Macierze, cz.II WZiE, sem.I, 2008-09
Układy równań liniowych mgr K. Kujawska, SNM
4k 5k Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 2k 1
Zad.1 Dla jakich wartości parametru k macierz X = - jest osobliwa?
ïÅ‚
1 2kśł ïÅ‚ 0 kśł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Zad.2 Wyznaczyć macierze odwrotne do podanych:
1 2 3
îÅ‚ 1 3 5 Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 3 Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-1 - 3
ïÅ‚- śł ïÅ‚3
A = , C = 8 4 2 , E = 2 1śł .
ïÅ‚- 2 1śł , B = ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 7
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚- 6 3 -1ûÅ‚ ðÅ‚1 1 2ûÅ‚
śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚
Zad.3 Wiadomo, \
e dla macierzy odwrotnej prawdziwe są następujące własności:
-1
3.1 (AÅ" B) = B-1 Å" A-1 3.2 (A-1)-1 = A 3.3 (AT )-1 = (A-1)T
1 1
3.4 (k Å" B)-1 = Å" B-1, k `" 0 3.5 det B-1 =
k det B
2 5 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Sprawdzić je dla macierzy A = , B =
ïÅ‚1 3śł ïÅ‚- 4 - 5śł .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 Å‚Å‚
îÅ‚ -1 1
1
-1 ïÅ‚2
Zad.4 Znalez
ć macierz Y z równania (3B Å"Y Å" A-1)-1 = AT dla A = 1 2śł, B = diag[2 - 3 4].
ïÅ‚ śł
2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚1 3 1ûÅ‚
1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3
Zad.5 Pokazać na przykładzie nieosobliwej macierzy A= 1 - 2śł , \
e przestawienie wierszy w danej
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -1ûÅ‚
ðÅ‚2 3 śł
macierzy daje macierz B, której macierz odwrotna B-1 ró\
nie siÄ™ od A-1 przestawieniem odpowiednich
kolumn.
Zad.6 Znalez
ć macierz X spełniającą równanie:
1 2 3 7 7
îÅ‚-1 1 2 Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ 8 4 0
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚0 ïÅ‚4
6.1 X Å" 1 1 0 =
ïÅ‚- 4 8 4śł 6.2 ïÅ‚ 1 2śł Å" X = ïÅ‚ 4śł
ïÅ‚ śł śł śł
ûÅ‚
ïÅ‚ -1ûÅ‚ ðÅ‚
śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 1
ðÅ‚ ðÅ‚0 2 1ûÅ‚ ðÅ‚2 5ûÅ‚
îÅ‚-1 2 - 3 1 - 3 0
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 3 1 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚10
6.3 + X = Å" X 6.4 2 Å" X + 3 0 - 4śł Å" X = 2 7śł .
ïÅ‚2 0śł ïÅ‚2 0śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ -1 - 2ûÅ‚ ðÅ‚10 7 8ûÅ‚
śł ïÅ‚ śł
2
ðÅ‚
Zad.7 Rozwiązać układy równań liniowych stosując wzory Cramera:
x1 Å„Å‚ Å„Å‚
Å„Å‚ - x2 + 2x3 = 2 2x1 +1+ 2x3 = 0 x2 + x3 + x1 = 6
x1 + x2 = -1
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
7.1 7.2 - x1 + x3 = -4 7.3 x1 + 3x2 - 4 = 0 7.4 x1 - x3 - x2 = -3 .
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚2
x1 - =
ół2 3x2 5
ôÅ‚2 ôÅ‚5 ôÅ‚3
x1 - x2 + 3x3 = 0 - 2x2 + 3x3 = 0 x3 - x1 + 2x2 = 12
ół ół ół
Zad.8 Wyznaczyć rząd macierzy:
1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ 1 7 -1 îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚ 1 1 1
ïÅ‚ śł
4 2 2 1 0 3
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ 2 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚1
ïÅ‚ śł
8.1 8.2 8.3 - 2 5 4 8.4 8.5 2 3śł .
ïÅ‚
śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚- 3 - 6
śł
- 3 1śł ïÅ‚3 5 -1 - 4śł ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 2 - 5ûÅ‚ ïÅ‚ śł ðÅ‚1 4 5ûÅ‚
ðÅ‚
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
Zad.9 Rozwiązać układy równań liniowych:
4x1
Å„Å‚ - x2 = 7 2x1
Å„Å‚ - 3x2 = 6
x1
Å„Å‚ - x2 + 2x3 = 4
ôÅ‚ ôÅ‚
9.1 9.2 x1 + x2 = 14 9.3 x1 + x2 = 9
òÅ‚ òÅ‚3 òÅ‚3
ół- 2x1 + 2x2 - 3x3 = 6
ôÅ‚2 + 3x2 = 0 ôÅ‚
x1 x1 + 4x2 = 3
ół ół
x1 3x1 3x1 + 2x2 - x3 = 0
Å„Å‚ - 2x2 + x3 + x4 = 1 Å„Å‚ - x2 + 2x3 = 0 Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚
9.4 x1 - 2x2 + x3 - x4 = -1 9.5 x1 + 2x2 - 5x3 = 0 9.6 x1 + 3x2 - 4x3 = 0 .
òÅ‚ òÅ‚4 òÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚2 - 7x2 +11x3 = 0 ôÅ‚
x1 - 2x2 + x3 + 5x4 = 5 x1 x1 - 4x2 + 7x3 = 0
ół ół ół