10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1

10.



10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10.1. Zastosowanie funkcji Airy'ego

∇2 

x

y =0

(10.1)

Zakładamy, że istnieje funkcja F(x,y) spełniająca następujące warunki (przy założeniu px =0 oraz istnienia siły masowej skierowanej przeciwnie do osi Y):

 = ∂2 F

(10.2)

x

∂ y 2

 = ∂2 F

y

(10.3)

∂ x 2

 = ∂2 F  qx

(10.4)

xy

∂ x ∂ y

∇ 4 F  x , y= 0

(10.5)

∇4 ≡ ∂4 

∂4

2

 ∂4

(10.6)

∂ x 4

∂ x 2 ∂ y 2 ∂ y 4

∂

∂

x 

xy  p = 0

(10.7)

∂

∂ y

x

x

∂

∂

xy 

y  p = 0

(10.8)

∂ x

∂ y

y

Sprawdzamy czy funkcja Airy'ego spełnia te warunki.

∂ 3 F − ∂ 3 F − q= 0

(10.9)

∂ y2 ∂ x ∂ x ∂ y2

−∂ 3 F  q ∂ 3 F − q= 0

(10.10)

∂ x2 ∂ y

∂ x ∂ y2

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 2

Zadanie 1.

Znaleźć stan naprężeń w dowolnym punkcie tarczy.

py

px

h

x

h

px

p

y

1

y

l

l

Rys.10.1. Rysunek do zadania 1.

Przyjmujemy taką funkcję by spełniała równania biharmoniczne – warunek konieczny.

F  x , y= ax2  bxy cy2

(10.11)

Warunek dostateczny:

 = ∂ 2 F = 2 c

(10.12)

x

∂ y2

 = ∂ 2 F = 2 a

(10.13)

y

∂ x2

 =− b

xy

(10.14)

Warunki brzegowe:

1 x= l

− h  y h

(10.15)

 = p

 = p

x

x

xy

(10.16)

2 c= p

− b= p

(10.17)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 3

p

c= x

b=− p

(10.18)

2

2 x=− l

− h ∢ y∢ h

(10.19)

 = p

 = p

x

x

xy

(10.20)

Warunki zgodne.

3 y=− l

− h∢ x∢ h

(10.21)

 = p

 = p

y

y

xy

(10.22)

p

a= y

b=− p

(10.23)

2

1

F = p x2− p xy p y2

(10.24)

2 y

x

Zadanie 2.

Zginanie belki

y

q

ql

ql

h

ql

l

ql

2

x

h

2

b= 1

l

l

Rys.10.2. Rysunek do zadania 2.

przyjmujemy funkcję F(x,y)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 4

y5

F  x , y= a x2  b x2 y d  x2 y3 − 

(10.23)

2

3

5

5

∇ 2 F = 0

(10.24)

∂ 4 F = 0

(10.25)

∂ x4

∂ 4 F =− 24d y

(10.26)

∂ y4

5

∂ 4 F

2

= 24 d y

(10.27)

∂ x2 ∂ y2

5

Warunek jest spełniony.

1  = ∂ 2 F = d  6 x2 y− 4 y3 

x

(10.28)

∂ y2

5

2  = ∂ 2 F = 2 a  2 b y 2 d xy3

(10.29)

y

∂ x2

2

3

5

3  = ∂ 2 F =− 2 b x− 6 d xy2

(10.30)

xy

∂ y ∂ x

3

5

Warunki brzegowe (wyrażone w naprężeniach).

h

1 y=±

− l x l  = 0

(10.31)

2

xy

h

2 y=

− l x l  =− q (10.32)

2

y

h

3 y=−

− l x l  = 0

(10.33)

2

y

h

h

h

2

4a x= l −  y

∫  dy1= ql

(10.34)

2

2

xy

h

− 2

h

h

h

2

4b x=− l −  y

∫  dy1=− ql

(10.35)

2

2

xy

h

− 2

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 5

h

2

5 x=± l ∫  dy1= 0

(10.36)

x

h

− 2

h

2

6 x=± l ∫  ydy1= 0

(10.37)

x

h

− 2



=− q

y∣

h

y=

(10.38)

2



= 0

y∣

h

y=−

(10.39)

2

Po podstawieniu do wzoru (10.29) otrzymamy:

{ h h3

2 a  2 b

 2 d

=− q

2

3 2

5 8

(10.40)

h

h3

2 a − 2 b

− 2 d

= 0

2

3 2

5 8

Z układu otrzymamy:

q

a =−

(10.41)

2

4



= 0

xy∣

h

y=

(10.42)

2

Po podstawieniu do wzoru (10.30) otrzymamy: h2

x− 2b − 6d − = 0

(10.43)

3

5

4

Z równań (10.40) i (10.43) otrzymujemy: q

d =

5

10.44)

h3

3 q

b3 =−

(10.45)

4 4

Zatem

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 6

q

 =  6 x2 y− 4 y3 

x

(10.46)

h3

q 3 q

2 q

 =− −

y

y3

y

(10.47)

2 2 h

h3

3 q

6 q

 =

x−

x y2

xy

(10.48)

2 h

h3

1 h3

I = I =

(10.49)

z

12

Zatem

1 q

2

 =

 x2− y2  y

(10.50)

x

I 2

3

1 q

h2

h3

 =

 y3− y− 

(10.51)

y

I 2 3

4

12

1 q

 =

 h2 − y2  x

(10.52)

xy

I 2 4

Sprawdźmy warunki brzegowe (10.34)-10.37):

∫ dy=± ql

(10.53)

xy

Warunek spełniony.

∫ dy= 0

(10.54)

x

Warunek spełniony.

h

2

∫

1 q

h2

 ydy=

 l2 h3− ≠ 0

(10.55)

x

I 2

12

10

− h

2

Warunek nie jest spełniony czyli źle przyjęto funkcję F do przyjętej funkcji dodajemy F1

F = F  F1

(10.56)

gdzie

F = d y3

(10.57)

1

3

Zatem

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7

 1= 6 d y

(10.58)

x

3

 1= 0

(10.59)

y

 1 = 0

(10.60)

xy

Po zmodyfikowaniu σx wszystkie dotychczasowo spełnione warunki brzegowe są spełnione.

Wprowadźmy zmienione σ x

1 q

2

 =

 x2 y2  y 6d y

(10.61)

x

I 2 3

3

do ostatniego warunku brzegowego, którego spełnienie prowadzi do relacji: h2

d =− q  l2− 

(10.62)

3

2 I

10

Ostatecznie σ x ma postać:

q

h2

 =− q  l2− x2  y−

 2 y2−  y

(10.63)

x

2 I

2 I 3

10

Rys. 10.3. Naprężenia

M

 =−  x y

(10.64)

x

I

q

M  x=  l2− x2 

(10.65)

2

σ x jest krzywą trzeciego stopnia.

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8

 dokł.

x

 przybl.

x

h

Rys. 10.4. Naprężenia σ x

Porównajmy maksymalne naprężenia w włóknach skrajnych:

∣ d− p∣

max  = x

x

x

∣ d∣

(10.67)

x

h

1

= 0,1

0,3 promil

(10.68)

1 l

h

2

= 0,25

1,7 promil

(10.69)

2 l

h

3

= 0,5

6,7 promil

(10.70)

2 h

Przyjęte do rozważań wzory określające zginanie belki są wystarczająco dokładne.

Rys. 10.5. Naprężenia σ y , τ xy

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 9

q

Ekstremalne wartości σy =q << σx zatem możemy je zaniedbać w obliczeniach. τxy liczymy z wzoru znanego z wytrzymałości materiałów:

g

 y

T  x=− qx

(10.71)

TS

 =

(10.72)

xy

Ibq

2

9.2 Wyznaczenie przemieszczeń w belce.

 d



y

xy

Płaski stan naprężeń:

1

 =

−

= ∂ u

(10.73)

x



E

x

y 

 x ∂ x

1

 =

−

= ∂ v

(10.74)

y



E

y

x 

 y ∂ y

1

1

 =



 = ∂ u∂ v

(10.75)

xy

2 G xy

xy

2 ∂ y ∂ x

W celu otrzymania u i v wykonujemy obustronne całkowanie nieoznaczone:

 = ∂ u ⇒ u x , y=∫ dx= ...  f  y

(10.76)

x

∂ x

x

1

Dla x w środku belki ze względu na symetrię geometryczną i obciążenia: u  0, y= 0

⇒

f  y= 0

1

(10.77)

 = ∂ v

⇒

v  x , y=∫ dy= ...  f  x

(10.78)

y

∂ y

y

1

Wyznaczenie stałej całkowania:

q

1

 =

 h2− y2  x= ∂ u∂ v

xy

4 EI 4

2 ∂ y ∂ x

(10.79)

x3

h2

h2

1 df  x

 = − q [ l2x−  2q2−  x 2 y2− x] 1

xy

4 EI

3

10

4

2

dx

df  x

1

q

x3

=

[ 8 h4x l2xi ]

(10.80)

dx

2 EI

5

4

3

f  x= ...  f 1

0

(10.81)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 10

q

h2 y2

h3

y4

h2

v  x , y=

{ y4− − y[ l2− x2  y2 − y2 ]}

2 EI 12

4 2

12

2

6

20

(10.82)

q

x4

h2





[ l2x2− − x2  1  h2x2  f ]

2 EI

2

12 20

2 4

0

przyjmijmy następujące warunki:

x=± l} v= 0

(10.83)

y= 0

Wówczas otrzymamy:



f =− ql2 [ 5  2 4  h4]

(10.84)

0

2 EI 12

5

3 4

W wyniku podstawienia f0 do f1 otrzymamy wzory na ugięcie w dolnych punktach belki (tylko w poziomie).

5 ql4

v=

(10.85)

24 EI

9.3 Płaskie zadania osiowo symetryczne (współrzędne biegunowe) Zadanie osiowo symetryczne to zadanie tak skonstruowane, że funkcja miejsca i obciążenia są zależne tylko od jednej zmiennej ( promień).

Φ=Φ(r) – funkcja naprężeń

1 d 

1  =

(10.86)

r

r dr

d 2 

 =

(10.87)



dr2

 = 0

r 

(10.88)

1 d

2 ∇ 2= d2  

(10.89)

d r2 r dr

2 d 3

1 d 2

1 d

∇ 4= d4  −





(10.90)

dr4

r dr3 r2 dr2 r3 dr

∇ 4  r= 0

(10.91)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater

10. ROZWIĄZYWANIE ZADAŃ Z TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 11

Istnieje tylko jedna funkcja która spełnia to równanie.

 r= Aln r Br2 ln r Cr2  D

(10.92)

Stan naprężeń i odkształceń łatwo możemy określić z definicji.

A

 =  B[ 1 2 ln r] 2C

r

(10.93)

r2

A

 =−  B[ 3 2ln r] 2C



(10.94)

r2

 = 0

r 

(10.95)

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

AlmaMater