Transformacja współrzędnych przy dwóch

punktach dostosowania

Transformacja wzorami prof. S. Hausbrandta

W praktyce występuje zagadnienie przeliczenia (transformacji) współrzędnych punktów z jednego układu (pierwotnego) x, y na drugi układ (wtórny) XY w oparciu o tylko dwa punkty dostosowania, to jest P i Q, których współrzędne znane są w obu układach.

x

X

1

Q

P

n

a

2

b

Y

y

Cyframi 1, 2, ..., n oznaczono punkty o znanych współrzędnych tylko w układzie pierwotnym x y.

Do transformacji współrzędnych w tym przypadku stosujemy wzory, które w ujęciu form rachunkowych S. Hausbrandta posiadają następującą postać

2

(

x

∆

y

∆

X

∆ , Y

∆ ) =

u

w

(5.196)

,

1 2

[ ,12]

(

∆ x

y

∆

PQ

PQ

u, w) =

∆ X

Y

∆

(5.197)

PQ

PQ

Obliczenie współczynników u, w kontrolujemy, realizując wzór (5.196) dla różnic współrzędnych pomiędzy punktami dostosowania P

i Q.

Różnice ∆ X i ∆ Y obliczone wzorem (5.196) powinny być identyczne z różnicami obliczonymi ze współrzędnych.

Po obliczeniu współczynników u, w przeliczamy wzorem (5.196) różnice współrzędnych ∆ x i ∆ y na różnicę współrzędnych ∆ X i ∆ Y, a następnie obliczamy współrzędne wszystkich punktów w układzie XY

stosując metodę poligonową. Jeśli ciąg obliczeniowy wychodzący z jednego punktu oparcia kończymy na drugim, to współrzędna obliczona tego punktu powinna być równa współrzędnej danej w granicach dokładności obliczeń.

Kontrolę wykonujemy między innymi przez transformację obliczonych współrzędnych z układu wtórnego na układ pierwotny wykorzystując te same punkty dostosowania oraz analogiczne do (5.196) i (5.197) wzory:

3

(

X

∆

Y

∆

x

∆ , y

∆ ) =

u′

w′

(5.198)

,

1 2

[ ,12]

(

X

∆

Y

∆

PQ

PQ

u ,

′ w′) =

x

∆

y

∆

(5.199)

PQ

PQ

Transformacja z wykorzystaniem wzoru macierzowego

W opracowaniu [44] wyprowadzone są następujące wzory na transformację różnic współrzędnych z układu pierwotnego na wtórny

∆ X = s cosϕ ∆ x – s sinϕ ∆ y

∆ Y = s sinϕ ∆ x + s cosϕ ∆ y (5.200) gdzie

∆ X, ∆ Y – różnice współrzędnych w układzie wtórnym, s – współczynnik skali,

ϕ - kąt skrętu układów zawarty między osiami x oraz X układów współrzędnych.

Współczynnik skali definiowany jest pierwotnie wzorem

dw

s =

d

(5.201)

p

4

gdzie:

d , d

p

w - długość odcinka obliczona ze współrzędnych punktów dostosowania w układzie pierwotnym i wtórnym.

ϕ =

A − A

w

p

(5.202)

gdzie

A , A

p

w - azymuty odcinka, w obu ukłądach, łączącego punkty dostosowania.

Parametry s i ϕ możemy także wyrazić innymi związkami; jeśli oznaczymy

s sin ϕ = a

s cos ϕ = b (5.203) Wprowadzając (5.203) do (5.200) uzyskujemy nową formę tych wzorów:

∆ X = b ∆ x – a ∆ y

∆ Y = a ∆ x + b ∆ y (5.206) W praktyce, współczynniki a oraz b wyznacza się w oparciu o znane

różnice

współrzędnych

punktów

dostosowania

tj.

X

∆

, Y

∆

, x

∆

i y

∆

AB

AB

AB

AB , wprowadzone do układu (5.206), który

podamy w nowej formie

− y

∆

⋅ a + x

∆

⋅ b = X

∆

AB

AB

AB

x

∆

⋅ a + y

∆

⋅ b = Y

∆

AB

AB

AB

(5.207)

Układ ten rozwiążemy wzorami wyznacznikowymi:

5

− y

∆

x

∆

AB

AB

W =

x

∆

y

∆

(5.208)

AB

AB

X

∆

x

∆

− y

∆

X

∆

AB

AB

AB

AB

Y

∆

∆ y

x

∆

Y

∆

a

AB

AB

=

b

AB

AB

=

W

;

W

(5.209)

Transformacja współrzędnych w oparciu o 2 punkty dostosowania w praktyce jest stosowana przy obliczaniu współrzędnych punktów pomierzonych metodą rzędnych i odciętych.

W tym przypadku współrzędne kolejnych punktów należy liczyć w systemie ciągu wychodzącego z p. A i zakończonego w p. B tak, jak to zaznaczono na rysunku 5.32 linią ciągłą, stosując wzory w formie macierzowej:

 X 

 X   b

a

x

i

i −1

−  ∆



i − ,

1 i



 = 

 + 

 



 Y

Y

a

b

y

(5.210)

i 

 i−1  

 ∆ i− ,1 i 

6

X

x

x

X

B

B

2

B

x4

y

x

4

3

y2

y

1

3

4

x2

y1

3

x1

X A

A

Y

Y A

Y

y

B

Poligon wyznaczający kolejność liczenia transformowanych współrzędnych punktów

7

Transformacja współrzędnych prostokątnych płaskich sposobem Helmerta

Sposób klasyczny

W przypadku, jeśli liczba punktów dostosowania jest większa od 2, to stosujemy między innymi transformację czteroparametrową Helmerta, której zasada polega na wyrównaniu metodą najmniejszych kwadratów różnic vx i vy (między znanymi współrzędnymi punktów dostosowania X, Y a ich współrzędnymi otrzymanymi po transformacji Xt, Yt)

[ 2 v v v

p ] = [ 2

2

x +

y ] = min .

Procedura rachunkowa transformacji Helmerta wg S. Hausbrandta: 1. Obliczenie współrzędnych bieguna przekształcenia B – średnia arytmetyczna ze współrzędnych punktów dostosowania

x 1 + x 2 + ... + x

y 1 + y 2 + ... y

x

n

=

y

n

=

B

n

B

n

X

1 + X 2 + ... + X

Y 1 + Y 2 + ... + Y

X

n

=

Y

n

=

B

n

B

n

2. Obliczenie w obu układach przyrostów współrzędnych pomiędzy poszczególnymi punktami dostosowania a biegunem

8

x

∆ −1 = x 1 − x

y

∆ −1 = y 1 − y

∆ x −2 = x 2 − x

∆ y −2 = y 2 − y

x

∆ − = x − x

y

∆ − = y − y

B

B

B

B

B

B

B

B

B n

n

B

B n

n

B

X

∆ −1 = X 1 − X

Y

∆ −1 = Y 1 − Y

X

∆ −2 = X 2 − X

Y

∆ −2 = Y 2 − Y

X

∆ − = X − X

Y

∆ − = Y − Y

B

B

B

B

B

B

B

B

B n

n

B

B n

n

B

3. Zestawienie formy rachunkowej i obliczenie współczynników przekształcenia u, w

(

∆ 1 ∆ 1 ∆ 2 ∆

...

2

∆

∆

−

−

−

−

−

−

u, v)

x

y

x

y

x

y

B

B

B

B

B n

B n

= X

∆

Y

1

∆

X

1 ∆

Y

2

∆

... X

2

∆

Y

∆

B−

B−

B−

B−

B− n

B− n

4. Obliczenie w układzie pierwotnym przyrostów współrzędnych pomiędzy

poszczególnymi

parami

sąsiednich

punktów

rozpoczynając od bieguna B sposobem ciągu poligonowego i kończąc na biegunie B. W związku z tym suma przyrostów powinna być równa zero.

∆ x − = x − x

∆ y − = y − y

P N

N

P

P N

N

P

5. Obliczenie w układzie wtórnym przyrostów współrzędnych pomiędzy

poszczególnymi

parami

sąsiednich

punktów

rozpoczynając od bieguna B sposobem ciągu poligonowego i kończąc na biegunie B. W związku z tym suma przyrostów powinna być równa zero.

∆ x

y

∆

g

P− N

P− N

=

; ∆ X − = g ; Y

∆ − = g

u

v

P N

1

P N

2

9

6. Obliczenie w układzie wtórnym współrzędnych wszystkich punktów według wzoru:

X

= X + ∆ X

Y = Y + Y

∆

N

P

P− N

N

P

P− N

Przy

transformacji

Helmerta

powstaje

problem

wyboru

współrzędnych punktów dostosowania, gdyż posiadają one podwójne wartości: przed i po transformacji. Zwykle pozostawia się współrzędne dotychczasowe, czyli te sprzed transformacji, ale wówczas należy liczyć się z tym, że deformuje się sieć utworzoną z przetransformowanych punktów. Aby zminimalizować tę deformację, do współrzędnych pierwotnych wszystkich punktów (z wyjątkiem punktów dostosowania) wprowadza się tzw. poprawki Hausbrandta liczone wzorami:

n

n

∑ (r V

ji

Y )

∑ (r V

ji

X )

i=

V

i

i=

V

i

Y =

1

X

= 1

j

n

j

n

∑ r

;

∑ r

(5.228)

ji

ji

i=1

i=1

gdzie

1

1

r =

=

ji

2

2

2

d

( X − X ) + ( Y − Y ) (5.229) i

j

i

j

ji

rji – waga (i = 1, 2, ... , n),

n – liczba punktów dostosowania,

j – numer transformowanego punktu sieci pierwotnej.

10

Ostateczne wartości współrzędnych transformowanych punktów sieci pierwotnej (z pominięciem punktów dostosowania) wyrazimy zatem wzorami:

=

+

Y = Y + V

X

X

V

j

j

X

,

j

Y

(5.230)

j

j

j

Elementy przyjęte do liczenia wag i ich oznaczenia zastosowane we wzorach (5.228) i (5.229) zilustrowano na rysunku

1

n

11

d j1

d jn

j

d j3

d j2

3

2

- punkty dostosowania

- transformowany punkt sieci pierwotnej

Ocena dokładności

[ v vxx]

[ v vyy]

m =

m =

x

n

y

n

2

2

m = m + m

P

x

y

∑( 2

2

v + v )

m = 7

,

0 1

i

y

i

x

t

n − 2