z .
- ap , ak , b i R0 - wielkości stałe.
Dobieramy ap = -ak , aby otrzymać przetwornik ró\
nicowy.
ap = -ak = 0.4
b = 0.1
R0 = 100&!
Z = 0
Rp[&!] Rk[&!]
Lp. X
1 2 3 4
1 10
2 20
3 30
4 40
5 50 120 80
6 60
7 70
8 80
9 90
10 100
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 10 -
Niezrównowa\
one układy mostkowe
7.2. Wyznaczyć charakterystykę Ug = f (R4)
X = 50 Ò! Rp = R1 = 120&! oraz Rk = R3 = 80&!
R4 = R2 - symetria względem przekątnej zasilania;
Z = 0
Rg = 100&!
Ug [V]
R4 = R2 Ug R4 = R2 Ug R4 = R2 Ug
Lp. Lp. Lp.
[&!] [V] [&!] [V] [&!] [V]
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 10 10 100 19 1000
2 20 11 200 20 2000
3 30 12 300 21 3000
4 40 13 400 22 4000
5 50 14 500 23 5000
6 60 15 600 24 6000
7 70 16 700 25 7000
8 80 17 800 26 8000
9 90 18 900 27 9000
28 10000
Wyznaczyć optymalną wartość R4 = R2 , dla której Ug osiąga maksimum (teoretycznie i
porównać z pomiarami).
2.a. Wykreślić charakterystykę Pg = f (R4)
2
Ug
Pg = dla Rg = 100&!
Rg
7.3. Wyznaczyć charakterystykę Ug = f (X)
dla Rg = 100&! i Rg = " oraz R4 = R2 = 10&!,100&!,1000&!,R4OPT
Obliczyć i wykreÅ›lić: Ãu = f (R4) dla X = 10,50,80,100
Rg = 100&! Rg = "
R4 = R2 = R4OPT R4OPT
10 100 1000 10 100 1000
Ug[V] Ug[V]
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 11 -
Niezrównowa\
one układy mostkowe
7.4. Wyznaczyć charakterystykę Ug = f(Rg)
X = 50 Ò! Rp = R1 = 120&! oraz Rk = R3 = 80&!
oraz R4 = R2 = R4OPT
Ug [V]
Rg Ug Rg Ug Rg Ug
Lp. Lp. Lp.
[&!] [V] [&!] [V] [&!] [V]
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 10 10 100 19 1000
2 20 11 200 20 2000
3 30 12 300 21 3000
4 40 13 400 22 4000
5 50 14 500 23 5000
6 60 15 600 24 6000
7 70 16 700 25 7000
8 80 17 800 26 8000
9 90 18 900 27 9000
28 10000
7.5. Obliczyć
Rp = (R0 + ap X)(1+ bZ)
Rk = (R0 + ak X)(1+ bZ)
dla X = 50 i Z " (1...10) oraz ap = -ak = 0.4 , b = 0.1 i R0 = 100&!
X = 50
Rp[&!] Rk[&!]
Lp. Z
1 2 3 4
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
5.a. Wyznaczyć charakterystykę Ug = f (Z) dla R4 = R2 = 10&!,100&!,1000&!,R4OPT
Obliczyć i wykreÅ›lić: à = f (R4) dla Z = 1,5,8,10
z
Rg = 100&!
R4 = R2 = R4OPT
10 100 1000
Ug[V]
Z
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Politechnika Opolska Przetworniki i Układy Pomiarowe
- 12 -