data 05.06.2013
SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM
METOD NUMERYCZNYCH
Ćwiczenie nr 5
Temat: Numeryczne rozwiązywanie równań i układów
równań nieliniowych
Wydział: EEiA
rok akademicki: 2012/2013 semestr: IV
Grupa: 4C5
Dzień: czwartek godz. 1415-1600
Kubiak A
ukasz 171367
Leśnik Przemysław 171374
Zadanie 1
-m-funkcja realizujÄ…ca metodÄ™ bisekcji:
function [x0,x1,n]=bisekcja(F,xa,xb,e)
x0=xa;
x1=xb;
for n=1:25
x=.5*(x0+x1);
a=sign(feval(F,x0)*feval(F,x));
f=feval(F,x);
if a<0
x1=x;
else
x0=x;
end
if f==0
x0=x;
x1=x0;
break
end
warunek=abs(x0-x1);
if warunek<(2*e)
break
end
end
-m-funkcja realizujÄ…ca metodÄ™ siecznych:
function [xo,n]=sieczna(F,x0,x1,e)
x=[1:27];
x=0;
x(1,1)=x0;
x(1,2)=x1;
for n=2:26
x(n+1)=((feval(F,x(n)))*x(n-1)-(feval(F,x(n-1)))*x(n))/((feval(F,x(n)))-
(feval(F,x(n-1))));
warunek=abs(x(n)-x(n-1));
if warunek break
end
end
xo=x;
-m-funkcja realizujÄ…ca metodÄ™ Newtona:
function [xo,n]=newton(F,Fd,x0,e)
x=[1:26];
x=0;
x(1,1)=x0;
for n=2:26
x(n)=x(n-1)-(feval(F,x(n-1))/feval(Fd,x(n-1)));
warunek=abs(x(n)-x(n-1));
if warunek break
end
end
xo=x;
funkcja: f(x)=xex-2-x2/2; x =2
metoda Newtona: x0=2,5 , przyjmujÄ™ µ=1e-16
uzyskane przybliżenia:
n x |x-x'| f(x) f'(x)
0 2.500000000000000 0.500000000000000 -0.066419745478745 -1.502248391294711
1 2.005786442599216 0.005786442599216 -0.006738658879160 -1.187348607914774
2 2.000111058946732 0.000111058946732 -0.000126833406758 -1.142480927818234
3 2.000000043170740 0.000000043170740 -0.000000049283407 -1.141592998955683
4 2.000000000000007 0.000000000000007 -0.000000000000008 -1.141592653589849
5 2.000000000000000 0 0 -1.141592653589793
6 2.000000000000000 0 0 -1.141592653589793
metoda siecznych: x0=2.5 ,x1=2.4 ; przyjmujÄ™ µ=1e-16
uzyskane przybliżenia:
n X |x-x'| f(x) f'(x)
0 2.500000000000000 0.500000000000000 -0.066419745478745 -1.502248391294711
1 2.400000000000000 0.400000000000000 -0.051724668485651 -1.436272053316942
2 2.254801362721704 0.254801362721704 -0.005572822484048 -1.179634772750672
3 2.110551137124541 0.110551137124541 -0.000630388208170 -1.145996890563825
4 2.000049037432576 0.000049037432576 -0.000010317393333 -1.141664951743598
5 2.000000717405163 0.000000717405163 -0.000000019869607 -1.141592792831092
6 2.000000000013551 0.000000000013551 -0.000000000000629 -1.141592653594201
7 2.000000000000273 0.000000000000273 -0.000000000000114 -1.141592653589793
8 2.000000000000000 0 0 -1.141592653589793
9 2.000000000000000 0 0 -1.141592653589793
metoda bisekcji: xa=1,8 ,xb=2,5 ; przyjmujÄ™ µ=1e-16
n xa Xb |~x-x'| f(x) f'(x)
0 1.800000000000000 2.500000000000000 0.012500000000000 -0.014884498997154 -1.239095626241398
1 1.825000000000000 2.492500000000000 0.006250000000000 0.006977402250884 -1.090967853846121
2 1.843750000000000 2.472500000000000 0.003125000000000 -0.003606376789602 -1.166436415645190
3 1.843750000000000 2.463125000000000 0.001562500000000 0.001773952551422 -1.129053591857516
4 1.848437500000000 2.453125000000000 0.000781250000000 -0.000894308123743 -1.147832888012328
5 1.848437500000000 2.450781250000000 0.000390625000000 0.000445323960855 -1.138465212186528
6 1.849609375000000 2.444781250000000 0.000195312500000 -0.000223119863308 -1.143154543238417
7 1.849609375000000 2.425195312500000 0.000097656250000 0.000111445505637 -1.140811251001914
8 1.849902343750000 2.366195312500000 0.000048828125000 -0.000055751364911 -1.141983240442821
9 1.849902343750000 2.310048828125000 0.000024414062500 0.000027868530131 -1.141397331553050
10 1.849975585937500 2.250448828125000 0.000012207031250 -0.000013936053234 -1.141690307455607
11 1.849975585937500 2.216012207031250 0.000006103515625 0.000006967579586 -1.141543824868747
12 1.889993896484375 2.177512207031250 0.000003051757813 -0.000003483901553 -1.141617067503286
13 1.889993896484375 2.113503051757813 0.000001525878906 0.000001741922836 -1.141580446521292
14 1.949998474121094 2.055433051757813 0.000000762939454 -0.000000870968404 -1.141598757096112
15 1.949998474121094 2.001431162939453 0.000000381469726 0.000000435482455 -1.141589601829657
16 1.959999618530273 2.000789762939453 0.000000190734863 -0.000000217741664 -1.141594179468115
17 1.969999618530273 2.000056190734863 0.000000095367432 0.000000108870723 -1.141591890650192
18 1.979999904632568 2.000003590734863 0.000000047683716 -0.000000054435389 -1.141593035059485
19 1.99987904632568 2.000000547683716 0.000000023841858 0.000000027217688 -1.141592462854920
20 1.999999976158142 2.000000247683716 0.000000011920929 -0.000000013608845 -1.141592748957223
21 1.999879676158142 2.000000011920929 0.000000005960464 0.000000006804422 -1.141592605906080
22 1.999994894039536 2.000000011920929 0.000000002980233 -0.000000003402212 -1.141592677431657
23 1.999999784039536 2.000000002980232 0.000000001490116 0.000000001701106 -1.141592641668865
24 1.999999858509884 2.000000002980232 0.000000000745058 -0.000000000850553 -1.141592659550257
25 1.999999998509884 2.000000000745058 0.000000000372529 0.000000000425276 -1.141592650609561
funkcja: f(x)=cos(Ä„ Ä„
Ä„x)- Ä„ (x+0.5); x =-0,5
Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
metoda Newtona: x0=-0,3, przyjmujÄ™ µ=1e-16
uzyskane przybliżenia:
n x |x-x'| f(x) f'(x)
0 -0.300000000000000 0.2000000000000000 -0.001290335278517 0.077356437479629
1 -0.316680386539998 0,1833196134600020 -0.000382111660873 0.034391643997409
2 -0.342790982500501 0,1572090174994990 -0.000113190686121 0.015287346930514
3 -0.375195189825382 0,1248048101746180 -0.000033534352015 0.006794805237289
4 -0.390130482426739 0,1098695175732610 -0.000009935626597 0.003019998129124
5 -0.421342042706784 0,0786579572932160 -0.000002943826466 0.001342238118304
6 -0.455613649267198 0,0443863507328020 -0.000000872236597 0.000596553578924
7 -0.477075775432463 0,0229242245675370 -0.000000258439383 0.000265135576713
8 -0.492050519697216 0,0079494803027840 -0.000000076574488 0.000117838163002
9 -0.497700347275429 0,0022996527245710 -0.000000022688718 0.000052372542505
10 -0.499133565090996 0,0008664349090040 -0.000000006722581 0.000023276690589
11 -0.499422376796791 0,0005776232032090 -0.000000001991876 0.000010345196878
12 -0.499614917893583 0,0003850821064170 -0.000000000590185 0.000004597865287
13 -0.499743278599523 0,0002567214004770 -0.000000000174869 0.000002043495761
14 -0.499828852279481 0,0001711477205190 -0.000000000051813 0.000000908221641
15 -0.499885901371951 0,0001140986280490 -0.000000000015352 0.000000403655113
16 -0.499923934245793 0,0000760657542070 -0.000000000004549 0.000000179402284
17 -0.499949289585043 0,0000507104149570 -0.000000000001348 0.000000079734073
18 -0.499966193409300 0,0000338065907000 -0.000000000000399 0.000000035436626
19 -0.499977459611641 0,0000225403883590 -0.000000000000118 0.000000015753331
20 -0.499984958199031 0,0000150418009690 -0.000000000000035 0.000000007015349
21 -0.499989959097294 0,0000100409027060 -0.000000000000010 0.000000003126044
22 -0.499993226501977 0,0000067734980230 -0.000000000000003 0.000000001422577
23 -0.499995411708876 0,0000045882911240 -0.000000000000001 0.000000000652757
24 -0.499996772366019 0,0000032276339810 -0.000000000000000 0.000000000323012
25 -0.499998147204819 0,0000018527951810 0 0.000000000106440
metoda siecznych: x0=-0,3 x1=-0,35; przyjmujÄ™ µ=1e-16
uzyskane przybliżenia:
n x |x-x'| f(x) f'(x)
0 -0.300000000000000 0,2000000000000000 -0.001290335278517 0.077356437479629
1 -0.350000000000000 0,1500000000000000 -0.000660945158575 0.049544792843595
2 -0.370501358976451 0,1294986410235490 -0.000265184354049 0.026961422066286
3 -0.387537922640549 0,1124620773594510 -0.000117103529977 0.015637568603226
4 -0.403102494887798 0,0968975051122020 -0.000049858008814 0.008851009379184
5 -0.421228249099303 0,0787717509006970 -0.000021530034370 0.005056991595440
6 -0.439363934997220 0,0606360650027800 -0.000009247144119 0.002878829160364
7 -0.452724628516264 0,0472753714837360 -0.000003979995123 0.001641122721624
8 -0.464508430094395 0,0354915699056050 -0.000001711636146 0.000935043636232
9 -0.485854433654728 0,0141455663452720 -0.000000736336434 0.000532857667445
10 -0.491870645850358 0,0081293541496420 -0.000000316730882 0.000303637600244
11 -0.497637713356012 0,0023622866439880 -0.000000136246373 0.000173026576073
12 -0.498216766742610 0,0017832332573900 -0.000000058607359 0.000098597247835
13 -0.498653876738543 0,0013461232614570 -0.000000025210558 0.000056184772796
14 -0.498983842088467 0,0010161579115330 -0.000000010844555 0.000032016337901
15 -0.499232925106367 0,0007670748936330 -0.000000004664891 0.000018244205060
16 -0.499420952349224 0,0005790476507760 -0.000000002006648 0.000010396283318
17 -0.499562889856111 0,0004371101438890 -0.000000000863179 0.000005924221939
18 -0.499670035375249 0,0003299646247510 -0.000000000371305 0.000003375859343
19 -0.499750917060414 0,0002490829395860 -0.000000000159720 0.000001923700957
20 -0.499811972762683 0,0001880272373170 -0.000000000068705 0.000001096203377
21 -0.499858062149737 0,0001419378502630 -0.000000000029554 0.000000624663396
22 -0.499892853990803 0,0001071460091970 -0.000000000012713 0.000000355960340
23 -0.499919117367494 0,0000808826325060 -0.000000000005469 0.000000202843069
24 -0.499938942489823 0,0000610575101770 -0.000000000002352 0.000000115592005
25 -0.499953908098057 0,0000460919019430 -0.000000000001012 0.000000065871700
0,0000347908346250
26 -0.499965209165375 -0.000000000000435 0.000000037530065
Metoda bisekcji: xa=-0,3,xb=-0,6 ; przyjmujÄ™ µ=1e-16
uzyskany przedział zawierający poszukiwany pierwiastek:
n xa xb x |x-x'| f(x) f'(x)
0 -0.300000000000000 -0,600000000000000 -0,450000000000000 0,050000000000000
0.161441223800018e-3 0.0193689633949
1 -0.320000000000000 -0,575000000000000 -0,447500000000000 0,052500000000000 -0.020184821607483e-3 0.0048441081646
2 -0.337500000000000 -0,545000000000000 -0,441250000000000 0,058750000000000
0.002523248615827e-3 0.0012111437709
3 -0.357500000000000 -0,506250000000000 -0,431875000000000 0,068125000000000 -0.000315410636720e-3 0.0003027932386
4 -0.366875000000000 -0,506250000000000 -0,436562500000000 0,063437500000000
0.000039426472309e-3 0.0000756987656
5 -0.386875000000000 -0,501562500000000 -0,444218750000000 0,055781250000000 -0.000004928313313e-3 0.0000189247199
6 -0.399218750000000 -0,501562500000000 -0,450390625000000 0,049609375000000
0.000000616039664e-3 0.0000047311817
7 -0.419218750000000 -0,500390625000000 -0,459804687500000 0,040195312500000 -0.000000077004625e-3 0.0000011827955
8 -0.449804687500000 -0,500390625000000 -0,475097656250000 0,024902343750000
0.000000009625634e-3 0.0000002956988
9 -0.469804687500000 -0,500097656250000 -0,484951171875000 0,015048828125000 -0.000000001203038e-3 0.0000000739247
10 -0.489951171875000 -0,500097656250000 -0,495024414062500 0,004975585937500
0.000000000150546e-3 0.0000000184811
11 -0.499951171875000 -0,500024414062500 -0,499987792968750 0,000012207031250 -0.000000000018652e-3 0.0000000046202
12 -0.499987792968750 -0,500024414062500 -0,500006103515625 0,000006103515625
0.000000000002665e-3 0.0000000011550
13 -0.499987792968750 -0,500006103515625 -0,499996948242188 0,000003051757812
0 0.0000000002887
14 -0.499996948242188 -0,500006103515625 -0,500001525878907 0,000001525878907
0 0.0000000000721
15 -0.499996948242188 -0,499996948242188 -0,499996948242188 0,000003051757812
0 0.0000000002887
2 Zadanie
zastępuję funkcje f(x) wyrażeniem g(x)=f(x)/f (x)
g(x)=((cos(Ä„x)- Ä„ (x+0.5))/( -Ä„ (1+sin(Ä„ x))))
metoda Newtona: x0=-0,3,
uzyskane przybliżenia:
n x |x-x'| g(x) g'(x)
0 -0.300000000000000 0.200000000000000 -0.016680386539998 0.334157009709169
1 -0.499917811254403 -8.218874559701161e-005 -2.739630712961191e-005 0.333331913401343
2 -0.500000000525901 0.000000000525901 - -
Metoda siecznych: x0=-0.3,x1=-0,35
uzyskane przybliżenia:
n x |x-x'| g(x) g'(x)
0 -0.300000000000000 0.200000000000000 -0.016680386539998 0.334157009709169
1 -0.350000000000000 0.150000000000000 -0.013340355678978 0.333860207376031
2 -0.459940815621398 0,040059184378602 -1.972893933885572e-005 0.333305857416946
3 -0.499999971241020 0,000000028758980 0 1
4 -0.499999971241020 0,000000028758980 0 1
3. Funkcja fzero
f(x)=xex-2-x2/2
a = fzero(@(a) a*exp(a-2)-a^2*0.5, 1.8)
a =
2
f(x)=cos(Ä„ Ä„
Ä„x)- Ä„ (x+0.5)
Ä„ Ä„
Ä„ Ä„
a = fzero(@(a) cos(pi*a)-pi*(a+0.5), -0.6)
a =
-0.5000
Wyniki uzyskane za pomocÄ… standardowej funkcji Matlaba zgadzajÄ… siÄ™ z wynikami
uzyskanymi ze zrobionych przez nas m-plików.
4.Metody Laguerre a i Bairstowa oraz standardowa procedura roots
Posługując się plikami Laguerre.m, Bairstow.m oraz standardową procedurą roots
otrzymaliśmy wyniki:
W (x) = x11 - 5x10 + 4x9 -14x8 + 76x7 - 32x6 -198x5 + 6x4 - 333x3 + 2245x2 - 2750x +1000
W = [1 -5 4 -14 76 -32 -198 6 -333 2245 -2750 1000]  współczynniki wielomianu
Laguerre:
[A,iteracje]=laguerre([1 -5 4 -14 76 -32 -198 6 -333 2245 -2750 1000],0.001)
µ=10^-3 µ=10^-6 µ=10^-9
Miejsca zerowe Iteracje Miejsca zerowe Miejsca zerowe Iteracje
0.9992 8 1.0000 13 1.0000 14
1.0001 6 1.0000 - 0.0000i 11 1.0000 - 0.0000i 14
1.0007 2 1.0000 + 0.0000i 3 1.0000 + 0.0000i 3
-0.9996 + 1.9994i 10 -1.0000 - 2.0000i 13 -1.0000 - 2.0000i 20
-2.0000 + 0.0000i 4 -2.0000 - 0.0000i 4 -2.0000 + 0.0000i 5
-0.9994 - 1.9997i 5 -1.0000 + 2.0000i 9 -1.0000 + 2.0000i 25
4.0000 + 0.0000i 4 4.0000 + 0.0000i 5 4.0000 + 0.0000i 5
2.0000 + 1.0000i 5 2.0000 - 1.0000i 5 2.0000 - 1.0000i 6
2.0000 - 1.0000i 4 2.0000 + 1.0000i 4 2.0000 + 1.0000i 5
-1.0006 - 2.0003i 2 -1.0000 + 2.0000i 2 -1.0000 + 2.0000i 2
-1.0004 + 2.0006i 0 -1.0000 - 2.0000i 0 -1.0000 - 2.0000i 0
Bairstow:
[A,iteracje]=bairstow([1 -5 4 -14 76 -32 -198 6 -333 2245 -2750 1000],0.000000001)
µ=10^-3 µ=10^-6 µ=10^-9
Miejsca
zerowe Iteracje Iteracje Miejsca zerowe Miejsca zerowe Iteracje
0.9996 - 0.0005i 16 1.0000 - 0.0000i 26 1.0000 99
0.9996 + 0.0005i 16 1.0000 + 0.0000i 26 1.0000 99
-2.0001 54 -2.0000 90 1.0000 94
1.0009 54 1.0000 90 4.0000 94
-0.9924 - 2.0016i 13 -0.9995 - 2.0001i 17 2.0000 - 1.0000i 7
-0.9924 + 2.0016i 13 -0.9995 + 2.0001i 17 2.0000 + 1.0000i 7
-1.0078 - 1.9982i 2 -1.0005 - 1.9999i 2 -0.9972 - 1.9993i 18
-1.0078 + 1.9982i 2 -1.0005 + 1.9999i 2 -0.9972 + 1.9993i 18
1.9988 - 1.0023i 6 2.0000 - 1.0000i 7 -1.0028 - 2.0008i 3
1.9988 + 1.0023i 6 2.0000 + 1.0000i 7 -1.0028 + 2.0008i 3
4.0028 0 4.0000 0 -2.0000 0
Roots:
Miejsca zerowe
4.0000
-2.0000
-1.0000 + 2.0000i
-1.0000 - 2.0000i
-1.0000 + 2.0000i
-1.0000 - 2.0000i
2.0000 + 1.0000i
2.0000 - 1.0000i
1.0000
1.0000 + 0.0000i
1.0000 - 0.0000i
Wyniki uzyskane funkcjÄ… roots i metodÄ… Laguerre'a dajÄ… takie same wyniki. Metoda
Bairstowa daje podobne, ale trochę różniące się wyniki.
5. Metoda Lehmera  Schura.
Miejsca
zerowe Iteracje
1.0000 + 0.0000i 5
1.0000 + 0.0000i 5
1.0000 + 0.0000i 5
-1.9999 + 0.0000i 5
3.9999 + 0.0000i 5
1.9994 + 0.9992i 8
1.9994 - 0.9992i 8
-1.0185 + 2.0236i 8
-0.9810 + 1.9752i 8
-1.0125 - 2.0488i 0
-0.9868 - 1.9500i 0
Metoda Lehmera Schura znajduje miejsca zerowe wielomianu interpolujÄ…cego badanÄ… funkcjÄ™.
Zakładając, że wielomian ten jest tylko przybliżeniem więc miejsca zerowe uzyskane taką metodą
również są przybliżone i stąd rozbieżności z pozostałymi metodami.
Wnioski
W celu analizy szybkość metody dla każdej z metod przyjÄ…Å‚em stalÄ… wartość µ=1e-16. Z
analizy przeprowadzonych pomiarów wynika, że najszybsza jest metoda Newtona, metoda
siecznych jest nieco wolniejsza, natomiast metoda bisekcji jest najwolniejsza. Metoda bisekcji
zwraca najmniejszy przedział w którym znajduje się poszukiwany pierwiastek.
Funkcja fzero pozwala na znalezienie dokładnej wartość pierwiastka w okolicy określonego
punktu. Funkcja roots zwraca pierwiastki wielomianu. Uzyskane wyniki posiadają dużą
dokładność. Funkcje Laguerre a i Bairstow a także pozwalają na obliczenie pierwiastków
wielomiany w zadaną dokładnością. Metody te dokładnie obliczają pierwiastki rzeczywiste,
natomiast pierwiastki zespolone obarczone są większym błędem.
Do poszukiwania pierwiastków rzeczywistych wielomianu można zastosować metodę
Newtona, oraz siecznych. Warunkiem jest aby znacz otoczenie w jaki siÄ™ znajdujÄ…
poszukiwane pierwiastki. Jednak pierwiastki te są obarczone większym błędem niż w
przypadku zastosowania innych metod.
W przypadku zastosowania metody Lehmera-Schura pierwiastki są stosunkowo dokładnie
obliczone. Z tą różnicą że każdy z nich jest traktowany jako pierwiastek zespolony, z racji
tego że pierwiastki są poszukiwane na płaszczyz
nie zespolonej. Pomimo tego ze podany
wielomian posiada 5 pierwiastków rzeczywistych z metody tej wynika ze wszystkie
pierwiastki sÄ… pierwiastkami zespolonymi.
6. Rozwiązanie układu równań za pomocą metody Newtona.
-2 + + = 0
(x ,y0) = (-0.8; -1.3) (x*,y*) = (-1 -1)
0
- - 2 + 3 = 0