Laboratorium Metod Numerycznych
Ćw. 5
Temat: Numeryczne rozwiązywanie równań i
układów równań nieliniowych
Ćwikliński Radosław 163509
Majer A
ukasz 163557
1. Cel ćwiczenia
Praktyczne sprawdzenie wiedzy n/t popularnych metod iteracyjnych rozwiazywania
równań i układów równań nieliniowych. Porównanie przydatności poszczególnych metod
do wyznaczania zer funkcji określonych typów. Prześledzenie związku miedzy rzędem
metody iteracyjnej a szybkością zbieżności ciągu przybliżeń.
2. Porównanie metody bisekcji, siecznych i Newtona- Raphsona
Funkcja 1: f(x)=arctg(4x)-Ąx
Pochodna funkcji 1: f (x)=-Ą + 4/16x2+1
Wartość dokładna: x* = 0.25
Punkt startowy dla metody Newtona: x0 = 0.3
Punkt startowy dla metody siecznych x0 = 0.3 x1 = 0.29
Punkt startowy dla metody bisekcji xa = 0.225 xb = 0.3
M-pliki:
-metoda bisekcji
x=[-2:0.01:6];
y=[(x.^2)-2];
plot(x,y),grid;
b=(0.3);
a=(0.225);
xi=a;
for i=1:1:20
err(i,:)=[0.25-xi];
hold on
plot(a,0,'r*',b,0,'b^')
if (((atan(4*b)-pi*b)*(atan(4*xi)-pi*xi)) < 0)
a=xi;
xi=(b+a)/2
else
b=xi;
xi=(b+a)/2
end
end
figure
hold on
plot(xi,0,'b*'),grid
figure
zak_x=[1:20];
plot(zak_x,err)
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-metoda siecznych
x(1)=0.3;
x(2)= 0.29;
c=0.25
for i=2:1:5
fxi=atan(4*x(i))-pi*x(i);
fxi_1=atan(4*x(i-1))-pi*x(i-1);
x(i+1)=x(i) - (fxi * (x(i) - x(i-1)))/(fxi - fxi_1);
blad(i)=c-x(i+1);
end
plot(x,'b*'),grid,xlabel('numer przyblizenia'),ylabel('wartosc');
plot(blad,'r-'),grid,xlabel('numer przyblizenia'),ylabel('blad');
0.36
0.34
0.32
0.3
0.28
0.26
0 2 4 6 8 10 12 14
numer przyblizenia
-3
x 10
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
1 2 3 4 5 6 7 8
numer przyblizenia
blad
- metoda Newtona- Raphsona
x(1)=0.3;
c=0.25
for i=1:1:4
fx=atan(4*x(i))-pi*x(i);
fxx=-pi+(4/(1+16*x(i)^2));
x(i+1)=([x(i)]-[fx/fxx])
blad(i)=c-x(i+1);
end
plot(x,'b*'),grid,xlabel('numer przyblizenia'),ylabel('wartosc')
plot(blad,'b*'),grid,xlabel('numer przyblizenia'),ylabel('blad')
0.3
0.29
0.28
0.27
0.26
0.25
0.24
0 1 2 3 4 5 6 7
numer przyblizenia
-3
x 10
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1 2 3 4 5 6 7 8
numer przyblizenia
wartosc
blad
Funkcja 2: f(x)=2(cos(Ąx)+ Ąx)- Ą
Pochodna funkcji 1: f (x)= 2 (Ą-Ą sin(Ą x))
Wartość dokładna: x* = 0.5
Punkt startowy dla metody Newtona: x0 = 0.45
Punkt startowy dla metody siecznych x0 = 0.45 x1 = 0.46
Punkt startowy dla metody bisekcji xa = 0.45 xb = 0.6
M-pliki:
-metoda bisekcji
x=[0:0.01:4];
y=[2*(cos(pi*x)+pi*x)-pi];
plot(x,y),grid;
b=(0.45);
a=(0.6);
xi=a;
for i=1:1:20
err(i,:)=[0.5-xi];
hold on
plot(a,0,'r*',b,0,'b^')
if (((2*(cos(pi*b)+pi*b)-pi)*(2*(cos(pi*xi)+pi*xi)-pi)) < 0)
a=xi;
xi=(b+a)/2
else
b=xi;
xi=(b+a)/2
end
end
figure
hold on
plot(xi,0,'b*'),grid
figure
zak_x=[1:20];
plot(zak_x,err)
25
20
15
10
5
0
-5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Wykres błędu:
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-metoda siecznych
x(1)=0.45;
x(2)= 0.46;
c=0.25
for i=2:1:8
fxi=2*(cos(pi*x(i))+pi*x(i))-pi;
fxi_1=2*(cos(pi*x(i-1))+pi*x(i-1))-pi;
x(i+1)=x(i) - (fxi * (x(i) - x(i-1)))/(fxi - fxi_1);
blad(i)=c-x(i+1);
end
plot(blad,'b*'),grid,xlabel('numer przyblizenia'),ylabel('blad');
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
1 2 3 4 5 6 7 8 9
numer przyblizenia
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
1 2 3 4 5 6 7 8 9
numer przyblizenia
blad
blad
-metoda Newtona-Raphsona
x(1)=0.45;
c=0.5
for i=1:1:4
fx=2*(cos(pi*x(i))+pi*x(i))-pi;
fxx=2*(pi-pi*sin(pi*x(i)))
x(i+1)=([x(i)]-[fx/fxx])
blad(i)=c-x(i+1);
end
plot(blad,'b*'),grid,xlabel('numer przyblizenia'),ylabel('blad');
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0 5 10 15 20 25
numer przyblizenia
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
1 2 3 4 5 6 7 8
numer przyblizenia
wartosc
blad
3. Porównanie pierwiastków wielomianu otrzymanych różnymi metodami:
P=[1 -8 12 50 -250 318 696 -2394 585 9050 -20500 15000];
Pierwiastki otrzymane za pomocą funkcji roots:
5.0000
-3.0000
-2.0000 + 1.0000i
-2.0000 - 1.0000i
1.0000 + 2.0000i
1.0000 - 2.0000i
1.0000 + 2.0000i
1.0000 - 2.0000i
2.0000 + 0.0000i
2.0000 - 0.0000i
2.0000
Pierwiastki otrzymane za pomocą funkcji laguerre.m:
1.9995
1.9995
2.0010
0.9999 - 2.0009i
-2.0000 - 1.0000i
1.0003 + 2.0007i
-2.0000 + 1.0000i
1.0001 - 1.9991i
0.9997 + 1.9993i
-3.0000 - 0.0000i
5.0000 - 0.0000i
Pierwiastki otrzymane za pomocą funkcji bairstow.m:
1.9996 - 0.0004i
1.9996 + 0.0004i
-3.0003
2.0007
Pierwiastki otrzymane za pomocą funkcji lehmer.m:
1.9999 + 0.0000i
4.9999 + 0.0000i
2.1217 + 0.0000i
1.8589 + 0.0000i
0.9655 + 2.0582i
1.0431 + 1.9385i
-1.9972 + 1.0006i
-3.0004 + 0.0013i
-2.0016 - 1.0004i
0.9489 - 2.0761i
1.0611 - 1.9220i
5.5
5
Bairstow
Laguerre
Lehmer
4.5
Roots
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4. Rozwiązanie układu równań za pomocą metody Newtona
Funkcje:
Punkt startowy: (x0,y0) = (3.3; 0.8)
Wartość poprawna (x*,y*) = (3 1)
function funkcje
eps=1*10^-9;
syms x y;
f1=inline('x*y-x+y-1','x','y');
f2=inline('x^2+2*y^2-11','x','y');
F=[f1(x,y); f2(x,y)];
J=jacobian(F,[x y]);
F=inline(F);
J=inline(J);
X=[3.3 0.8 ]';
F(X(1),X(2));
J(X(1),X(2));
X1=X-inv(J(X(1),X(2)))*F(X(1),X(2));
for k=1:100
X1=X-J(X(1),X(2))\F(X(1),X(2));
if(norm(X1-X) break
end
X=X1;
end
punkt=X1
punkt =
3
1